总复习 7.图形与几何-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

对照学参考答案 解得n=21。 探索规律 148根小棒可以摆21个八边形。 1.(1)1319 正比例与反比例 （2)125216 1.（1)9:1.8=1.8:0.36 (3)132134 (2)乘3（答案不唯一） (4)0 (3) 81:30 30 (5)15 2.9 2.98÷4=24(组)…2（个） 3.(1)反 125÷4=31（组)…1（个) (2)12 31+1=32(个) 4.甲、乙的面积比是好：写=3：4 第98个图形是○， 这列几何图形中 48÷4×3=36(cm2) △有32个。 常见的量 3.星期六 1.320 38005.08 图形与几何 45子69 第1课时 图形的认识 7.57502.56050 2.(1)14 1.(1)7452 (2)② (2)等腰钝角 (3)10210 (3)21时23分 (4)5 3.1995、2100、50001200、2024、3008 2.∠2是∠3折叠后得到的。∠2= 4.晚上9：30即21：30。 ∠3=70° 21时30分-6时30分=15时 180°-(70°+70°)=40° 20分=号时15÷号+1=46（次） ∠1=40° -7- Q新学期对照学数学六年级下册BS 3.2mr=1×2mR 4 3.(画图略)子×3×5×5-×3× =4 4×4= 2(cm2) r R是r的4倍。 第4课时 图形与位置 第2课时 图形与测量 1.D 2.C 1.(1)米 3.B (2)平方米 4.合理即可。 (3)升 5.华华从学校出发先向东走300m到 2.6.08780 书店，再向北偏东45°方向走320m 到公园，最后向东偏南45°方向走 3.(1)8+6×2+3.14×8÷2= 450m到少年宫。 32.56(cm) 统计与概率 (2)(4+8)×4×1-3.14×4×1= 4 第1课时统计 11.44(cm2) 1.（1)折线 4.25.12÷3.14÷2=4（m) (2)扇形 号×34×华x3÷(314×5)= 2.C 0.64(m) 3.（1)15 第3课时 图形的运动 （2)（画图略)27 1.图形①绕其左下角顺时针旋转90°， 4.（18×5×2)÷(5+18×5÷30)= 再向下平移5格，得到图形②。（答 22.5（千米/时) 案不唯一) 第2课时 可能性 2.画图略。 1.(1)可能 -8-Q新学期对照学数学六年级下册BS 图形与几何 第1课时【 图形的认识 课前·预习例题 1.我们学过哪些图形？把这些图形分类，并找出它们之间的关系。 线：直线、射线、线段 线与角 锐角三角形 角：锐角 等边三角形 直角 三角形 直角三角形 等腰三角形 钝角 钝角三角形 三角形 平角 周角 平行四边形 正方形 梯形 多边形 四边形 梯形 长方形 四边形 长方形、 平行四边形 五边形 平面图形< 圆 正方形… 图 形 长方体正方体 圆柱 立体图形 圆锥 立体图形 长方体、正方体、圆柱、圆雏… 2.结合具体的物体或图形，说说立体图形与平面图形之间的联系。 立体图形的裁面是平面图形。 8×牙青m 从正面、右面和上面看是长方形 从正面看是 从任意方句看 个正方形。 都是正方形。 下两个面是圆。 △四 底面是圆。 这个截面是一 个三角形。 圆柱的侧面展开 图是一个长方形。 等腰三角形。 还可以是正方形或平行四边形。长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 3.画两条直线，想一想，在什么情况下两条直线互相垂直？在什么情况下两条直线互相平行？ 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；在同一平面内永不相交的两条直线互相平行。 一个三角形至少有两个角是锐角，最多只有一个角是直角或纯角。 70|中小学AI教辅 4.写出下面各角的名称，并说出你的理由。 大于0。且 大于90°且小 小于90 等于90° 于180 等于180 等于360 (锐角) (直角) (钝角) (平角) (周角) 5.我们学过哪些平面图形？分别说出这些平面图形的特点，并尝试验证。，对折 直径有无数条。 可以分别从边 可以用折纸的方法 角来描述平行 圆是由曲线 来说明长方形是轴 四边形、三角 围成的图形， 对称图形… ”=7 形…的特点。 它的 有2条对称轴。 平行四边形的两组对边平行且相等 对 相等。 三角形有三个内角 三个内 是180° 长方形的两组边分别军霜 且相等，四个角都是直角。 6.举例说明平面图形的特点在生活中的应用。 篮球架的固定、自行车车架等都利用了三角形的稳定性。伸缩门、升降机等都应用了平行四边 形易变形的特点。车轮、并盖等都运用了圆的圆心到圆上的距离处处相等的特点。 7.一个三角形可能有两个直角吗？与同伴交流你的理由。 不可能，三角形的内角和是180°，两个直角的和是180，另一个角不能是0° 8.分别说出已学过的立体图形的特点，并尝试验证。 可以用把一个圆柱的 可以从顶点、面、 棱等角度来描述长 侧面剪开的方法说明 方体…的特点。 “圆柱的侧面展开图 是一个长方形” 长方体：每 个面都是长方形（也可以有2 圆柱：2个底面，1个侧面，没有顶点， 面是正方形)，8个顶点，6个面， 没有棱。 12条棱 正方体：每不窗都是正方形，8个顶点，6 圆维：1个侧面，1个底面，1个顶点， 个面，12条棱。 没有棱。 9.观察下面用4个正方体搭成的图形，并填一填。 ② ③ ⑤ (1)从正面看到的图形是 的有③。 ①提示：从同一方句看不同的物体，看到 的图形可能相同，也可能不同。 (2)从侧面看到的图形是 的有②⑤。 (3)从上面看到的图形是 的有①④。 课堂·任务学习 任务 理知识 1.线段、射线和直线：直线上任意两点之间的一段，叫作线段。把线段的一端无限延长， 就得到一条射线。把线段的两端无限延长，就得到一条直线。 2.角：由一个顶点引出两条射线组成的图形，叫作角。这个点叫作角的顶点，这两条射 线叫作角的边。角的大小与两条边张开的大小有关。 3.三角形：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形。三角形具有稳定性。 三角形的内角和是180°。 4.四边形：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作四边形。长方形、 正方形和等腰梯形都是轴对称图形，其中长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴， 等腰梯形有1条对称轴。 5.圆和扇形：圆是由一条曲线围成的封闭图形。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所 围成的图形叫作扇形。两条半径所夹的角叫作圆心角。在同圆或等圆中，圆心角越大， 扇形越大。 6.圆柱：以长方形或正方形的一边所在直线为轴旋转一周可以形成圆柱。 7.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周可以形成圆锥。 任务 2 学方法 O用数形结合法求角度 将一个长方形纸折叠后，得到∠1=30°。∠2的度数是多少？ 思路分析 ∠2是∠3折起 ∠2=∠3 来后得到的角 ∠2=(180°-∠1)÷2 ∠1+∠2+∠3=180° 正确解答 （180°-30°)÷2=75° 答：∠2的度数是75°。 3课后·对照练习 1.填一填。0根据“例题”练一练 (1)数一数，右图中一共有( )条线段，()个锐角，（ 个直角，( )个钝角。 (2)一个三角形的三个内角度数的比是2：2：5，这个三角形既是 ()三角形，又是( )三角形。 (3)在一个长30cm,宽20cm的长方形中，先画一个最大的圆，圆的半径是 (）cm,再在剩余的部分中画圆，可以画( )个直径是( ）cm 的最大的圆 (4)一个组合体是由若干个同样大小的小正方体拼成的，从不同方向看到的形 状分别如下图所示，那么该组合体中有( )个同样的小正方体。 正面 上面 左面 2.华华将一张长方形纸按下面的方式折叠后，已知∠2=70°，∠1和∠3分别是 多少度？①根据“学方法”练一练 3.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和一个扇形，恰好能围成一个圆锥，如果 圆的半径是r,扇形的半径是R,那么R是r的几倍？①根据“例题”练一练 R (对照学参考答案：P7~P8) 中小学AI教辅|71 Q新学期对照学数学六年级下册BS 第2课时图形与测量 1 课前·预习例题滋 围栏的长、草坪的边长等指的是长度；水池的占地面积、草坪的 面积等指的是面积；柱子的大小、水池中水的多少等指的是体积。 工人需要知道 哪些有关图形 测量的数据？ 结合实例，说一说你对长度、面积、体积的认识。 2.看一看，说一说。 6×6×6=216(个) 3×6=18(个) 5.4cm OTO 30 测量要有 “单位”。 为什么要用统 的“单位”呢？ 没有单位，不能够表达所测量的种类与大小，只有数字，没 3.填一填。 有实际意义；使用统一的单位，便于比较和计算。 长度单位间的进率 面积单位间的进率 体积（容积）单位间的进率 1m=(10）dm 1m2=(1o0）dm2 1m3=(1oo0)dm3 相两个体 1dm=(1o）cm 1dm2-(1o0）cm2 1dm3=(1oo0）cm3 积（容积） 1cm=(1o）mm 1cm2=(1o0）mm2 1cm3=(1oo0)mm3单位 间的进 相邻两个长度单位 相邻两个面积单位 1L=(1000)mL 率是1000。 间的进率是10 间的进率是100。 4.借助实例说一说1m,1dm,1cm分别有多长；1m2,1dm2,1cm2,1m3,1L,1mL分别有多大。 1m:课桌高；1dm:圆珠笔长；1cm:指甲盖宽；1m2:地板砖面积；1dm2:粉笔盒一个面的面积； 1cm2:手指甲面积；1m:洗衣机体积；1L:2瓶矿泉水的体积；1mL:20滴水的体积。 5.与同伴交流，你是如何量角的。在估计角的大小时，你有什么好办法。 (1)测量角的方法：①将量角器的中心与角的顶点重合；②将量角器外圈或内圈的0°刻度线 与角的一条边重合；③与角的另一条边重合的刻度线上的度数，就是角的度数。 (2)估计角的大小：可借助三角尺上已有的角度来估计。 72|中小学AI教辅 6.想办法求出下面图形的周长，并说说什么是周长。 测量出各条边的长度，再相加，就是周长。 用线绕一圈，再将线拉直测量。 1 cm 1.6cm 周长大约6cm 2.1cm 3.1cm cm 1 cm 4.2cm 1.5cm 2.1+4.2+3.1=9.4(cm） 1+1+1.5+1+1.6=6.1(cm) 7.分别说出已学过的多边形的面积计算公式，并说说公式之间的联系。 把两个完全相同 的三角形拼成一 把正方形看作长和 e S=a2宽相等的长方形。 个平行四边形， 一个三角形的面 a 积是与它等底等 S= 高的平行四边形 2ah 面积的一半。 a S=ab S=ah 通过割补、平移，转 化成长方形。 b 9-是(a+6% 把两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，一个梯 形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 &.想一想圆的面积计算公式的探索过程，并说一说圆的面积公式。 把圆沿它的半径平均分成若千份（偶数份），拼成一个近似的长方形。平均分成的份数越多， 轿成的图形就越接近长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。S=π2= m(4) 2 9.举例说明什么是立体图形的表面积。说一说长方体、正方体、圆柱的表面积的计算方法。 立体图形所有面的面积和就是立体图形的表面积。 长方体的表面积=2(ab+bc+ac) 正方体的表面积=6a 圆柱的表面积=2S意+S倒=2Tr2+Ch=2Tr2+2Th 10.分别说出已学过的立体图形的体积计算公式，并说说公式之间的联系。 把正方体看作长、宽、 切、拼后可看成近似的长方体。 圆维的体积 高都相等的长方体。 是与它等底 等高的圆柱 体积的号 a V=abh V=Sh V=Sh 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.平面图形的周长和面积：围成一个图形的所有边长的总和，叫作这个图形的周长。物 体的表面或围成的平面图形的大小，叫作它的面积。 2.立体图形的表面积和体积（容积)：一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。 一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。容器所能容纳物体的体积叫作这个容器的 容积。 3.用排水法测量不规侧物体的体积： (1)溢水法：在容器中装满水，把不规则物体完全浸入水中，溢出的水的体积就是 不规则物体的体积。 (2)升高法：在长方体（或圆柱形)容器中倒入一定量的水，把不规则物体完全浸 入水中（水未溢出），水面上升，上升部分的水的体积就是不规则物体的体积。 不规则物体的体积=容器的底面积×水面上升的高度。 任务 学方法 ⊙运用等积法求物体高度 把一块棱长为10cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20cm的圆锥形铁块。这 个圆锥形铁块的高是多少厘米？（π取3） 思路分析题目是把正方体变成圆锥，在这个过程中，体积没变，只是形状发生了 变化。可以根据棱长求出正方体的体积，再用正方体的体积除以圆锥底 面积的}就可以求出圆维的高。也可以根据正方体与圆锥的体积相等， 列方程解答。 正确解答 (10×10×10）÷[3×(罗）2x号]=10(cm）》 答：这个圆锥形铁块的高是10cm。 3课后·对照练习 1.在括号里填上适当的单位名称。①根据“例题”练一练 (1)世界最高峰珠穆朗玛峰高8848.86(）。 (2)某足球场的面积是7140（)。 （3)纯净水桶容积为17（ )。 2.在括号里填上合适的数。①根据“例题”练一练 6m28dm2=( ）m2 7.08L=( )dm3( ）cm3 28公顷=）km2 120cm= m 3.按要求计算。①根据“例题”练一练 (1)求下面图形的周长。 (2)求涂色部分的面积。 4cm ■ 6cm 8cm 8cm 4.一个圆锥形小麦堆，底面周长是25.12m,高是3m。如果将这堆小麦装入一个底 面半径是5的圆柱形粮仓中，粮仓中小麦的高是多少米？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P8)》 中小学A教辅|73 Q新学期对照学数学六年级下册BS 第3课时图形的运动 课前·预习例题滋 ©总结：1.轴对称图形的对称点到对称轴的距离相等。 2.平移两要素：平移方句、平移距离。 3.旋转三要素：旋转中心、旋转方句和旋转角度。 1.观察右面的图形，并解答下面问题。 (1)图A是轴对称图形吗？是轴对称图形。 (2)图1中图A经过怎样的运动可以得到图2？ 句下平移3格。 (3)图1中图A经过怎样的运动可以得到图3？ 图1 图2 要得到图4呢？试一试。（方法不唯一） 图1中的图A先绕点0逆时针旋转90°，再句右平 移2格，最后向下平移2格可以得到图3。 图1中的图A绕点K顺时针旋转90°，再向右平移 1格，最后向下平移1格可以得到图4。 图3 图4 2.在学过的图形中，哪些图形是轴对称图形？它们分别有多少条对称轴？ 等腰 等边 等腰 圆和 名称 正方形 长方形 扇形 三角形 三角形 梯形 圆环 图示 函白人△企小® 区 对边中点的 顶点与底顶点与对上、下底 圆心与东 对边中点 连线及对角 边中点的边中点的中点的连直径所在的直的中点的 对称轴 的连线所 连线所在的 连线所在连线所在线所在线 连线所在 在的直线 直线 的直线 的直线 的直线 的直线 对称轴 2 3 无数 条数 74I中小学AI教辅 2课堂·任务学习 任务 1 理知识 1.轴对称： (1)把一个图形沿一条直线对折后，折痕两侧的图形能够完全重合，这个图形就叫 作轴对称图形，折痕所在的直线叫作对称轴。 (2)轴对称图形的对称点到对称轴的距离相等。 (3)常见的轴对称图形及对称轴： 等腰三角形等边三角形 长方形 正方形 等腰梯形 圆和圆环 扇形 1条对称轴 3条对称轴 2条对称轴4条对称轴 1条对称轴 无数条对称轴 1条对称轴 2.平移： (1)物体（或图形)在同一平面内沿着直线运动的现象叫作平移。 (2)平移的要素：一是平移的方向；二是平移的距离。 (3)平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 3.旋转： (1)物体（或图形）绕着一点或轴做圆弧或圆周运动的现象叫作旋转。 (2)旋转的三要素：一是旋转中心；二是旋转方向；三是旋转角度。 (3)旋转的性质：旋转不改变图形的形状和大小。 4.放大与缩小 (1)把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，从而得到该图形的放大图形或 缩小图形。 (2)放大图形或缩小图形的性质：一个图形放大或缩小后得到的新图形与原图形相 比，形状相同，大小不同。 任务 2 学方法 ©用“旋转法”求涂色部分面积 如图，把一个半径是8cm的半圆形绕点A逆时针旋转30°， 此时点B的对应点是点B',求涂色部分的面积。 30° B 思路分析整个图形的面积既是空白半圆形与涂色部分面积的和，又是扇形AB'B与 直径为AB'的半圆形的面积的和。因为空白半圆形的面积等于直径为AB 的半圆形的面积，所以涂色部分的面积和扇形AB'B的面积相等。 正确解答 30° -×3.14×(8×2)2≈66.99（cm2) 360° 答：涂色部分的面积是66.99cm2。 任务 3 做易错 ⊙易错点：未掌握平移、旋转、放大、缩小与轴对称的相关知识 画一画。 (1)将小旗子向左平移8格得到图形A。 (2)将小旗子绕点O按顺时针方向旋转90°得到图形B。 (3)画出小旗子按2：1放大后的图形C。 十十十 易错解读(1)将小旗子向左平移8格，先将关键线段旗柄向左平移8格，然后确定 旗面上的各关键，点都向左平移8格后的位置，再按原来小旗子的形状连接 起来。(2)将小旗子按顺时针方向旋转90°，可以先将关键线段旗柄绕 点O顺时针旋转90°，然后确定旗面上的各关键点旋转后的对应点，再按 原来小旗子的形状连接起来。（3)由题图可知，小旗子原来的旗柄高是 2格，旗面的高是3格，旗面的宽是3格，按2：1放大后，旗柄高是2×2= 4（格)，旗面的高是3×2=6（格)，旗面的宽是3×2=6（格)。计算 出这些数据后，选择合适的位置即可画出放大后的图形。所以本题的正 确画法如图所示。 3课后·对照练习 1.图形①经过怎样的运动可以得到图形②？①根据“例题”练一练 2.按要求画一画。①根据“做易错”练一练 D (1)画出图形A的另一半，使它成为一个轴对称图形。 (2)把图形B向右平移6格，再向上平移2格，得到图形B,。 (3)把图形C绕点0逆时针旋转90°，得到图形C,。 (4)把图形D按2：1放大，得到图形D,。 3.将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到三角形AB,C1。 (1)在图中画出三角形AB,C。 (2)图中每小格的边长均表示1cm,请你先涂色表示出旋转过程中线段BC 所扫过的区域，然后求出该区域的面积。（π取3，AC是5cm) ①根据“学方法”练一练 A B (对照学参考答案：P8) 中小学AI教辅|75 Q新学期对照学数学六年级下册BS 第4课时 图形与位置 课前·预习例题酒 星期日，奇思去动物园游玩，在大门口看到了动物园的示意图。他想先去百鸟 园，你能帮他确定百鸟园相对大门的位置吗？ 北 心十东 百鸟园 熊猫馆 。猴山 比例尺1：10000 方法一：用方句和距离确定位置。 我是这样做的： 个北方何标 方法二：。用数对确定位置。 →东 我是这样做的： 个北方向标 百鸟园 东 百鸟园 (4,3) 熊猫馆 熊猫馆 500m 53° 猴山 猴山 观测点 大门 原点 大门 (0,0) 每格表示100m 百鸟园在大门北偏东53°500m处。 如果设大门的位置为(0,0)，百鸟园的位置可以 表示为(4,3)，每格表示100m,也就是百鸟园 在大门句东400m,再句北300m处。 76|中小学AI教辅 2 课堂·任务学习 任务 理知识 1.确定物体的相对位置： (1)用“上、下、左、右、前、后”确定物体的相对位置。 (2)找准观测点，根据方向和距离就能确定物体的位置。 (3)描述物体位置的三要素：观测点、方向和距离。 (4)用方向和距离能确定物体的位置。 北 西北 东北 2.辨认方向： 地图或平面图通常是按上北、下南、左西、 西 东 右东绘制的，除此之外还有东北、西北、 东南、西南4个方向，如右图所示。 西南 东南 3.用数对表示位置： 南 (1)列和行的规定：竖排叫作列，横排叫作行，确定第几列一般是从左往右数，确 定第几行一般是从前往后数。 (2)用数对表示位置的方法：用数对表示位置时，一般先表示第几列，再表示第几行， 要用小括号把列数与行数括起来，并用逗号把列数和行数隔开。 4.描述简单的路线图： (1)路线图的意义：从一处到另一处所经过的道路叫作路线。把所经过的路线上的 一系列地点按实际形状绘制的图，就是路线图。 (2)观察并描述路线图：①根据方向标明确路线图的方向；②根据比例尺和测得的 图上距离求出相应的实际距离；③明确图中从哪儿按什么方向走，走多远到 哪儿。 (3)画路线图：①确定方向；②根据实际距离及图纸的大小确定比例尺；③求出图 上距离；④以某一地点为起点，根据方向和图上距离确定下一地点的位置，再 以下一地点为起点继续画。 任务 学方法 ⊙运用分析法选择合适的比例尺确定物体位置 梦梦从学校出发，先向西走300m到社区中心，再向北走200m到好又多超市，然 后向北偏东30°方向走300m到新华书店，最后向西走350m到红玫瑰花店。根 据描述，选择合适的比例尺，画出梦梦去红玫瑰花店的路线图。 思路分析根据描述，找出观测，点，确定方向，根据表示的距离在200m~350m之 间，确定1个单位长度表示100m比较合适，再根据确定好的单位长度表示 的距离确定位置。 正确解答 新华书店 (画法不唯一) 北 红玫瑰花店 十东 30° 好又多超市 0100m 学校 社区中心 任务 做易错 ⊙易错点：未掌握确定物体的相对位置的相关知识 我国海上搜救队在一次演练中，捕捉到求救信号在搜救船只北偏东35°方向，搜救船只 在求救信号( )的方向。 A.东偏北55 B.南偏西35° C.西偏南35° D.东偏北35 易错解读确定两个物体的相对位置时，需遵循“方向相反、角度不变、距离不 变”的规律。题中以搜救船只为观测，点，求救信号在其北偏东35°方 向；当观测点换成求救信号后，方向要与原来相反，北对应南、东对应 西，角度依旧保持35°，所以搜救船只在求救信号的南偏西35°方向。 所以本题的正确答案为B。 3课后·对照练习 1.小明在教室的位置是（8,6)，和他相邻的同学可能是（ ①根据“例题”练一练 A.欢欢（6,8) B.小亮(3,4) C.乐乐（7,8) D.小梅（8,5) 2.如图，点M在点O的北偏东40°方向，那么点M在 点P的( ）方向。①根据“做易错”练一练 M 十东 A.北偏东50° B.北偏西40° 40° C.北偏西50° D.南偏东50 3.三角形的一个顶点A可以用数对(5,6)表示，如果把这个三角形向上平移4格， 再向左平移3格，这时点A用数对()表示。①根据“例题”练一续 A.（9,9) B.(2,10) C.（8,10) D.(3,10) 4.请选择合适的比例尺画出荣荣家和恒恒家的位置。①根据“学方法”练一练 我家在学校正南 方向的300m处。 荣荣 我家在学校北偏西 30°约400m处。 恒恒 5.看图描述华华从学校到少年宫所走的路线。①根据“例题”练一练 公园 4 东 450 北 00m 320m 450m 学校 书店 少年宫 (对照学参考答案：P8) 中小学ANl教辅|77