数学好玩-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

绘制校园 进一步理解并综合运用图形位置、测量、比例、数据收集等知识 平面图 经历设计方案、动手实验、交流反思的活动过程 神奇的莫 动手操作，验证交流，经历探索和认识莫比乌斯带的过程 比乌斯带 认识莫比乌斯带，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带，初步体会莫比乌斯带的特征 经历将“小猫乐乐”在方格纸上利用“数对”放大的探索过程，通过“填一填”“画一画” 可爱的小猫。 等活动，体会用“数对”的变化进行图形的放大与缩小的方法 数学好玩 Q新学期对照学数学六年级下册BS 第1课时绘制校园平面图 7 课前·预习例题到 生活中，我们经常能看到各种平面图。 七星小学校园平面图-名称 会展中心平面图 自行车棚 利 食堂 方句标 休闲服 停 区 场（可 实验室图节室 教学楼 西展厅 主展厅 东展厅 12000 1:3000 我们在可爱的学校里已经生活六年了，在毕业前夕，给母校留一张大家亲手绘制的校 园平面图吧。 活动任务 绘制校园平面图。话动准备卷尺、纸张、记录本、直尺、三角板、圆规等。 设计方案 这两张平面图都有名称、方句标和比例尺，并且都画了建筑物的位置、大致形状、 大小，写明了建筑物的名称。 1.观察上面两张平面图，说说这些平面图有什么共同的地方。 2.想一想，绘制校园平面图前，要先做哪些方面的准备？ (1)在校园平面图中需要绘制哪些主要建筑物？教学楼、办公楼、操场、食堂、图书室等。 (2)需要收集哪些数据？如何收集这些数据呢？需要收集校园的长、宽，各主要建筑物的长、宽。 (3)如何确定这幅图的比例尺呢？ 可以通过测量和调查资料去收集这些数据。 根据提供的图纸大小与校园总体的长和宽确定比例尺。 3.设计绘制校园平面图的活动方案，包括主要步骤与分工等。 分人为人葛0 1人绘制平面图。第二步 据确方 定 并做好记 图的比例尺 g意传C告B山处 比例尺 计第图离。第五步绘制我国 宽的数据和纸张的大小来 面 图 第长步在适当位标注比尺 标、建筑物及活动场所的名称。 动手实验 ©总结：绘制校园平面图，应先测量并正确记录有关数，再选择合适的比例尺， 最后画出正确的校园平面图 这幅图的比 1.分小组实际收集相关数据，并用适当的方式记录下来。 例尺是… 宽10米。 收集数据 整理数据 42|中小学AI教辅 2.按照设计方案及收集到的数据，把校园的平面图画下来。 以小学校周平面图 9009090900900909090909000 餐厅 所 ①提示：绘制校园平面图时，先 教学楼 确定一座建筑物的位置并以它 为观测点。全班分组绘制校园 平面图，完成后，共同讨论各 办公操 组绘制的平面图有哪些相同点 和不同点，然后进行完善。 门卫 比例尺1：2000 交流反思 ①提示：主要分析所绘制的平面图是否突出了学校的主要建筑物，各 建筑物的位置、大小、形状与实际是否一致等。 1.全班交流一下，观察各小组绘制的平面图，每张图是否准确、合理？哪几个小组的图 有自己的特色？ 2.把你们最喜欢的其他小组的平面图画下来。 Q04Q09Q00Q00Q099990000Q0Q9 宿舍接 使款格思季面周 华东 场 食堂 森场 大 小矣 心大道 教学接 教学楼 厨所 门卫 车库] 门卫 3.在上面的活动中，运用了哪些知识？采用了哪些收集数据的方法？ 运用了测量、位置、比例尺、收集数据的方法等方面的知识，采用了实际测量、估测和查阅 资料相结合等收集数据的方法。 4.利用所绘制的校园平面图，可以帮助人们解决什么问题？ 能清晰直观地了解校园整体概貌及布局，便于找到有关场所的位置等。 5.在上面的活动中，你有什么收获？还有哪些想要进一步研究的问题？ 培养了空间概念，锻炼了动手和实践能力，还想进一步研究立体图。 自我评价 在这次活动中，我的表现是（请把每项后面的☆涂上颜色，涂满5个为做得最好的)： 22①2-① 平面图整洁、美观。 ☆☆☆☆☆ 平面图中包含了校园中的主要建筑。 ☆☆☆☆☆ 主要建筑的方向正确，位置比较准确。 ☆☆☆☆☆ 选用的比例尺合理。 ☆☆☆☆☆ 积极参与活动，小组分工合理。 ☆☆☆☆☆ 课堂·任务学习 任务 理知识 1.绘制校园平面图一般需要按比例尺画出主要的建筑物及主要活动场所的位置、形状、 大小等，还需要标明画出的平面图的建筑物和活动场所的名称和平面图的方向标、比例 尺等。 2.绘制校园平面图，应选择合适的比例尺，同时在同一幅图中所采取的比例尺一定要相同； 应用不同的比例尺，所画出的平面图的大小不同，但各建筑物的相对位置是不变的；只 有经过对校园主要建筑物及主要活动场所正确地测量，准确地计算，才能画出正确的校 园平面图。 任务 2 学方法 综合运用所学知识绘画 公园里有一个周长为75.36m的圆形水池，水池旁有一个 边长为10m的正方形花坛。已知花坛中心位于水池中心 的正东方向24m处，你能用1：500的比例尺把水池和 花坛的平面图画在右面的长方形里面吗？若不能，请选择 合适的比例尺，试着画一画。 思路分析 先求出圆形水池的实际直径是75.36÷3.14=24(m),再求出两中心之间 的距离+正方形边长的一半+圆的半径，总的实际长度是24+10×】+ 24×之=41(m),由图上距离=实际距离×比例尺，可得其在1：500的 比例尺的平面图上的长度是41m=410cm,4100×00=82(m)。道 过测量发现，题中所给的长方形的长为5cm,宽为3cm。因为 8.2cm>5cm,所以不能用1：500的比例尺。可以尝试选择1：2000的比 例尺。4100×200=2.05(cm），2.05cm<5cm;24m=2400cm,2400× 2000=1.2(cm）,1.2cm<3cm。因此，可以选择1：2000的比例尺。答 1 案不唯一，合理即可。 正确解答不能示例：水池和花坛的平面图如下。 北 个东 花坛 水池 比例尺1：2000 3课后·对照练习 1.下面是幸福小学校园平面图。①根据“例题”练一练 图书馆 卫生间 北 办公 教学楼 东 楼 花园 花坛 操场 大门 比例尺1：4000 (1)校园的实际长是（ )m,宽是（)m,校园的占地面积是（) 公顷。 (2)操场的面积是校园总面积的百分之几？（百分号前保留一位小数） 2.量一量，算一算，画一画。①根据“学方法”练一练 （1)量出你的卧室的长和宽，长是（)m,宽是（)m。 （2)你确定的比例尺是（ ）。 (3)统计一下其他需要收集的数据，按照你确定的比例尺，算出图上距离，在 下面绘制自己卧室的平面图。 (对照学参考答案：P4~P5) 中小学AI教辅|43 Q新学期对照学数学六年级下册BS 第2课时神奇的莫比乌斯带 课前·预习例题丝 一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚊。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，它 能吃到面包屑吗？ 0 生内侧面 纸环有两个面。 ▲外侧面 面包屑在里面， 蚂蚁在外面， 吃不到吧。 吃不到。 、做一做，想一想。先用一张长方形纸条如左下图那样扭一下，再把两端粘上，得到如 右下图的纸环。在这个纸环上作个标记表示面包屑，想一想，小蚂蚁从点A出发能 吃到面包屑吗？能吃到。 A 把一张纸条的一端扭转180°以后，再把两端粘起来做成纸环。 我发现，不管面包屑 这真是一个“神 标在什么地方，小蚂 奇的纸环” 怎 蚁都不必爬过边缘就 么会这样呢？ 能吃到它，真有趣！ 纸环只有一个面。 莫比乌斯带可以将普通纸条的两个曲面减少到一个曲面。 44|中小学AI教辅 分别在普通纸环和“神奇的纸环”上各取一点。从这点开始涂色，不能翻过边缘一直 涂下去，你发现了什么？ 发现： ①普通纸环上的颜 ② “神奇的纸环” 色总是只涂了 上的颜色 面 无论从嘴里开始涂， 另外一面涂不到。 能把所有地方涂到。 ③“神奇的纸环”实际上只有一个面 再取两张长方形纸条，每张长方形纸条中间画一条虚线（如图），再分别做成一个普 通纸环和一个“神奇的纸环”。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又发现了什么？ 0 0 发现：普通纸环被分成两个 窄一点的与原纸环同样大的 纸环。“神奇的纸环”被分 成一个窄一点的大的纸环。 真有趣。 剪成了两个大小相等的小纸环。 剪成了一个大的纸环，但不是莫比乌斯带了。 “莫比乌斯带”在实际生活中的应用) 利用皮带传送的动力机械的皮带制作成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面； 中国科技馆的“三叶扭结”、过山车、克菜因瓶等都是依据“莫比乌斯带”原理制成的。 我想把纸条平均分 这个“神奇的纸环” 成三份、四份…也 叫“莫比乌斯带” 做成“神奇的纸环” 它是用数学家莫比 再沿虚线剪开 乌斯的姓命名的。 平 分 2 点（平鸟 的仍均斯 大是分带 的莫成) 环乌份 更复是鹭奔素在，餐的禁夏基贵的个希族环 斯带) 后是两个大的套在一起的纸环（都不是莫比 2 课堂·任务学习 任务 理知识 莫比乌斯带只有一个面，沿莫比乌斯带中间剪开后，没有被一分为二，而是变成了一个 窄一点的大的纸环。动力机械的皮带可以做成莫比乌斯带状，这样皮带就不会只磨损一 面了。中国科技馆的“三叶扭结”、有些过山车的跑道等都应用了莫比乌斯带的原理。 任务 2 学方法 综合运用莫比乌斯带的原理解决问题 下列说法中错误的是()。 A.有些过山车的跑道利用的是莫比乌斯带的原理 B.有些电动机的皮带连接成莫比乌斯带，仅仅是为了好看 C.利用莫比乌斯带建立交桥和道路可以避免行人车辆拥堵 D.打印机的色带应用了莫比乌斯带，是因为这样做不会只磨损一面，延长了色带的 使用寿命，节约了材料 思路分析 部分过山车跑道设计成莫比鸟斯带形态，能实现“无需翻转轨道却能让 乘客体验双向环绕”的效果，充分利用了其单侧曲面的原理。电动机的 皮带连接成莫比鸟斯带，核心目的是利用其“单侧曲面”特征一一让皮 带的两个面均匀磨损，延长使用寿命、减少更换频率，绝非仅仅为了好 看。莫比鸟斯带无“两侧”之分，基于此设计的立交桥和道路，可让行 人、车辆在不交叉的情况下实现双向通行，从而避免拥堵。打印机色带 应用莫比乌斯带原理，能让色带的正反两面都被均匀使用，避免单侧过 度磨损，既延长了使用寿命，又节约了材料，符合实用设计逻辑。 正确解答 B 3课后·对照练习 1.下图的两个纸带，图( )是莫比乌斯带。图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘， 它()（填“能”或“不能”）吃到纸带内侧的面包屑。①根据“例题”练一练 ① ② 2.图①的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形 纸条一端旋转180°后，再将两端粘上得到的。图( )的纸环叫莫比乌斯带。 如果从某一点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图①中涂色部分占纸环 面的（)%，图②中涂色部分占纸环面的( )%。①根据“例题”练一练 ① ② 3.取一张长40cm、宽4cm的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如图)。将 它先做成一个莫此乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蜗牛从某一点开始沿着一个方 向在这条纸带上爬行，它至少爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不 计)①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P5)】 中小学A教辅|45 Q新学期对照学数学六年级下册BS 第3课时可爱的小猫 课前·预习例题到 右图是可爱的小猫乐乐，请将表示乐乐轮廓的点的数对填在下面。 H 列行 6 A(2,0),B(4,0),C(6,2),D(6,6), 4 E(5,8),F(4,6),G(2,6),H(1,8), 1(0,6),J(0,2)。 0 ①提示：在格子图中，可以用有序数对来表示位置，一般第一个数 表示其所在的列，第二个数表示其所在的行，然后将这两个数用 括号括起来，中间用逗号隔开。 小猫家族中还有天天、晶晶和欢欢三只小猫。观察下表中表示每只小猫轮廓的点的数 对的规律，把表格填写完整，并与同伴交流。 乐乐 天天 晶晶 欢欢 A (2,0) (4,0) (2,0) (4,0) B (4,0) (8,0) (4,0) (8,0) C (6,2) (12,2) (6,4) （12,4) D (6,6) (12,6) （6,12) （12,12) E (5,8) (10,8) (5,16) (10,16) F （4,6) (8,6) (4,12) (8,12) G （2,6) (4,6) (2,12) (4,12) H (1,8) (2,8) (1,16) (2,16) (0,6) (0,6) (0,12) (0,12) (0,2) (0,2) (0,4) (0,4) 与乐乐比，表示天天轮 廓的点的数对是第一个 与乐乐比，表示 数乘2，第二个数不变； 欢欢轮廓的点 表示晶晶的点 的数对是两个数 都… 的数对是第一个数不 -1 变，第二个数乘2。 4乘2。 46|中小学AI教辅 根据上表，在下面的方格纸中分别画出天天、晶晶和欢欢的轮廓。 天天 H E晶晶 H 欢欢 E 16 16 16 14 14 14 GF G 12 12 D 12 10 10 10 H E 8 8 8 G 6 6 2 2 A B NA B A 0 6 8 1012 2 4 6 81012 0 2 4 6 81012 也要画上眼睛、 哪只小猫长得最 鼻子和嘴巴哦！ 像乐乐？你有什 么发现吗？ 欢欢长得最像乐乐 发现：①数对中的两个数同时扩大相同的倍数，所形成的 图形与原来的图形最像。②表示轮廓的点的数对的两个数 的变化不同（即乘的数不同），画出来的图形会“变形”。 生活中，可以利用上面的方法将图案进行“变形”。请在下面的方格纸上用这样的方 法设计图案。想一想，画一画，与同伴交流。 A(0,0),B(1,0),C(1,4), 16 D(3,0),E(5,4),F(5,0), 14 G(6,0),H(6,6),1(5,6), J(3,2),K(1,6),L(0,6)。 12 T H 10 6 8 6 2 4 AB2D4F6 1 2 ① 我也先写出表示这个字 0 24681012141618 母轮廓的点的数对，然 后把数对的第一个数乘 ②/ 我把数对的第一个数 3,第二个数不变。 不变，第二个数乘2。 ①提示：根据已给图形的轮廓“变形”出新的图形时，先用数对正确地表示原图 形轮廓的所有关键点，再把相应关键点的数对中的两个数乘或除以不同的数(0 除外)，最后根据新的数对画出变化后的图形。 2 课堂·任务学习 任务 1 理知识 根据已知图形的轮廓“变形”出新的轮廓时，先用数对正确地表示图形的轮廓的所有关 键点；再把相应关键点的数对中的两个数乘或除以不同的数(0除外)，最后根据新的 数对画出变化后的图形。 任务 2 学方法 等比例缩放法 观察下图字母“E”轮廓的点的数对，用轮廓的点的数对的第一个数和第二个数都乘 2的方法将图案进行“变形”。请在下面方格纸中用这样的方法画出变形后的字母“E” 的图案。 10 9 5 8 432, 6 5 0 43 23 2 12345678910111213141516 思路分析 将字母进行“变形”，需要找出能确定这个字母轮廓的点，并写出表示 这些点的数对，将第一个数和第二个数都乘2，组成新的数对。按照新的 数对描点，将点依次连接起来，就得到了变形后字母的轮廓。 正确解答 10 9 87 3 6 2 4 0 1 23 32 12345678910111213141516 数学好玩 3课后·对照练习 1.填一填，画一画。0根据“例题”练一练 (1)右面是鱼缸里的小金鱼小花。A,B,C,D,E,F是 6 B 组成小花轮廓的六个点，将D,E,F三个点对应的 3 数对填在下面。 2 A(0,3)B(2,5)C(2,1)D(,) C E(,)F(,) 123456 (2)鱼缸里还有小黑、小白和小金共四条小金鱼，观察下表中表示每条小金 鱼轮廓的点的数对的规律，然后把表格填写完整。 A B C D E F 小花 (0,3) （2,5) (2,1) 小黑 (0,6) (2,10) （2,2) 小白 (0,3) （4,5) (4,1) 小金 (0,6) (4,10) (4,2) 2.下图的方格纸中每个小方格的边长为1cm。①根据“学方法”练一练 （1)在方格纸中描出下面各点，并将各点顺次15 14 13 连接成封闭图形，得到的图形是一颗 11 (）。 10 9 A(0,13)B(3,10)C(6,13) 87 6 D(5,14)E(4,14)F(3,13) 3 G(2,14)H(1,14) 2 0 (2)写出将图形扩大2倍对应点的数对。 123456789101112131415 A（,）B,(,)C(,)D(,) E(,）F(,)G(,)H(,) (对照学参考答案：P5)》 中小学AN教辅|47 Q新学期对照学数学六年级下册BS 数学好玩 核心知识梳理 知识点 1.绘制校园平面图 (1)绘制校园平面图一般需要按比例尺画出主要的建筑物及主要活动场所 的位置、形状、大小等，还需要标明画出的平面图的建筑物和活动场 所的名称和平面图的方向标、比例尺等。 (2)绘制校园平面图，应选择合适的比例尺，同时在同一幅图中所采取的 比例尺一定要相同；应用不同的比例尺，所画出的平面图的大小不同， 但各建筑物的相对位置是不变的；只有经过对校园主要建筑物及主要 活动场所正确地测量，准确地计算，才能画出正确的校园平面图。 2.神奇的莫比乌斯带 核 莫比鸟斯带只有一个面，沿莫比乌斯带中间剪开后，没有被一分为二，而是 心 变成了一个窄一点的大的纸环。动力机械的皮带可以做成莫比乌斯带状，这 知识 样皮带就不会只磨损一面了。中国科技馆的“三叶扭结”、有些过山车的跑 道等都应用了莫比乌斯带的原理。 3.可爱的小猫 根据已知图形的轮廓“变形”出新的轮廓时，先用数对正确地表示图形的轮 廓的所有关键点；再把相应关键点的数对中的两个数乘或除以不同的数(0 除外)，最后根据新的数对画出变化后的图形。 48|中小学AI教辅 易错点1：未掌握绘制校园平面图的步骤 某同学绘制校园平面图的步骤“确定平面图方向→测量数据→选定绘制对 象→设置图例”存在错误，下列替换方案能修正排序的是()。 A.将“选定绘制对象”放在最前面 B.将“确定平面图方向”与“测量数据”互换位置 C.在“设置图例”后添加“标注文字”步骤 D.将“设置图例”移到“确定平面图方向”之前 错解：BCD 正解：A 绘制校园平面图的一般步骤： ①选定绘制对象： ②确定平面图方句； 易 ③收集数据并选比例尺； 错 ④设置图例； ⑤按比例尺和图例绘图； 示 ⑥完善细节。 易错点2：未掌握莫比乌斯带的特征 判断：一个纸环的内侧有一点奶油，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过 纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到奶油。但如果将纸环做成莫比鸟斯带，蚂蚁 不需要爬过纸环的边缘就能吃到奶油。 错解：X 正解：V 莫比鸟斯带只有一个面，所以蚂蚁能不爬过纸环的边缘直 接到达纸环上的任意一点。○新学期对照学数学六年级下册BS 下载时间 (2)(90+60)×5=750(km) (2)420正 3.成正比例。因为甲×石=乙×号， (3)81680 即甲：乙=号：。=专（一定）， 2.（1)成期诵的总字数时间 所以甲与乙成正比例。 朗诵的总字数时间 第4课时反比例 (2)不成正比例。因为§=，圆 1.（1)每箱装的个数箱数 的面积和它的半径的比值是变 (2)20×240=4800 化的数，所以圆的面积和它的 30×160=4800 半径不成正比例。 40×120=4800 耗电总量 50×96=48004800 (3)成正比例。因为 行驶的路程 猕猴桃的总个数 100=每百公里耗电量（一定)， （3)猕猴桃的总个数 每箱装的个数箱数反 所以新能源汽车行驶的路程和 2.（1)成反比例。因为每行站的人数× 耗电总量成正比例。 站的行数=参加表演的总人数 第3课时 画一画 (一定)，所以每行站的人数 1.（1)6 和站的行数成反比例。 （2)530(补全图略) (2)成反比例。因为实际距离×比 (3)在 例尺=图上距离（一定），所 以实际距离和比例尺成反比例。 2.（1)因为 甲车行驶的路程 =速度（一 (3)成反比例。因为平均每天读的 行驶的时间 定)，所以甲车行驶的路程与 页数×所需的天数=总页数（一 定)，所以平均每天读的页数 行驶的时间成正比例。同理， 和所需的天数成反比例。 乙车行驶的路程与行驶的时间 也成正比例。 3.反 数学好玩 第1课时绘制校园平面图 (2)在平面图上量得操场的长是 1.(1)2801403.92 2.1cm,宽是1.2cm。 -4- 对照学参考答案 2.1÷ 1 =8400(cm) 第3课时 可爱的小猫 4000 8400cm=84m 1.(1)D(4,3)E(5,4)F(5,2) (2) 1.2÷ =4800(cm) 4000 A B C D EF 小花(0,3)(2,5)(2,1)(43)(5,4)(5,2) 4800cm=48m 小黑(0,6)(2,10)(2,2)(4,6)(5,8)(5,4) 84×48=4032(m2) 小白(0,3)(4,5)(4,1)(8,3)(10,4)(10,2) 小金(0,6)(4,10)(4,2)(8,6)(10,8)(10,4) 4032÷39200≈10.3% 2.（1)（画图略)爱心 2.合理即可。 (2)A1(0,26)B1(6,20) 第2课时神奇的莫比乌斯带 C1（12,26)D,（10,28) 1.②不能 2.②50100 E,(8,28)F(6,26) 3.40×2=80(cm) G(4,28)H1(2,28) 总复习 数与代数 第2课时小数、分数、百分数 第1课时 数的认识、整数 1.-6、-4、-冬、-0450、3 5 0.7 45% 78、126、-045、95-膏、7 2.(1)43020 80 2.(1)5827 (2)560030904 (2)85%0.666 0.6 五亿六千零三万零九百零四 (3)1.2271.227 (3)7604 (4)4.7044.695 (4)850408840 3.257.09527.09952.07（答案不唯一) 3.5和6的最小公倍数是30。 4.690.84÷(100+1)=6.84 （16-1)×30=450(m) 6.84×100=684 -5-