山西应县第一中学校2026届高三下学期一模数学试题

2026届高三下学期一模数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数z1对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则z1＝（　　） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 2．2025年5月14日，长征二号丁运载火箭一次性将12颗太空计算卫星成功送入预定轨道．若各卫星从星箭分离至入轨所需时间（单位：秒）按升序排列为82，85，87，89，91，93，95，97，99，101，103，105，则这组数据的中位数为（　　） A．94 B．93 C．92 D．91 3．已知集合A＝{x|2x2﹣x≥0}，，则A∩B＝（　　） A．（﹣1，0] B． C． D． 4．已知向量（x，1），（1，﹣2），且满足||＝||，则x＝（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 5．如果“若p，则q”和“若q，则p”中有且仅有一个真命题，称p与q具有“U﹣关系”．已知函数y＝f（x）的定义域为R，p：y＝f（x）为偶函数，则p与下列选项中的q具有“U﹣关系”的为（　　） A．q：对任意x∈R都有﹣f（x）≥f（x） B．q：对任意x∈R都有f（﹣x）≥f（x） C．q：对任意x∈R都有f（﹣x）＝|f（x）| D．q：对任意x∈R都有f（﹣x）＝f（|x|） 6．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线EF∥平面B1D1A，将正方体沿平面D1B1F切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（　　） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过D1，B1，F三点的截面面积为18 C．沿平面D1B1F切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面D1FB1 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A在y轴上，点B在C上，，则C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 8．若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转135°可以得到另一个函数的图象，则m的取值范围为（　　） A． B．[0，e] C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M为抛物线C上一点，MN⊥l，N为垂足，若△MNF为等边三角形，则（　　） A．点M的横坐标为 B．直线FN与y轴交点的纵坐标的绝对值为 C．直线NF的斜率为± D．若△MNF的周长为12，则p＝2 10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则下列说法正确的是（　　） A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的表面积为 C． D．△PAC的面积为 11．已知函数f（x）＝|sinx|+|cosx|﹣sinxcosx，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）是以π为周期的周期函数 B．f（x）在上单调递减 C．f（x）的最大值为 D．存在a∈R，使得f（x+a）为奇函数 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．某学校有绘画、围棋、篮球三个兴趣小组，三个年级参加兴趣小组的学生人数如表（每名同学只参加一个兴趣小组）： 绘画组 围棋组 篮球组 高一 50 m 40 高二 30 40 20 高三 20 10 10 学校要对这三个兴趣小组的活动效果进行抽样调查，按各组人数的比例用分层随机抽样的方法，从这些学生中抽取30人，若围棋组被抽出10人，则m的值为 　 　 ． 13．，则用a和b表示log9821的结果为 　 　 ． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，，则满足的k的最小值为　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin2B+3sinAcosBsinC﹣2sin2C＝0． （1）若，c＝2，求△ABC的外接圆的半径； （2）若，b＝2，求△ABC的面积． 16．（15分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB＝BC＝CD＝1，AD＝AA1＝2． （1）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1； （2）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，是否存在点E使得DE与平面C1BD夹角的正弦值为？若存在，求点E到平面C1BD距离的最小值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率y与注射剂量x之间的关系，测得一组实验数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，8）如表： 剂量x/mg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 残留率y 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45 （1）根据以上数据计算得样本相关系数r≈0.99，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立y关于x的经验回归方程； （2）当数据（xi，yi）对应的残差的绝对值|yi|＜0.01时，称该数据为“正常数据”．现从这8个实验数据中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求X的分布列及均值． 参考公式：经验回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，；参考数据：，． 18．（17分）已知椭圆的焦点是F1，F2，且|F1F2|＝2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF1|+|BF2|的取值范围． 19．（17分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x． （1）当a＝0时，求； （2）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （3）当x≥0时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A C C D A 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ACD ABC AC 三．填空题 12．35． 13．． 14．49． 四．解答题 15．解：（1）在△ABC中，因为sin2B+3sinAcosBsinC﹣2sin2C＝0， 所以由正弦定理和余弦定理 得， 所以b2＝3a2﹣c2， 因为，所以b2＝2， 故a2+b2＝c2，△ABC为直角三角形， 所以△ABC的外接圆的半径为1． （2）因为，又A∈（0，π）， 所以， 因为， 所以3b2+3c2﹣3a2＝4bc，又b2＝3a2﹣c2，且b＝2， 所以c2﹣4c+4＝0， 所以c＝2， 故． 16．解：（1）证明：ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD， 底面ABCD是梯形，AB＝BC＝CD＝1，AD＝AA1＝2． 取AD中点F，连接BF，则 AB＝BC＝CD＝AF＝DF＝1， ∴四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形， ∴∠ABF＝∠AFB＝60°，∠FBD＝∠FDB， ∵∠FBD+∠FDB＝∠AFB＝60°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°， ∴∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝90°，所以AB⊥BD， ∵AA1⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴AA1⊥BD，∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB＝A， ∴BD⊥平面ABB1A1，∵BD⊂平面BDD1B1， ∴平面BDD1B1⊥平面ABB1A1 （2）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），，，设E（x，y，2）， ∴，，， 设平面C1BD的一个法向量为， 则，取c＝1，得， ∴， cos，， ∵DE与平面C1BD夹角的正弦值为， ∴|cos，|， ∴， ∴ 由点到平面的距离公式得点E到平面C1BD距离为：， ∴当时，点E到平面C1BD距离的最小，最小值为． 17．解：（1）由表知，（1+2+3+4+5+6+7+8）＝4.5，（0.07+0.12+0.18+0.25+0.28+0.3+0.35+0.45）＝0.25， 所以， 0.25﹣0.05×4.5＝0.025， 故y关于x的经验回归方程为0.05x+0.025． （2）|y1|＝|0.07﹣0.075|＝0.005＜0.01，|y2|＝|0.12﹣0.125|＝0.005＜0.01，，|y4|＝|0.25﹣0.225|＝0.025， |y5|＝|0.28﹣0.275|＝0.005＜0.01，，|y7|＝|0.35﹣0.375|＝0.025，|y8|＝|0.45﹣0.425|＝0.025， 即有4组数据为“正常数据”， 所以X的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故数学期望． 18．解：（1）因为|F1F2|＝2，离心率为， 所以， 解得a＝2，b， 则椭圆的方程为； （2）由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|＝4， 所以|AF1|+|BF2|＝4﹣|AF2|+|BF2|， 当直线l的斜率不存在时，|AF1|+|BF2|＝4； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 此时Δ＝144k2+144＞0， 由韦达定理得，， 此时， 同理得， 所以|AF1|+|BF2|＝4﹣|AF2|+|BF2|， 因为 ， 令t，t≥1， 此时2， 当且仅当k＝0时，等号成立， 所以0＜|﹣|AF2|+|BF2||≤2，|AF1|+|BF2|∈[2，4）∪（4，6]． 综上所述，|AF1|+|BF2|的取值范围为[2，6]． 19．解：（1）当a＝0时，f（x）＝ex﹣x，所以 ， 所以； （2）当a＝1时，f（x）＝ex+x2﹣x，所以f′（x）＝ex+2x﹣1，令F（x）＝ex+2x﹣1， 所以F′（x）＝ex+2＞0，所以F（x）＝ex+2x﹣1在R上单调递增，所以当x＝0时，F（0）＝0， 所以在（0，+∞）上F（x）＞0，即f′（x）＞0，在（﹣∞，0）上F（x）＜0，即f′（x）＜0， 所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减； （3）由题意可得在[0，+∞）上恒成立， 当x＝0时，a∈R， 当x≠0时，原不等式变为，令，x∈（0，+∞）， 则， 令h（x）＝﹣2（x﹣2）ex+x3﹣2x﹣4，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝﹣2（x﹣1）ex+3x2﹣2， 所以h″（x）＝﹣2xex+6x＝2x（3﹣ex），所以在x∈（ln3，+∞）上，h″（x）＜0，在x∈（0，ln3）时，h″（x）＞0； 所以函数h′（x）在（ln3，+∞）上单调递减，在（0，ln3）上单调递增，因为h′（0）＝0，所以当x∈（0，ln3）时，h′（x）＞h′（0）＝0， 因为h′（2）＝﹣2e2+10＜0，h′（ln3）＞h′（0）＝0且h′（x）在（ln3，+∞）上单调递减， 所以∃x0∈（ln3，2），使得h′（x0）＝0，且当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＜0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＞0， 所以函数h（x）在（x0，+∞）上单调递减，在（0，x0）上单调递增，因为h（0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h（x）＞h（0）＝0， 且函数h（x）在（x0，+∞）上单调递减，所以当x∈（x0，2）时，h（x）＞0； 当x∈（2，+∞）时，h（x）＜0，所以当x∈（2，+∞）时，h（x）＜0，当x∈（0，2）时，h（x）＞0； 所以当x∈（2，+∞）时，，当x∈（0，2）时，； 所以函数g（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 所以，所以，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $