5 数学广角——鸽巢问题-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（人教版）

Q新学期对照学数学六年级下册RJ 5 数学广角一鸽巢问题 第1课时 鸽巢问题 3.44÷（3+3+1)=6(名)…2（名） 1.0023 6+1=7(名) 0122 4.略 0131 第2课时鸽巢问题的应用 12112 1.2×2+1=5(枚) 2.有6个面4种颜色，如果每个面颜色 2.8×3+1=25(个) 不同，则至少需要6种颜色，所以只 3.(1)3×2+1=7(只) 要6种以内的颜色都会至少有2个面 (2)3×2+3+3+1=13(只) 涂的颜色相同。 4.40-35+1=64×6+1=25(名) 6 整理和复习 数与代数 7.4.8m=48dm4.2m=42dm 48=6×842=6×7 第1课时 数的认识 所以正方形爬行垫的边长最大是6dm。 1.百万6百万百分8 48÷6=8(块) 百分之一 42÷6=7（块) 2.754999 0.27 8×7=56（块) 357 第2课时 数的运算 4.B 1.97225 9 4.58 0.322 5.C 2.56×18≈1200（个） 6.A 1200<1300,不能打完。 -6-经历探究鸽巢原理的过程，初步了解鸽巢原理。 鸽巢原理 会运用鸽巢原理解决一些简单的实际问题。 鸽巢原理的应用。一在解决鸽巢原理的问题时，会构建解决鸽巢原理的模型。 5 数学广角一 鸽巢 问题 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第1课时鸽巢问题 对应教材P67~P68 课前·预习例题 把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放， 总有1个笔筒里至少有2支铅笔。你知道 这是为什么吗？ 、。放得最多的那个笔 筒里笔的最少量。 “总有”是一定有。“至少”的 意思是不少于也就是大于或等于。 “总有”和“至少” ● 是什么意思？ “总有”和“至少”代表最不利的一种情况。 小红把各种情况都摆出来了。 小明这样想：这种方法是假设法。 实际操作法 如果每个笔筒中最多放1支铅笔， 那么3个笔筒中最多放3支。可是现 在有4支铅笔，所以总有1个笔筒中 至少有2支铅笔。 鸽子飞入鸽巢里，鸽子数大于鸽巢数， 则必有1个鸽巢里至少飞进2只鸽子。 把各种情况一一列举出来，体现了列举法。 50|中小学A教辅引领者 2把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。为什么？ 我随便放放看， 假设法 如果每个抽屉最多放2本， 1个抽屉1本， 那么3个抽屉最多放6本。 1个抽屉2本， 可题目要求放的是7本书， 1个抽屉4本。 所以…、 数的分解法、 总有1个抽屉里至 7 少放进3本书。 把7本书分成3份，尽量平均分，多出的 ⊙1本总要放进其中1个抽屉里。 7÷3=2（本)…1（本) 先把物体平均分，如果有剩余，则总有1个抽 如果有8本书会怎样呢？10本书呢？ 屉里的物品数量至少是平均数加1。 8本书(10本书)放进3 个抽屉，不管怎样放， 8÷3=2(本)…2（本） 总有1个抽屉里至少放 10÷3=3(本)…1（本) 进3本(4本)书。 你有什么发现呢？把a本书放进3个抽屉，如果a÷3=b…1或2，则总 有1个抽屉里至少放进(b+1)本书。 2 课堂·任务学习 任务 1 理知识 鸽巢原理（一）：把m个物体任意放进n个“鸽巢”中(n<m<2n,m、n均是非0自然 数)，总有一个“鸽巢”中至少放进2个物体。 鸽巢原理（二）：把多于kn个的物体任意放进n个“鸽巢”中(k、n均是非0自然数)， 总有一个“鸽巢”中至少放进了(k+1)个物体。 示例：六(1)班有40名学生，其中有10人都订阅了《趣味数学》《智力大王》《动物奇迹》 三种杂志中的一种或几种。这10人中至少有几人所订的杂志类型完全相同？ 解决问题的关键是确定 “鸽巢”数。 只订阅一种杂志的有3种情况，订阅两种杂志的也有3种情况，三种杂志都订阅的有1 种情况，一共有7种情况。 10÷7=1(人)3（人） 1+1=2（人) 答：这10人中至少有2人所订的杂志类型完全相同。 任务 2 学方法 O根据鸽巢原理（二）的逆运用解决问题 把31颗玻璃珠最多放进几个盒子里，总有1个盒子里至少有8颗玻璃珠？ 思路分析此题可以把玻璃珠的总数看成要分放的物体总数，把盒子数看成鸽巢数， 要使其中1个鸽巢里至少有8颗玻璃珠，则玻璃珠的总数至少要比鸽巢数 的（8-1)倍多1颗。 正确解答 (31-1)÷(8-1)=4(个)…2（颗） 答：把31颗玻璃珠最多放进4个盒子里，总有1个盒子里至少有8颗玻璃珠。 ©总结：由鸽巢原理（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平 均每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中一定有一个鸽巢中至少有（平 均每个鸽巢里所放物体的数量+1)个物体。 5数学广角一鸽巢问题 3课后·对照练习 1.把5支铅笔放进4个文具盒里，有哪些不同的放法？照样子分一分，填一填。 ①根据“例1”练一练 无论怎样放，总有1个文具盒里至少要放进( )支铅笔。 2.把一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂1种颜色）， 不论怎么涂，总有一种颜色至少涂了2个面？为什么？ 3.某班有44名学生，他们都订阅了甲、乙、丙3种报刊中的若干种（每名学生订 阅了其中的1种、2种或3种)。至少有几名学生订阅的报刊完全相同？ 4.7人住进5个房间，至少要有2人住同一间房。（请你用图示的方法说明理由) (对照学参考答案：P6) 中小学AI教辅引领者|51 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 第2课时鸽巢问题的应用 对应教材P69 课前·预习例题到 3 盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要 摸出几个球？ 问题转化时，一定要弄清哪个是“鸽巢”，哪个是所分物体的个数。 5÷2=2（个)……1（个），至 少有2+1=3（个）球同色。 颜色数+1=2+1=3（个）， 摸出5个球，肯定有2个同色的，因为… 红红、红蓝、蓝蓝，不能 保证一定同色。 只摸2个球不能保证 是同色的，因为有 两种颜色。那摸3个 球就能保证… 从最不利情况想，先摸 出一红一蓝，第3次无 论摸出什么颜色，都与 其中一个同色。 只要摸出的球数比它们的颜色种数 多1，就能保证至少有两个球同色。 52|中小学AI教辅引领者 2课堂·任务学习 任务 理知识 运用鸽巢原理解决问题： (1)分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，注意把什么看作“鸽巢”，把什么 看作“分放的物体”； (2)设计“鸽巢”的具体形式； (3)运用抽屉原理得出在某个“鸽巢”里至少分放的物体个数。 示例：从自然数1~24中至少取多少个数才能保证其中有两个数的差是5的倍数？ 此题可以用鸽巢原理解决，想一想， 要把什么看作“鸽巢”？ 答：自然数1~24分别除以5，余数有5种情况，分别是0、1、2、3、4。把余数看作“鸽巢”， 根据鸽巢原理，至少取出6个数时，一定有两个数除以5的余数相等，即两个数的差为 5的倍数。所以从自然数1~24中至少取6个数才能保证其中有两个数的差是5的倍数。 任务 2 学方法 ⊙运用最不利方法解决问题 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄5种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑 暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 思路分析根据题意可知，15双就是30只，考虑最不利原则，5种颜色，假设每种 都摸到29只，那就随便再摸一只，不管摸到什么颜色的，都可以跟前面 的29只相加到30只，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。 正确解答5×29+1=146（只) 答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。 。运用列举法解决稍复杂的鸽巢问题 有63名学生，分别参加围棋、诗歌、绘画、音乐4个社团，每名学生最多参加两个社 团，最少参加一个社团。至少有几名学生参加的社团完全相同？ 思路分析要求至少有几名学生参加的社团完全相同，可以转化为“鸽巢问题”解答。 把63名学生看作要分放的物体，把学生参加社团的情况看作鸽巢，因此要 先找出一共有多少个“鸽巢”。 用列举法，参加一个社团：围棋、诗歌、绘画、音乐，共有4种情况；参 加两个社团：围棋和诗歌、围棋和绘画、围棋和音乐、诗歌和绘画、诗歌 和音乐、绘画和音乐，共有6种情况。一共有4+6=10（种）情况，即一 共有10个鸽巢。最后再根据鸽巢原理（二）解答即可。 正确解答 4+6=10（种) ©总结：这个问题是典型的 鸽巢问题和组合问题的 63÷10=6(名)3（名）6+1=7（名） 复合题目。我们需要先找 到鸽巢是什么，鸽巢有多 答：至少有7名学生参加的社团完全相同。 少个，再根据鸽巢问题的 解决方法解题。 任务 3 做易错 ⊙易错点：解决鸽巢问题时，错把物体总数当成要分放的物体数 一个鱼缸里有3种花色的金鱼，每种花色8条，从中任意捞鱼。至少捞出多少条鱼， 才能保证有2条相同花色的金鱼？ 易错解读 解决此类问题时，要注意从最不利的情况考虑。若捞出的3条都是不同花 色的金鱼，那么捞出的第4条肯定与前面3条中的一条金鱼的花色相同。 本题易错在把金鱼总数3×8=24（条）当作待分放的物体数来解答。本题 的正确答案为3+1=4（条)。 5数学广角一鸽巢问题 3课后·对照练习 1.一个盒子里装有黑、白两种颜色的围棋各10枚，从中至少摸出几枚围棋，才 能保证有3枚围棋颜色相同？①根据“例3”练一练 2.有红、黄、蓝、白4种颜色的球各8个，放在一个袋子里。至少要取出多少个 球，才能保证取出的球中这4种颜色都有？①根据“例3”练一练 3.有红、黑、花3种颜色的手套各3副放在一个袋子里。①根据“学方法”练一练 (1)每次至少摸出几只才能保证一定有3只同色的手套？ (2)如果要保证有2副不同色的手套，最少要摸出几只？（注意左右手要正确) 4.舞蹈队女生的体重都是整千克数，其中最重的是40kg,最轻的是35kg,已知全队 至少有5名女生同样重。舞蹈队至少有多少名女生？ (对照学参考答案：P6) 中小学AI教辅引领者丨53 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 第5单元 核心知识梳理 知识点 示例 鸽巢原理（一） 把5封信投入4个信箱里，至少有 把m个物体任意放进n个鸽巢中 2封信投入同一个信箱里，为什么？ (n<m<2n,m、n均是非0自然数)， 5÷4=1（封)…1（封） 那么一定有一个鸽巢里至少放进了 1+1=2(封) 2个物体。 鸽巢原理（二） 有50名学生，他们中至少有几名同 学的属相是一样的呢？ 核 把多于m个的物体任意放进n个鸽 属相有12个。 巢中(k、n均是非0自然数)，那么 50÷12=4(名)…2（名) 知识 一定有一个鸽巢里至少放进了(k+1) 4+1=5(名) 个物体。 至少有5名同学的属相是一样的。 盒子里有同样大小的红球和黄球各 鸽巢问题的运用 10个。 运用鸽巢原理解决问题的思路和 (1)要想摸出的球一定有2种颜色， 方法： 至少要摸出几个球？ (1)构造鸽巢建立“数学模型”； (2)要想摸出的球一定有5个颜色 (2)把物体放入鸽巢，进行比较分 相同，至少要摸出几个球？ 析；(3)说明理由，得出结论。 (1)10+1=11(个) (2)4+4+1=9(个) 54|中小学AI教辅引领者 易错点1：未理解“鸽巢原理”，错把商加上余数 把28个玻璃球放进8个盒子里，至少有多少个玻璃球放在同一个盒子里？ 错解：28÷8=3（个)…4（个） 3t4g7(个) 误用商加余数 易 正解：28÷8=3（个)…4（个) 3+1=4(个) 警示 易错点2：解决鸽巢问题时，错把物体总数当成待分放的物体数 有红、黄、蓝三种颜色的小球各5个，至少取出几个，才能保证有2个颜 色相同的小球？ 错解：5x3÷3=5(个) 正解：3+1=4（个) 错把小球总数当作待分放的物体数 枚举思想 在进行归纳推理时，如果逐个考查了某类事件的所有可能情况，因而得 出一般结论，那么这个结论是可靠的，这种归纳方法叫作枚举法。 4支铅笔放进3个笔筒里，有以下几种放法： 识 4 4 4 展 个 个N 400 310 220 211 数学模型思想 使用数学语言描述的模型就称为数学模型。“鸽巢原理”中蕴含着数学模 型思想。