一 圆柱与圆锥-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

认识圆柱与圆锥，了解圆柱和圆锥的基本特征，知道圆柱和圆锥各部分的名称 面的旋转 圆柱与圆锥 经历由面旋转形成圆柱、圆锥的活动过程，体会面与体之间的联系 图柱的表 探究并掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法 面积 理解圆柱的侧面展开图与圆柱的关系 通过圆柱与长方体的“类比”，经历“猜想与验证”探素圆柱体积计算方法的过程，体会“类 圆柱的 比”的数学思想方法 体积 装握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单 号清想与验正保素性体织计为的2金锅的计销方法，能正针 圆锥的 算圆锥的体积 体积 能运用圆锥体积的计算方法解决些简单的实际问题 Q斯学期对量学)数学六年级下册S 。圆柱与圆锥分别有什么特点？与同伴交流。 第1课时面的旋转 ,圆桂比圆维多一个底面 有一个底面是圆 圆柱有两个面是大小相同 圆推有一个顶点，圃柱 有一个面是曲面 的圆，有一个面是曲面。 没有顶点 圆锥… 课前·预习例题 娱嫁风等的体节可以看作许多点，风等在空中飞行的过程中形成T线；把雨 刷看作一条线，雨刷强动过程中形成一个扇形的面：把长方形转门看作一个 平面。转门在转动的过程中形成了一个圆柱 ③总结：国柱由3个面粗成，其中2个底面是两个大小究全相同的团，一个面是曲面 观察下面各图，说说你是怎样理解的。 也叫倒面。团雄由2个面组成，其中底面是一个圆，另一个面是曲面，也叫倒面， 圆维有一个顶点。 国往的上，下两个面叫作国桂的底面：圆成 一试 闻柱的曲面叫作国柱的侧面；圆柱两个底面 之问的草离叫作国柱的高 认 一认 顶点 圆维下的面网 点动成线 线动成面 面动成体 0底面 作圆维的底面： 图成圆维的曲面 观察并想象硬纸片快速旋转后所形成的图形。 圆柱有无数素高 叫作圆维的侧面 高 高 国雏只有一条高 侧 从围锥的顶点到 转动起来会形成 面 圆桂可以看桥 形成了圆柱。 可以看 底面圆心的距离 什么图形呢？ 是由长方形镜 作是由直角 0。底面 叫作闻维的高。 着它的一系边 三角形绕着 0底面 旋转而形成的 一条直角边 怎样测量圆柱与圆锥的高？ 图形 旋转而形成 可以这样量 的形。 圆维的高。 -s 。上面一排图形旋转后会得到下面的哪个图形？想一想，连一连。 0 平板和底面一样平 长方形镜其一奉边 旋转后得到圆柱： 面 底面放平 率国绕其直位旋转 形 0 后得到球：直角三 (1)把圃柱平教在平板上：(2)把直尺 (1)把圆雄放在平板上：(2)用另一块平板水 角游绕其中一条直 竖直靠在国桂的一旁，将直尺的0割度线 平地救在国维的顶端：(3)把直尺竖直地靠在国 角边旋传后得到国 立体 对准圆柱的下底面：(3)平视上底面对着 锥的一旁。直尺的0纠度线紧贴国锥的底面地缘 维：直角稀形镜具 图形 直尺的制度，读出围杜的高。 (4)平视上面的平板对着直尺的创度，读出圃雅 垂直于底边的腰旋 的高。 转后得到圆台 圆柱 圆台 球 圆锥 2I中小学AI教辅 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务(1)理知识 1.在下图中，以直线为轴旋转，可以得到圆柱的是()，可以得到圆锥的是 1.“点、线、面、体”之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体。 ()。①根据“例题”练一练 2.圆柱的特征：（1)圆柱有两个底面和一个侧面；(2)两个底面是完全相同的圆，侧 面是一个曲面；(3)圆柱有无数条高，同一个圆柱的高都相等。 3.圆锥的特征：(1)圆锥有一个底面和一个侧面；(2)圆锥的底面是一个圆，侧面是 一个曲面；(3)圆锥只有一条高。 ③ 2.请标出圆柱、圆锥各部分的名称。①框播“试一试”棒一螂 任务(2 )学方法 ⊙运用画示意图法解决问题 一个圆柱的底面直径是6.28cm,高是4cm。若沿底面直径垂直于底面把这个圆柱切 成完全相同的两部分，则切面的面积总和是多少？ 思路分析若沿底面直径垂直于底面把圆柱切开，则会得到两个完全相同的切面， 3.下面测量圆锥高的方法正确的是()。0根据“试一试”炼一练 且切面是长方形，可以画示意图表示： 沿底面直径垂直于 底面将圆柱切开。 切面是两个完全相同的长方形。 4.把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，量得扇形的弧长是56.52cm。这个圆锥的 底面积是多少平方厘米？①根据“学方法”练一 长方形的宽等于圆柱的高。 长方形的长等于图柱的底面直径。 根据长方形的面积计算公式可以求出切面的面积。 正确解答6.28×4×2=50.24（cm2) 答：切面的面积总和是50.24cm。 理解切升后会得到两个究全相同的长方形是解答本题的关键， (对照学参考答案：1) 中小学A教辅丨3 Q斯学期对题学)数学六年级下册S 你能计算出“至少需要用多大面积的纸板”吗？ 第2课时圆柱的表面积 ©总结：圆桂有两个底面，求圆柱的表面积时底面积要乘2。 底面 侧面积：2×3.14×10×30=1884(cm2) 1 课前·预习例题 底面积：314×103-314(cm 倒面 底面半径 底面周卡 表面积：1884+314×2-2512(cm) 如图，要做一个圆柱形纸盒。 ,也就是求圆桂的表面积 10cm 答：至少需要用2512cm的纸板 底面 如果接口不计，至少需要用多大面积的纸板？说说你是怎么想的。 实际上是求圆 圆柱的底面积容易 试一试 柱的表面积， 求出，圆柱的侧面 也就是… 积怎样求呢？ 生活中，计算物体的表面积时，经常要根据实际情况分析“需要计算哪些部分的面积”。 求圆桂的两个底 国柱的侧面积 面积和一个侧面 底面周长高 ●如图，做一个无盖的圆柱形铁皮水 一个底面 要算哪几个面呢？ 和倒面 积的和 桶，底面直径为4dm,高为5dm, 至少需要多大面积的铁皮？ 圆柱的侧面展开后是一个怎样的图形呢？你能想办法说明吗？ 水桶没有盖哦！ 、就是求无盖的圆柱形铁皮水桶的表 面积，也就是求一个底面积和侧面 创面积：31445-62.8(dm) 把圆柱的侧面剪 用一张长方形 积的和 底面积：3.14（4÷2)2=12.56(dm2) 开，展开后是 的纸，可以卷 铁度的面积：62.8+12.56=75.36(dm2】 个长方形。 成圆柱形。 如图，把一个圆柱形薯片盒的商标纸剪开，是一个长18.84cm,宽10cm的长方形。这 当国柱的底面周长和高相等时，圆柱 个薯片盒的侧面积是多少？表面积呢？来这个薯片会的表雷积，也就是求这个薯片金 的侧面展开后是一个正方形 喜片金的侧面积就 ”的两个底面积和算片金的侧面积的和 是长方形的面积 长18.84cm就是 。圆柱侧面展开图的长和宽与这个圆柱有什么关系？怎样求圆柱的侧面积呢？ 我们画一 底面的周长，可 薯 将求一个曲面的面积问题。转化为求一个长方形的 个草图吧。 以先求出半径， 面积问题，体现了数学中的转亿思想 再求 底面积 长·圆柱的底面周长 宽“圆柱的高 方形药积卡 圆柱的侧面积=底面周长×高 S侧 h 侧面积：18.84×10=188.4(cm) 一底面周长→ 用字母表示：四 满个底面积：3.14%(18.84+3.14+2)2×2=56.52(Cm3) S=Ch 表面积：188.4+56.52=244.92(cm2) 41中小学AI教辅 一圆柱与圆锥 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务(1)理知识 1.填一填。①根据“例题”练一练 1.圆柱侧面积的计算方法：圆柱的侧面积=底面周长×高。用字母表示为：S=Ch或 (1)圆柱的底面积是acm2,侧面积是bcm2,这个圆柱的表面积是 S=Tdh或S=2rrh。 (）cm2。 2.圆柱表面积的计算方法：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2。用字母 (2)一个圆柱的侧面积是12.56dm2,底面积是3.14dm2,它的表面积是 表示为：S表=S侧+2S座或S表=πdh+2π（d÷2)2或S表=2mh+2π2。 (）dm2。 2如图，请为生日蛋糕选择一个合适的蛋糕盒。（□里画“V”） ①根据“例则”练一拣 (任务(2)学方法) ←25cm4 28 cm 28cm ⊙运用推理法解决求圆柱表面积的问题 如图，有一块长方形的塑料板，利用图中的涂色部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水 25 cm 桶（接头处忽略不计）。这个水桶的表面积是多少平方分米？ 3.如图，圆柱的底面周长是25.12cm,高是12cm。圆柱的侧面展开图是一个() 形，求它的面积，列式是( ）。①根据“例题”排一燕 ￥-16.56dm 思路分析求圆柱形水桶的表面积，需要知道圆柱形水桶的底面直径（或半径）和 高。从图中可知，如果圆柱形水桶的底面直径是d,那么涂色部分长方形 的长（即水桶的底面周长）就是3.14d,宽就是2d。整个长方形塑料板的 4.一个圆柱形“社会主义核心价值观”宣传灯箱，侧面宣传纸展开的长是3.14m(接 长为3.14d+d=16.56dm,由此可求出d的值，进而可求出2d的值。根据 头处重叠部分忽略不计)，宽（圆柱的高）是1.5m,宜传纸的面积是多少平方米？ 圆柱的表面积计算公式，可求出水桶的表面积。 灯箱的表面积呢？①强据“学方法”练一雄 正确解答水桶的底面直径：16.56÷(1+3.14)=4(dm) 水桶的高：4×2=8(dm) 水桶的表面积：3.14×(4÷2)2×2+3.14×4×8=125.6(dm2) 答：这个水桶的表面积是125.6dm2。 解决此类题的关键是先从国中找出长方形型料板的长、国柱的底面直径、高三希 之间的关系，从而素出底面直径和高，再根据公式计算圆柱的表面积。 (对照学参考答案：P门) 中小学A教辅丨5 Q斯学期对量学)数学六年级下册S 尝试解决下面的问题，并与同伴交流。 第3课时圆柱的体积 笑笑了解到一根柱子的底面半 从水杯里面量，水杯的底面直 径为0.4m,高为5m。你能算 径是6cm,高是16cm,这个 1课前·预习例题 出它的体积吗？ 水杯能装多少毫升水？ 客积与体积的计算方法相同，但是算客积要从 客器里面测量相关数据 可以先果出它的底面积，再用“底 国为数据是从水杯里面测量得列的，所以水标 这么粗的柱 面积”高“来计算。 的客积可以直接利用体积公式计算 子，需要多 一个杯子能装多 少木材呢？ 实际上都需要求 3.14×04×5-2512(m') 3.14×(6+2)×16=452.16(cm)=452.16(mL) 少毫升水呢？ 圆柱的体积。 杯子的容积 (水的体积) 试 桂子的体积 由长方体、正方体体积的计算方法推导出圆 柱体积的计算方法，体现了类比恩想。 可以先求出它的底面积 ○想一想，怎样计算圆柱的体积呢？ 再用“底面积”高”来计算 长方体、正方体的体积 我猜想圆柱的体积也可 。金箍棒底面周长是12.56cm,长是200cm。这根金箍棒的体积是多少立方厘米？ 都等于“底面积×高”。 能等于“底面积×高”。 先要算出底 面的面积， 可以根据底面 再求 周长求出底面 V=Sh V=Sh 体积严 半径，再求出 年均分的份数越多（必须分成偶数份），得 底面积。 。尝试验证你的猜想，并与同伴交流。 成的立体图形就越接蛇长方体 314×(1256◆314+2)'×200-2512(m3) 方法一如叠更币法 方法二。等积变形法 拼成的长方 从叠硬币来看，用 拼成 体与原来的 “底面积×高”能 圆柱有什么 计算出圆柱的体积。 00 关系？ 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米铁的质量为799，这根金箍棒的质量为多少 拼成的长方体的高等干原 晶千克？ 每立方厘米铁的质量”金箍林的体积▣会植林的质量 圆柱的体积=底面积×高 来圆柱的高，精成的长方 7.9×2512=19844.8(g）-19.8448(kg) 体的底面积等于原来圆柱 h 的底面积， V=Sh 6I中小学AI教辅 一圆柱与圆锥 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务(1 )理知识 1.填一填。①根据“例题”练一炼 圆柱的体积的计算公式：圆柱的体积=底面积×高。如果用字母V表示圆柱的体积，S (1)一个圆柱的底面半径是2cm,高是4.5cm,这个圆柱的体积是 表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式可表示为V=Sh。 (）cm3。 (2)一个圆柱的体积是314dm3,底面半径是5dm,高是()dm。 2.根据给出的体积公式求圆柱的体积。①根指“例愿”练一练 任务(2)学方法 (1)10cm 0提示：人受)% ⊙运用由切割引起圆柱表面积变化的规律求体积 一个圆柱的高是8cm,如果沿横截面截掉2cm,它的表面积就减少25.12cm2,这个 圆柱的体积是多少立方厘米？ (2) 国提示；mrh 12 cm- 思路分析 2cm 沿横栽面裁掉2cm,减少的 cm 表面积就是高是2cm的圆柱 的侧面积，是25.12cm2。 3.如图，胡师傅把一个长方体木块加工成了一个笔筒，从中挖出一个底面直径为 用减少的表面积除以减少的高求出圆柱的底面周长，进而求出底面半 10cm的圆柱后，表面积增加了376.8cm2。这个笔筒的容积是多少？ 径，再根据圆柱的体积计算公式求出圆柱的体积。 ①根据“学方法”炼一练 正确解答3.14×(25.12÷2÷3.14÷2)2×8=100.48(cm3) 答：这个圆柱的体积是100.48cm。 理解把一个国柱沿横载面敌掉一段后，减少的表面积就是所载掉的这段国柱的侧面积是解答 本题的关镜。 (对题学参考答案：P门1) 中小学AN教辅|7 Q新学期对题学)数学六年级下册S 第4课时圆锥的体积 2课堂·任务学习 任务(1理知识 1课前·预习例题红 好大的一堆日 求这推小麦的体积是多少，宾 小麦… 圆锥体积的计算方法： 际上就是计算这个由小麦堆抽 象成的圆维帝占空问的大小 1.已知底面半径和高求圆锥休积的方法：V=子h。 印圆维的体积是多少， 2.已知底面直径和高求圆锥体积的方法：V=号：(d÷2)%。 ○这堆小麦的体积是多少呢？想一想， 我猜想园锥的体积大 3.已知底面周长和高求圆锥体积的方法：：了：(C÷m÷2)%。 如何得到圆锥的体积？ 概是与它等底等高的 回柱体积的 园锥的体积是不是像 长方体、圆柱那样， 也和“底面积×高 任务(2)学方法 有关系呢？是 ○运用转化法解决有关圆柱和圆锥的问题 一个内直径是12cm的圆柱形容器里装有10cm高的水，将一个圆锥形铁块放入容器 将圃维形客器装满沙子，倒入和它等底 。按照下面的方法做一做，你有什么发现？等高的圆柱形客器中，结果3次正好倒满 后，水面高度是12cm,这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ 尖脸准春。 来验方头。 安种传论 圆柱的体积等 将圆锥形容 于和它等底等 器装满沙子， 高的圆维的体 12 cm 准备等底等高的 再倒入圆柱 积的3倍。 10cm 圆柱形容器和圆 形容器，看 锥形容器各一个。。… 几次能倒满。 圆柱的体积一底面积高 12 cm- 12 cm- 国维的体积等于和它等底等高的国柱的体积的 国维的体积。底面积高×昌 思路分析根据题意可知，将圆锥形铁块放入圆柱形容器里，水面上升了(12-10)m, 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？ 那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积。水面上升部分是一 ©总结：求圆维的体积时，一般需要知 个底面半径为(12÷2)cm,高为(12-10)cm的圆柱，根据圆柱的体积 道高和底面积或者高和底面率径或者 高和底面直径或者高和底面周长。 计算公式求出上升部分的水的体积，即这个圆锥形铁块的体积。 。如果小麦堆的底面半径为2m,高为 3×3.14×2×15 正确解答3.14×（12÷2)2×(12-10)=226.08(cm3) 1.5m。小麦堆的体积是多少立方米？ =6.28(m) 答：这个圆锥形铁块的体积是226.08cm。 “尘也就是求国般的体积 答：小麦堆的体积是6.28m。 8I中小学AI教辅 ⊙根据切割引起表面积变化的规律解决求圆锥体积的问题 3课后·对照练习 一个底面直径是6c的圆锥，从顶点沿着高将它切成完全相同的两半后，表面积增加 了48cm2,原来圆锥的体积是多少立方厘米？ 思路分析 1.如图（单位：©m),将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器(）中，正好倒3次。 ①晨据“学方法”练一练 切面是两个完全一样的等腰三角形，增加 的面积是两个截面的面积和。 10 切面的底和高分别是圆维的底面直径和高。 一个等腰三角形的面积是48÷2=24(cm2)。 圆锥的高 圆维的底面直径是6cm。 2.计算下面各圆锥的体积。①根常“例题”速一练 圆维的底面直径是6cm。 圆锥的底面半径 (1) 利用公式V=3πh计算体积。 ,12cm 正确解答圆锥的高：48÷2×2÷6=8(cm) 圆锥的体积：3×3.14×（6÷2)2×8=75.36(cm) 答：原来圆锥的体积是75.36cm3。 (2) 把圆维沿高切刻成两半后，增加的两个面的形状 是两个相同的等腰三角形，一个切面三角形的面 积。国维的底面直径*高+2： 3 cm (任务(3做易错 ⊙易错点：未掌握计算圆锥的体积的相关公式 一个圆锥的底面直径是6cm,高是7cm,这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 易错解读本题易错在求圆维的体积时，只用底面积×高，而没有来兮。国维的体积=了× 3.一块稻谷试验田收获的稻谷堆成圆锥形，底面周长是12.56m,高是1.5m,每立 底面积×高。所以本题的正确答案如下： 方米稻谷重650kg,这堆稻谷重多少千克？①根据“鼠易蟹”栋一棒 3×3.14×(6÷2)2×7=65.94(cm) 答：这个圆维的体积是65.94cm3 ①注意：计算圃锥的休积时，要乘了 (对照学参考答案：1) 中小学AI教辅|9 Q新学期对题学数学六年级下册5 第一单元 核心知识梳理 易错点1：未理解圆柱的高的定义 判断：圆柱有( ）条高，圆锥有( )条高。 总结：圆柱有无 教条高。国维只 错解：二一 知识点 正解：无数一 有一条高 误认为圆柱和圆维解只有一条高 1.面的旋转 (1)“点、线、面、体”之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 易错点2：未根据实际情况求圆柱的表面积 (2)圆柱和圆锥的特征及各部分名称：圆柱由3个面组成，其中2个底面 王叔叔用铁皮制作一个圆柱形小桶，小桶的高是60cm,底面直径是10cm。 是两个大小完全相同的圆，一个面是曲面，也叫侧面。圆柱有无效条高。 制作这个小桶至少需要铁皮多少平方厘米？ 圆维由2个面组成，其中底面是一个圆，另一个面是曲面，也叫侧面。 错解：3.14×10×60+2x3.14×(10÷2)2=2041(cm2),制作这个小桶 圆维有一个顶点，只有一条高。 至少需要铁皮2041cm?。→误认为小桶有两个底面 正解：3.14×10×60+3.14×（10÷2)2=1962.5(cm2),制作这个小桶至 少需要铁皮1962.5cm2。 2.圆柱表面积的计算公式 核 圆柱的侧面积=底面周长×高。 错 易错点3：误认为增加的表面积是圆柱的1个底面积 心 用字母表示为：S侧=Ch或S=Td或S侧=2πh。 示 将一根长20dm的圆柱形钢材沿着垂直于高的方向截成2段后，表面积增 知 圆柱的表面积=底面积×2+侧面积。 加了16dm2,原来这根钢材的体积是多少立方分米？ 用字母表示为：S表=5侧+2S熊或S急=πh+2π(d÷2)2或S表=2πh+2π72。 错解：16×20=320(dm3),原来这正解：16÷2×20=160(dm3), 根钢材的体积是320dm。 原来这根钢材的体积是160dm3。 误认为我成2段后只增加1个底面。 3.圆柱体积的计算公式 易错点4：对圆柱底面直径（或半径）的变化引起体积变化的规律不 圆柱的体积=底面积×高。用字母表示为：V=Sh。 明确 圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的()倍。 A.3 B.6 C.9 4.圆锥体积的计算公式 错解：A 正解：C 圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的} ,即圆锋的体积= ×底面积×高。 用字母表示为：=号Sh。 误认为底面直径扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的3倍 101中小学A教辅对照学参考答案 圆柱与圆锥 第1课时 面的旋转 第3课时 圆柱的体积 1.②④ 1.（1)56.52 2 (2)4 (底面) (顶点) 2.(1)3.14×(10÷2)2×15= 高 (侧面) 高 (侧面) 1177.5(cm3) 底面) (底面) 3.B (2)3.14×32×12=339.12（cm3) 4.56.52÷3.14÷2=9(cm) 3.376.8÷(3.14×10)=12（cm) 3.14×92=254.34（cm2) 3.14×(10÷2)2×12=942(cm3) 第2课时圆柱的表面积 第4课时 圆锥的体积 1.(1)2a+b 1.B (2)18.84 2.(1)号 ×3.14×42×12=200.96(cm3) 2.☐ W 3.长方25.12×12=301.44（cm2) (2)号x314x(42)x3= 4.3.14×1.5=4.71（m2) 12.56(cm3) （3.14÷3.14÷2)2×3.14×2+4.71= 3.号×314×(1256÷3.42)× 6.28(m2) 1.5×650=4082(kg) 二 比例 第1课时比例的认识 3.增加9或除以0.8 1.12:18=1.4:2.1（或1.4：2.1=12：18) 4.8:200=12：300两份消毒液的 2.B 原液和水的比相同。（答案不唯一) -1-