精品解析：山西晋城市高平市第一中学校等校2026届高三第一次模拟考试数学试题

山西晋城市高平市第一中学校等校2026届高三第一次模拟考试数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由即，得， 所以，故. 2. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 由，得，得 ， 故． 3. 已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（ ） A. 45 B. 47.5 C. 50 D. 52.5 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，得， 若 ，则这五个数为45，50，50，50，55，中位数为50． 若 ，不妨设，则，又，所以这五个数的中位数仍是50． 4. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，解得， 于是． 5. 已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，所以， 又，所以的最小值为． 6. 已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，可得， 而，解得 ， 故圆台的体积． 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【详解】 展开式中的系数分别为， 而展开式中的系数分别为， 所以原展开式中的系数为． 8. 已知函数，若当且仅当时成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导并对参数进行分类讨论，求出函数的单调性，计算出不同情况下的最值，依题意得出不等式可解得的取值范围. 【详解】 显然，可得，于是． 令 ，可得或； 当 时，，，单调递增，当且仅当，此时符合要求； 当时，若或，则 ，若，则 ； 此时在上单调递增，在上单调递减， 根据题意知，得，此时，满足条件，可得； 当 时，若或，则 ， 若，则 ； 在上单调递增，在上单调递减， 则需，即，得． 可得； 综上，的取值范围是． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. 的虚部为1 C. 存在，使得 D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限 【答案】AD 【解析】 【详解】由题设. 对于A，显然，于是，故A正确； 对于，其虚部为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于， 若其在复平面内对应的点在第四象限，则,不等式组无解，故D正确． 10. 记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 设，则 D. 设，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】 对于A，当时，，于是，故A错误； 对于B,， 两式相减得， 可知是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 即可得当时，， 于是，故，故D正确． 11. 记双曲线 的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若原点在圆上，则 B. 若原点在圆上，则 C. 若的左顶点在圆上，则 D. 若的左顶点在圆上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，可求出双曲线方程和圆的方程，判断出大小后再判断的大小，结合角的关系可判断正误，对于B，求出交点坐标后可判断其正误，对于C，D，也可先求出双曲线方程和圆的方程，求出交点坐标再计算长度和角的余弦值后可判断它们的正误. 【详解】 对于A，记的半焦距为 ，若原点在圆上，则， 由对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，则， 而， 同理，而， 所以，而，所以， 于是，而， 于是，可得，故A正确； 对于B，此时圆，而， 联立得可得， 由，得， 而，故，故B正确； 对于C、D，， 圆，联立得 消元后可得， 可得 ，所以， 又，所以由余弦定理得，故C错误，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】令，得， 令，得，所以， 于是． 13. 若，则__________． 【答案】3 【解析】 【详解】 ． 14. 过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的焦点为 ，抛物线方程可改写为，则， 设两条切线分别为，切点分别为，如下图： 则， 令，可得．联立的方程，可得， 所以，则，所以， 同理， 则的外接圆以为直径，又， 所以外接圆面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在 中，． （1）求 ； （2）若，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出 及 的余弦值，再根据两角和的余弦可求 ； （2）由正弦定理求得，再根据公式可求面积. 【小问1详解】 （1）由，得， 此时，可得， 于是． 【小问2详解】 由，得， 在 中由正弦定理得，可得， 故 的面积． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，为的中点． （1）证明： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接． 因为四边形是菱形，所以， 因为分别是的中点，所以，所以 ． 由，得 ， 而平面平面，平面平面 平面， 故 平面,又平面，所以 ． 又，平面 ，所以平面 ． 而平面 ，故 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形和平行关系可得 ，由面面垂直可得 平面，从而可得 ，再由线面垂直的判定定理可得平面 ，故可得 ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面 的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知 为正三角形，而，故， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 则， 于是． 设平面的法向量为， 则即，可取． 设直线与平面所成的角为， 则． 17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，上顶点为，过点的动直线与交于另一点 ，过点且与AB平行的直线与交于两点，直线AB与PQ不重合． （1）当点在直线AB上时，求； （2）记AB的中点为 的中点为，坐标原点为，证明： 三点共线． 【答案】（1） （2）易知直线PQ的斜率不为0，故设 ，如下图： 联立可得 ， 则， 于是 ．由 ， 联立可得 ， 设 ，则， 于是 ．因为，所以M，O，N三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据焦点以及顶点坐标可求得 ，联立直线和椭圆方程利用韦达定理以及弦长公式计算可得结果； （2）分别联立直线 与椭圆方程，利用韦达定理分别求出点的坐标，可求出，可得结论. 【小问1详解】 由题意知 ． 设．当点在直线AB上时， 可知直线AB的斜率为1，所以 ． 联立得可得 ， 不妨设 ，解得， 于是． 【小问2详解】 略 18. 甲、乙、丙三名同学进行传球游戏，有1个红球和1个绿球，每一轮中，持有球的人都将手中的球传出，若某人持有1个球，就将此球等可能地传给另外两人中的一人，若某人持有2个球，就在这一轮中将2个球分别传出，每个球都等可能地传给另外两人中的一人，2个球的去向互不影响，每个球一轮中只传递一次．游戏开始时，2个球都在甲手中． （1）求2轮后2个球恰好都回到甲手中的概率； （2）设轮后红球在甲手中的概率为，求； （3）设轮后甲手中球的个数为的期望为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算可得结果； （2）利用的递推关系可得，再由数列构造可得数列为等比数列，可求出； （3）易知服从二项分布，可得，再利用等比数列前项和计算可求得结果. 【小问1详解】 2轮传球后，红球回到甲手中的概率为， 由题意知，红球与绿球的传递相互独立， 所以2轮传球后，绿球在甲手中的概率也是． 所以2轮传球后2个球恰好都回到甲手中的概率为． 【小问2详解】 考虑红球在第轮到第 轮的位置变化： 若第轮后红球在甲手中，则第 轮后红球一定不在甲手中，若第轮后红球不在甲手中，无论球在乙和丙谁的手中，传回甲的概率均为， 所以． 整理得，又，所以， 即（或写成）； 【小问3详解】 因为红球与绿球的传递相互独立，所以服从二项分布， 所以． 可得 . 19. 已知函数． （1）当时，求曲线 在点处的切线方程； （2）若当时，，求的取值范围； （3）若存在两个不同的正数，使得，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并计算出在点处的导数值，再由直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）由题意可知在时恒成立，构造函数并求出其最小值，即可得； （3）方法一：根据题意可知函数的图象与直线至少有两个交点，对函数求导并对进行分类讨论，即可求得其范围； 方法二：构造函数并利用洛必达法则可求得当时，，可求得的取值范围是. 【小问1详解】 当时，， 所以，又 ， 所以所求的切线方程为 【小问2详解】 由题意，当时，，即． 设函数，则， 令，解得，当时，单调递减，当 时，单调递增． 所以当时，取得最小值，， 所以， 即的取值范围是． 【小问3详解】 方法一： 依题意，因为 ，所以， 整理可得，即，所以； 即函数的图象与直线至少有两个交点． ， 设函数，则， 易知 在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 若，则单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，即 ，则函数存在两个零点，记为，且， 其中， 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 所以的极小值为，极大值为． 再比较与的大小： ． 设，则， 所以 单调递减，，即，从而． 因为 ，且， 所以，且， 所以，且， 所以的图象与直线在区间内各有一个交点，因此 符合题意． 综上，的取值范围是． 方法二： 由题意得，因为 ，所以． 不妨设，则，两边取对数得， 所以， 所以． 设，则， ． 设，则（根据不等式）， 故单调递增，，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，又当时，，所以， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西晋城市高平市第一中学校等校2026届高三第一次模拟考试数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的公差为，若，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（ ） A. 45 B. 47.5 C. 50 D. 52.5 4. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 24 8. 已知函数，若当且仅当时成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. 的虚部为1 C. 存在，使得 D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限 10. 记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 设，则 D. 设，则 11. 记双曲线 的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若原点在圆上，则 B. 若原点在圆上，则 C. 若的左顶点在圆上，则 D. 若的左顶点在圆上，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，且，则__________． 13. 若，则__________． 14. 过直线上一动点 （点 不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求 ； （2）若，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，四边形 是菱形，平面平面，为 的中点． （1）证明： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，上顶点为，过点的动直线与交于另一点 ，过点且与AB平行的直线与交于两点，直线AB与PQ不重合． （1）当点在直线AB上时，求； （2）记AB的中点为 的中点为，坐标原点为，证明： 三点共线． 18. 甲、乙、丙三名同学进行传球游戏，有1个红球和1个绿球，每一轮中，持有球的人都将手中的球传出，若某人持有1个球，就将此球等可能地传给另外两人中的一人，若某人持有2个球，就在这一轮中将2个球分别传出，每个球都等可能地传给另外两人中的一人，2个球的去向互不影响，每个球一轮中只传递一次．游戏开始时，2个球都在甲手中． （1）求2轮后2个球恰好都回到甲手中的概率； （2）设轮后红球在甲手中的概率为，求； （3）设轮后甲手中球的个数为的期望为，求． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线 在点处的切线方程； （2）若当时，，求的取值范围； （3）若存在两个不同的正数，使得，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $