4 比例-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（人教版）

比例的意义。 理解比例的意义，知道比例各部分的名称。 能根据比例的意义判断两个比能否组成比例。 4比例 比例的基本性质 掌握比例的基本性质，能正确解比例。 和解比例 正比例和 理解正比例和反比例的意义，能正确判断两种量是否成正（反）比 反比例 例关系。 比例尺 理解比例尺的意义，掌握比例尺、图上距离和实际距离的计算方法。 能根据比例尺及相应的条件画出平面图。 图形的放大 认识图形的放大与缩小现象，体会图形的相似性。 与缩小 掌握将图形放大或缩小的方法，能在方格纸上按一定的比将图形放 大或缩小。 用比例 能熟练判断成正、反比例关系的量以及两种量之间的比例关系。 解决问题 能利用正、反比例知识解决实际问题。 Q斯学期对鼠学？数学六年级下册J 比例的意义和基本性质 组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项 第1课时比例的意义和基本性质 叫作比例的内项。 对应教材P38~P39 例如： 2.4:1.6=60：40 1 课前·预习例题酒 L内项 外项 外项内项 好好学习■天天向上 如果把上面的比例写成分数形式法-8.24和40仍然是外项，16和60仍 然是内项。 内项外项 计算下面比例中两个外项的积和两个内项的积。比较一下，你能发现什么？ 国族长5m,宽 mo 国旗长2.4m,宽1.6me 国旗长60cm,宽40cme (1)2.4:1.6=60:40 (2)3、9 5=15 2.4×40=96 3×15=45 上图中操场上和教室里的两面国旗长和宽的比值有什么关系？相等 1.6×60=96 5×9=45 操场上的国旗：24：1.6= 2 教室里的国旗：60：40=3 2.4×40=1.6×60 两个外项的积等于 3×15=5×9 所以，24：1.6=60：40，也可以写成24-60 两个内项的积 1.640 比例可以写成比的形式，也可以 写成分数形式。如a:b■c:d或 像这样表示两个比相等的式子叫作比例。 a-c 你能举一个例子，验证你的发现吗？ b d 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。用字母 (签案不唯一)5：9-60：40或 在上图三面国旗的尺寸中 表示就是：如果a:b=c:d,那么ad=bc。 10:5-1.6:2.4 还有哪些比可以组成比例？ 反过来，四个不为0的数，如果其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等， 这四个数就可以组成比例。 比值是否相等是两个比能否组成比例的关键条件 32|中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务1理知识 1.应用比例的基本性质，判断下面每组的两个比是否可以组成比例。如果可以， 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 请写出比例。①根据“学方法”练一练 2.组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比 5839 21 例的内项。 (1)4:6和6：8 (2)9:2和4：0 (3)0.25:8和0.6：20 3.在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。如果a:b=c:d 或若=台，(6、d均不为0)，那么ad=c。 4.判断两个比能否组成比例的方法：(1)根据比例的意义，先求出两个比的比值，再 2.请你给6、8、15再配上一个数组成比例。（写出一个比例即可） 看两个比值是否相等；(2)应用比例的基本性质，先假设两个比能组成比例，再看 ①根据“例1”练一捧 两个外项的积与两个内项的积是否相等。 任务②学方法 。运用乘积法判断能否组成比例 1.3:7和4：8能组成比例吗？ 3.奶奶剪了三张大小不同的长方形剪纸。写出每张剪纸长和宽的比，并算出比值。 思路分析先假设这两个比能组成比例，直接把两个“外项”和两个“内项”的乘积 选出其中的两个比组成比例。①根据“例题”练一练 求出来。两个乘积相等则能组成比例，否则就不能组成比例。 正确解答3×8=24,7×4=28,24≠28。 答：3：7和4：8不能组成比例。 10 cm 18 cm 24 cm 2.2、8、5、20能组成比例吗？如果能，请写出它们组成的比例。 思路分析先把这四个数按照从小到大的顺序排列，如果能组成比例，则最大的数与 4.朗读这首古诗，按要求从诗中选取数组成比例。 最小的数的乘积应该等于另外两个数的乘积。 (1)选取4个数组成一个比例。 山村咏怀 正确解答2<5<8<20,2×20=40,5×8=40。能组成比例。 [宋]邵雍 当2和20是外项时，可以写成2：5=8：20或2：8=5：20或20：8=5：2 一去二三里，烟村四五家。 亭台六七座，八九十枝花。 或20：5=8：2. (2)选取3个数（其中一个可重复使用）组成一个比例。 当2和20是内项时，可以写成5：2=20：8或8：2=20：5或8：20=2：5 或5：20=2：8。 写比例时要注意两个外（内）项的位置 (对照学参考答案：P4) 中小学A1教辅引领者丨33 Q新学想对题学数学六年级下册R! 第2课时解比例 2课堂·任务学习的 对应教材P40 任务(1理知识 1课前·预习例题面 1.解比例的意义：求比例中的未知项，叫作解比例。 2.解比例的方法：（1)根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为“外项之积=内 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的 项之积”的等式，再通过解方程求出未知项的值；(2)根据比例的意义解比例，先 那个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。 求出其中一个比的比值，再根据比中各部分的关系求出未知项的值。 3.用比例解决实际问题的步骤：(1)理解题意，找出题中的数量关系，设未知项。 ①提示：模型总长：火箭总长一1：10，列比例时要注意对应。 (2)根据数量关系式列出比例。（3)根据比例的基本性质将比例转化成一般方程。 2长征五号运载火箭总长约为57m。有一个长征五号运 (4)解方程求出未知项。 载火箭的模型，它的总长与火箭总长的比是1：10。这 个模型总长约为多少米？ 任务(2学方法 解：设这个模型总长约为xm。 ◎运用列比例的方法解决实际问题 x:57=1:10也可以用比值相等直接解比例 x:57=1:10 甲、乙两个团队原有队员的人数比为5：3，从甲团队调50人到乙团队后，甲、乙 10x=57×1 x:57=0.1 x=57x1 两个团队的队员人数比为5：7。甲、乙两个团队原来各有多少人？ x=57×0.1 10 x=5.7 思路分析根据题意可知，题目中的对应量之间的关系为（甲团队原有队员的人数- x=5.7 50):(乙团队原有队员的人数+50)=5：7。所以可以利用设数法，设 答：这个模型总长约为5.7m。 甲团队原有5x人，则乙团队原有3x人。然后根据对应量之间的关系列比例 解答。 3 解比例26。此种形式解比例可以文又“十”字相乘 1.5x° 正确解答解：设甲团队原来有5x人，则乙团队原来有3x人。 解：2.4x=1.5×6 (5x-50):(3x+50)=5:7 (15)×(6) (5x-50)×7=(3x+50)×5 x=7 （2.4) x=(3.75) ,。先约分再计算比较简便。 35x-350=15x+250 35x-15x=350+250 ©总结：己知两个量原来的比 ©总结：列比例式的关键是找到两个比的对应关系，解比例的依据是比例 的基本性质。 20x=600 以及这两个量变化后的比，要 求这两个量。可以先根据原来 x=30 两个量的比设出来知数，再根 所以5x=5×30=150,3x=3×30=90。解答。 据变化后两个量的比列出比例 答：甲团队原来有150人，乙团队原来有90人。 34|中小学A教辅引领者 ⊙运用对应法列方程解比例 3课后·对照练习 爸爸送给明明一个飞机模型，并告诉他这个模型是按照实际飞机尺寸与模型尺寸的比为 244:1制作的。明明量了-下飞机模型的长度是20cm,那么飞机的实际长度是多少米？ 思路分析已知实际尺寸和模型尺寸的比以及模型的长度，求实际的长度。可以设出 1.解比例。①根髻“例2”“例3”修一练 3.5 飞机的实际长度，再根据比号前后的对应关系，列比例求解，并进行单位 24:x=3:12 x:1.6=2:4.8 4:12=x:3 换算。 正确解答解：设飞机的实际长度是xcm。 x:20=244:1 2.有大小两个圆，它们的面积比是5：3，小圆的直径是6cm,大圆的面积是 x×1=20×244 多少？①根署“做影婚”练一练 x=4880 4880cm=48.8m 答：飞机的实际长度是48.8m。 3.甲、乙两个书架上原有书的本数相同，从甲书架拿150本书到乙书架后，此时甲、 乙两个书架上书的本数的比是2：3。甲书架上原来有多少本书？ (任务3做易错 ①根据“学方法”栋一练 ⊙易错点：列比例时忽略各项的对应关系 要配置2.4L某种农药，其中药液和水的体积比是1：3。则配置这种农药需要药液和水 各多少升？ 易错解读根据题意可知，2.4L是药液和水的体积之和。如果设其中一个量为xL,则 4.你知道吗？月球引力与地球引力的比约为1：6，理论上同一个人在月球上能跳 需要用x将另一个量表示出来。因为题目中已知的是药液和水的体积比， 到的高度与在地球上能跳到的高度的比约为6：1。如果是在月球上，那么小贤 所以列式的时候也要用药液的体积比水的体积。本题正确解答为： 的跳高成绩大约是多少米？（用比例的方法解答)①根摇“学方法”陈一练 解：设需要药液xL,则需要水(2.4-x)L。 x:（2.4-x)=1:3 我在校运动会上的跳 3x=2.4-x 高成绩是12ma x=0.6 2.4-0.6=1.8(L) 小贤 答：配置这种农药需要药液0.6L,水1.8L。 (对照学参考答案：P4) 中小学A教辅引领者丨35 Q新学胆对圆学)数学六年级下册RJ 正比例和反比例 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相 对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 第1课时正比例 ©总结：①两种量是相关联的量。②两种量的比值一定。 对应教材P43~P44 上表中，总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关 系可以用下面的式子表示： 课前·预习例题面 = 一定】 上页表中的数据还可以用图象（如下图)表示。 总价/元 根据图象回答下面的问题。 (14,49) 491 (1)从图象中你发现了什么？ 发现总价随着数量的变化而变化 5 (答案不唯一) 28 (2)把数对(10,35)和（12,42)所在 14 的点描出来，并和上面的图象连起来 文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。 再延长，你还能发现什么？ 数量/m 1 2 5 6 0 2468101214数量1m 这两点与原图象在同一条直线上。 总价/元 3.57 10.514 17.521 24.5 28 正比例关系图象的画法与折线统计图的画法基本相同 根据上表，回答下面的问题。总价与数量的比值一定 (3)不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？ (1)表中有哪两种量？慈价和数量 31.5元 14m (2)总价是怎样随着数量的变化而变化的？数童增加，总价也随着增加： (4)小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？2倍 (3)相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？ 351105 你能举出生活中正比例关系的例子吗？ 1 3.5一种量随着另一种 2 3 可量的变化而变化。 每天读书的页数一定时，读的总页数和读的天数成正比例关系 从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量：，总价随着数量的变化而变化，而 如果汽车行驶速度 且总价与相应数量的比值总是一定的，苧-子-1。一35。比值35。实际就是彩带 正方形的周长与边 长成正比例关系。 一定，路程与时间 成正比例关系。 的单价。 用式子表示它们的关系就是：数量 总价 单价。（一定） 361中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务( 1理知识 1.芦花社区的房屋面积和月物业费的情况如下表。①燥馨“例1“德一练 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个 房屋面积m2 60 70 80 数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。用字母 月物业费/元 90 105 120 表示为士=k(一定)。 (1)( )与( )是两种相关联的量，( )随着( )的变化 2.判断两种量是否成正比例关系的方法：先看这两种量是不是相关联的量，再看这两种 而变化。 量中相对应的两个数的比值是否一定。 (2)每平方米房屋的月物业费是()元，因为月物业费与房屋面积的 任务(2学方法 ()总是一定的，所以( )与( )成正比例关系。 O运用图象法求比例问题 2.在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量如下表。 某景区的游玩人数和门票收入如下表。 ①晨揭“学方法”练一妹 人数 012 3 4 所挂物体质量kg 1 2 3 4 5 6 7 门票收入/元0 10 20 30 40 50 (1)仿照右图中已经描出的两个点，根据上表中 门票收入/元 弹簧伸长长度/cm 0.5 1.5 2.5 3 3.5 的数据，再描出后面的四个点，并连接各点。 70 (1)在一定的弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例关系 (2)第(1)题中的6个点有什么特点？ 60 吗？说明理由。 (3)游玩人数与门票收入之间是什么关系？它们 % 成正比例关系吗？不计算，你能根据图象得 40 30 出游玩人数为7人时的门票收入吗？ 20 思路分析先根据表中的数据描点、连线，再根据 10 (2)在下图中描出表示所挂物体质量和弹簧伸长长度相对应的点，然后把它 图象解决问題。 0 4个弹簧伸长长度cm 1234567人数 们按顺序连起来。 正确解答(1)门票收入/元 3.5 (2)6个点都在同一条射线上。 70 (3)由图象可知，门票收人随着游 2 60 玩人数的增加而增加。图象是 1.5 50 0.5 一条经过(0,0)的射线，门票 0 30 收入与游玩人数的比值为定值， 67所挂物体质量kg 它们成正比例关系。继续延长射 (3)根据画的图估计一下，挂25kg的物体时，弹簧大约伸长( ）cma 10 线可知，当游玩人数为7人时， 0 对应的门票收入为70元。 (对照学参者答案：P4) 1234567人数 中小学A教辅引领者丨37 Q新学胆对圆学)数学六年级下册RJ 第2课时反比例 严反比例关系的意义 对应教材P45P46 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相 对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 课前·预习例题 在上面的实验中，高度和底面积是成反比例的量，高度与底面积成反比例关系。 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系 可以用下面的式子表示： 两个变量。 ,不变量 =k (一定】 你能举出生活中反比例关系的例子吗？ ,变量 ,变量 如果长方形的面积 如果总价一定，单 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器，容器的底面积与水的高度的变 一定，长与宽成反 价与数量成反比例 比例关系。 化情况如下表。 关系。 容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 0年 单价数量=慈价（一定）】 长×宽=面积（一定） 水的高度/cm 30 20 5 10 5 根据上表，回答下面的问题。 正比例 反比例 (1)表中有哪两种量？ 两种量中相对应的两 两种量中相对应的两 容器的底面积和水的高度 意义不同 个数的比值一定，也 就是商一定。 个数的乘积一定： (2)水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的？ 水的高度随着容器的底面积支大而不断支小 一种量扩大（或缩小）.一种量扩大（或缩小）. 变化方句不同 男一种量也随着扩大另一种量随着缩小（或 (3)相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？ 不同点 (或缩小)。 扩大)。 都是300： ,有某种关系 关系式不同 从上表可以看出，水的高度和容器的底面积是两种相关联的量，水的高度随着 yk(一定) y=k(一定) 容器的底面积变大而不断变小，而且水的高度与容器的底面积的乘积总是一定的， 图象不同 一秦通过点(0,0) 光清的曲线 积不变、 的射线。 30×10=20×15=15×20=…=300。乘积300实际就是倒入容器的水的体积。 相同点 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 用式子表示它们的关系就是：底面积×高度=体积。（一定）体积不麦 38|中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务1理知识 1.下面选项中的两种量，成反比例关系的是（)。（填序号） 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个 ①长方形的面积一定，它的长与宽。 数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。用字母 表示反比例关系：y=k(一定)。 ②某杂志单价一定时，购买杂志的总价与本数。 2.判断两种量是否成反比例关系的方法：先看这两种量是不是相关联的量，再看这两种 ③圆锥的体积一定，它的底面积与高。 相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定，最后作出判断。 ④一本书未看的页数与已看的页数。 任务②学方法 2.周老师要把一张100元的人民币兑换成若干张相同的小面额人民币。 ©运用比和反比例的知识解决实际问题 ①根据“例2”练一练 甲、乙两人在同一段路上沿直线滚铁环，甲的铁环一共可以滚50圈，乙的铁环一共 面额/元 1 5 10 20 50 可以滚40圈。已知甲的铁环的周长比乙的铁环的周长短11cm。这段路全长多少米？ 张数 100 20 10 5 思路分析两人在同一段路上滚铁环，说明路的长度一定，即铁环的周长×滚的圈 (1)上表中( )和( )是两种相关联的量，面额变化，()也 数=路长（一定），铁环的周长与滚的圈数成反比例关系。甲、乙两人滚 随着变化。 铁环的圈数比为50：40=5：4，甲、乙两人的铁环的周长比（圈数比的反比） (2)没有变化的量是( )。张数与面额的( )一定，因此张数与面 为4：5。甲的铁环的周长比乙的铁环的周长短11cm,而5-4=1（份）， 额成( )比例关系，张数和面额是成( ）比例的量。 即每份的长度为11cm。用每份的长度乘甲（或乙）的铁环的周长所占的 3.张亮计划暑期看完《鲁滨逊漂流记》的情况如下表。①根据“例2”练一陈 份数求出周长，再乘甲（或乙）滚铁环的圈数，即可求出总路长。 平均每天看的页数 10 15 20 30 40 正确解答甲、乙两人滚铁环的圈数比是50：40=5：4，那么甲、乙两人的铁环的周 看完全书所需天数 12 长比为4：5。 (1)把上表补充完整。 甲的铁环的周长：11÷（5-4)×4=44(cm) (2)说一说，看完全书所需天数与平均每天看的页数的变化关系。 路长：44×50=2200(cm)2200cm=22m 答：这段路全长22m。 ©总结：此题中这段路的长度一定，铁环的周长与滚的图数成反比例关系， 那么铁环的周长之比等于滚的图数的反比（即前项与后项调换位置后 的比)。 (3)平均每天看的页数与看完全书所需天数是不是成反比例关系？说明理由。 (对照学参考答案：P5) 中小学A教辅引领者丨39 Q斯学把对题学？数学六年级下册J 比例的应用 想一想：比例尺1：5000000表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上 第1课时比例尺 距离的多少倍？5000000倍 5000000 对应教材P51~P52 在绘制比较精细的零件图时，经常需要把零件的尺寸按一定的比放大。如一幅零件 图纸的比例尺是2：1，你知道它表示什么吗？ 课前·预习例题酒 比州天段大比例资鲁顶是} 比例尺是一个比，不能带单位 为了计算方便，一般 把比例尺写成前项或 在绘制地图和平面图的时候，有时需要把实际距离按一定的比缩小（或放大）， 后项是1的形式。 再画在图纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。种美了数值比例尺 T们两地之间的实际距离是120km,在一幅地图上量得两地的图上距离是2.4cm。这幅 线段比例尺 地图的比例尺是多少？ 图上距离：实际距离=比例尺或 图上距离 实际距露=比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 120km=12000000cm 图上拒离。尖际距离、 2.4:12000000=1:5000000 例如，一幅中国地图的比例尺是1：100000000，这是数值比例尺，有时也写 1*图上距需 答：这幅地图的比例尺是1：5000000， 皮圣智极北家地图的比例尺是这样表示的：。50如，这是线段 ①学会用比例的方法，结合对应思想列比例。 比例尺，表示地图上1cm的距离相当于地面上50km的实际距离，改成数值比例尺 ②注意统一单位名称。 一线段比例尺的单位长度通常为1cm 就是1：5000000。 求比例尺的方法 (1)找出图上距离和实际距离： 图上距离：实际距离 (2)统一草位： 单位要相同。 (3)用图上距离比实际距离： =1cm 50 km (4)把比的前项或后顶化成1 =1cm:5000000cm =1:5000000 在两种形式的比例尺互化和求比例尺的过程中，要注意单位统一。 401中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务 1 理知识 1.填一填。0根指“例“蕊一炼 1.图上距离：实际距离=比例尺或 图上距离=比例尺 实际距离 数值比例尺 1:6000000 2 数值比例尺 线段比例尺 0()km 0400km 按表现形式分 线段比例尺 图上1cm表示的实际距离km 比例尺 缩小比例尺 2.选择。（将正确答案的序号填在括号里） 按将实际距离缩小或放大分 （1)当比例尺一定时，图上距离和实际距离( )。 放大比例尺 3.求比例尺的方法： A.成正比例关系 B.成反比例关系 C.不成比例关系 (2)图上距离()实际距离。 (1)找出图上距离和实际距离： A.一定小于 B.一定大于 C.可能大于、小于或等于 (2)统一单位： （3)在比例尺是1：200000的平面图上，图上距离4cm表示实际距离()km: (3)用图上距离比实际距离； A.4 B.8 C.80 (4)把比的前项或后项化成1。 (4)下面关于比例尺的说法正确的是( )。 ①比例尺是一个比。 (任务2学方法 ②比例尺1：100表示图上距离是实际距离的， 1009 ©运用比的基本性质求比例尺 ③比例尺的前项总是1。 甲、乙两地的距离是100km,在一幅图上量得两地的距离为5cm。求这幅地图的比 ④比例尺1：10表示图上1dm的距离相当于1m的实际距离。 例尺。 A.①③ B.②③ c.①②④ 思路分析先把实际距离换算成与图上距离统一的单位，再用比的基本性质算出1cm 3.甲、乙两市相距300km。一只蚂蚁在一幅地图上仅用了4秒就从甲市爬到了乙市， 代表的实际距离。 已知蚂蚁每秒爬行1.5cm,这幅地图的比例尺是多少？①根据“学方法”练一藤 正确解答 图上距离：实际距离 =5cm:100km =5cm:10000000cm =1:2000000 答：这幅地图的比例尺为1：2000000。 ©总结：把km转化为cm属于高级单位特化成低级单位，要乘进率， 1km=100000cm. (对照学参者答案：P5) 中小学A教辅引领者丨41 Q新学想对题学数学六年级下册凡 3小明家在学校正西方向，距学校200m;小亮家在小明家正东方向，距小明家400m; 第2课时比例尺的简单应用 小红家在学校正北方向，距学校250。在下图中画出他们三家和学校的位置平面图 对应数材P52~P53 (比例尺1：10000)。 北 1课前·预习例题 小红家 把数值比例尺转化 为线段比例尺 2在一幅比例尺为1：30000的地图上，北京地铁2号线的长度大约是77cm。北京 地铁2号线的实际长度大约是多少千米？ 求图上距南 注意实际长度的单位要设成厘米，最后再化成千米。 小明家 小亮家 想：根据“图上距离 学校 实际距离 =比例尺”，可以用解比例的方法求。 0(1o0)m 画平面围 解法一： L 解：设北京地铁2号线的实际长度大约是xcm。 想：先求出每家到学校的图上距离。根据“ 图上距离 771 实际距离 =比例尺”，得到“图 ￥-30000 上距离=实际距离×比例尺”。 x=77×30000 200m=20000cm,400m=40000cm,250m=25000cm. 根据”因上距离：实际距离=比 x=2310000 例尺”来列比例，注意图上距南 以学校为观测点，句正西方句画一条2©m长的线段，确定小明家的位置 与实际距离对应， 1 2310000cm=23.1km 小明家到学校的图上距离：2000×10000=2（cm） 以学校为观测点，向正东方向画一条2m长的线段，确定小亮家的位置 答：北京地铁2号线的实际长度大约是23.1km。 小亮家到学校的图上距离：(40000-20000)×10000=2(cm） 解法二：由“图上距惠：实际距离=比例尺“可知，实际距离=围上拒清+比例尺。 以学校为观洲点，向正北方向画一条25m长的线段，确定小红家的位置。 77÷L-2310000(cm)=23.1(km) 1 30000 小红家到学校的图上距离：25000×10000=2.5（cm） 解法三：由比例尺1：30000可知，实称距离是图上距离的30000倍。 77×30000-2310000(cm)-23.1(km)。 用比例尺画图“三”确定： 你能在上图中画一画吗？ (1)确定合适的比例尺 (2)确定图上距商。 (3)确定平面图的指问标。 42|中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 9 3课后·对照练习 任务1理知识 1.一幅地图的比例尺是1：2000000，在图上量得A、B两个港口的距离是8cm 1.已知比例尺和图上距离，求实际距离的方法：(1)根据“图上距离：实际距离=比 一艘货轮于上午8时从A港口出发，平均速度为每小时40km,求这艘货轮到达 例尺”列比例解答；(2)利用“实际距离=图上距离÷比例尺”列式计算；（3) B港口的时刻。①根碧“例2”练一捧 转化为求图上距离的几倍是多少来计算。 2.应用比例尺画平面图时，要先根据比例尺和实际距离求出图上距离，再根据图上距离 和方向画出相应的位置，并标明比例尺。 3.已知实际距离和比例尺，求图上距离的方法：(1)利用“图上距离=实际距离× 2.小贤从百草园出发，先向东走400m到达饮冰室，再向南走300m到达陋室， 比例尺”列式计算；(2)根据“图上距离：实际距离=比例尺”列比例解答； 然后向东走500m到达稼轩，最后向北走100m到达三味书屋。在下图中画出 (3)转化为求实际距离的几分之几是多少来计算。 小贤的行走路线，并标出各地点的位置。①根据“例3”蝽一练 北 (任务2学方法○ 百苹园 。运用抓住不变量和倍比关系解决有关比例的实际问题 一幅地图的比例尺是04080120km,量得甲、乙两城市之间的图上距离是 27cm。在另一幅比例尺是1：4500000的地图上，甲、乙两城市之间的图上距离是 0200m 多少厘米？ 思路分析思路一无论比例尺如何变，甲、乙两城市之间的实际距离都不变。先根 据原地图的比例尺和图上距离，求出甲、乙两城市之间的实际距离，再求 新地图上的图上距离。 3.长江是中国第一大河流，发源于青藏高原唐古拉山脉。在一幅比例尺为 思路二因为实际距离不变，所以图上距离与比例尺成正比例关系。新地 1：6300000的地图上，量得长江的图上长度约是100cm,那么在另一幅比例 图上的比例尺是原地图上比例尺的几分之几（或几倍），新地图上的图上 尺为1：12600000的地图上，长江的图上长度约是多少厘米？ 距离就是原地图上的图上距离的几分之几（或几倍）。 ①晨据“学方法”练一捧 正确解答方法一：40km=4000000cm27×4000000=108000000(cm)】 108000000×450000=24(cm） 方法二：1cm:40km=1:4000000=4000000 1 4500m0÷40000927×g-24(cm） 8 (对照学参考答案：P5) 答：甲、乙两城市之间的图上距离是24cm。 中小学A1教辅引领者丨43 Q新学胆对鼠学)数学六年级下册J 4按2：1画出下面三个图形放大后的图形。 在方格纸上按一定的比把图形 第3课时图形的放大与缩小 放大或缩小的方法 对应数材P57~P58 (1)明确原图形春边分别占几格 (2)按给出的比计算教大或缩小 后的图形各边分别占几格 并找到关键点。 1课前·预习例题 (3)顺次连接各个关镜点即可。 你见过下面这些现象吗？这些现象中，哪些是把物体放大？哪些是把物体缩小？ 按2：1放大，就是把 直角三角形的两条直角边 照相缩小 放大镜→放大 各边的长放大到原来 放大到原来的2倍，斜边是 的2倍。 否也变为原来的2倍呢？ 按n1放大，图形各边 针边也变为原来的2倍 就放大到原乘的n倍， 授影仪→救大 星微镜→放大 保持图形原来的形状而使图形变小，叫作图形的缩小。 观察一下放大后的图形与原来的图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？ 保持图形原来的形状而使图形变大，叫作国形的放大。 什么没变？你发现了什么？ ©你知道吗？◎ 如果把放大后的正方形按1：3、长方形按1：4、直角三角形按1：2缩小，各个 图形又会发生什么变化？在方格纸上画画看，你又发现了什么？ 在计算机上，可以把图 图形按1：拉缩小，图形春边就变为原来边长的1 片灵活地放大或缩小。 原图 把一个图形按n:1放大后，内角不变，边长和周长都放大为原来的n倍。 北一个围形按1：缩小后。内角不变。边长和周长布缩小到原来的六 编小 放大 441中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 9 3课后·对照练习 、任务1理知识 1.如图，()号图形是①号长方形放大后的图形，它是按()：() 1.把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原来的图形相比，形状相同，大小不同。 放大的。()号图形是①号长方形缩小后的图形，它是按()：() 2.在方格纸上按一定的比画出放大图形或缩小图形的方法： 一数，数原图形各边分别占几格： 缩小的。①根辐“例4”练一排 二算，按给定的比计算出放大或缩小后的图形各边分别占几格； 三画，按计算出的边长画出原图形的放大图形或缩小图形。 任务2学方法 ④ ⊙运用数方格法画出放大或缩小后的图形 ,各边都缩小到原来的子 把长方形按3：1放大，画出放大后的图形。把梯形按1：2缩小，画出缩小后的图形。 2.按要求画图。①根据“学方法”纸一撼 各边都放大到 (1)画出图形A按4：1放大后得到的图形B。 原来的3倍 (2)画出图形B按1：2缩小后得到的图形C。 (3)画出一个与图形C面积相等的梯形。 思路分析把长方形按3：1放大，就是把长方形的长和宽都放大到原来的3倍。把 梯形按1：2缩小，就是把梯形的各边都缩小到原来的2。可以列表如下 放大或缩小前各边所占放大或缩小后各边所占 图形 比 项目 的格数 的格数 长 3格 3×3=9(格) 3.把一个正方形按2：1放大后，它的周长和面积怎样变化？①根据“例4”练一捧 长方形 3:1 宽 1格 1×3=3(格) 上底 4格 4÷2=2(格) 梯形 1:2 下底 6格 6÷2=3(格) 高 4格 4÷2=2(格) 正确解答 (对照学参者答案：P5) 中小学A1教辅引领者I45 Q新学胆对圆学)数学六年级下册RJ ⑥某办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电 第4课时用比例解决问题 25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天？ 对应数材P59~P60 阅读与理解 知道了… 课前·预习例题面 要解决的问题是… ⑤张阿姨家上个月用了8t水，水费是40元。李奶奶家上个月用了10t水，李奶奶 分析与解答 每天的用电量×用电天数=用电总量（一定） 家上个月的水费是多少？ 小明用以前的方法解答： 小红用比例的方法解答： 、阅读与理解 可以先求出总用电量， 当总的用电量一定时，用电时间与单位时 知道了… 再求现在的用电天数。 间内的用电量成反比例关系，也就是说， 要解决的问题是… 每天的用电量与用电天数的乘积相等。 100×5=500(千瓦时) 分析与解答 用水吨数单价（一定） 水费 解：设原来5天的用电量现在可以用x天。 500÷25=20(天) 小明用以前的方法解 小红用比例的方法解答： 25x=100×5 先算出每吨水的价钱， 因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水 x=100x5 25 再算10t水多少钱。 吨数成正比例关系。也就是说，两家的水 x=20 费和用水吨数的比值相等。 40÷8=5(元) 解答此类问题的关键是抓住用电 原来每天的用电量用电天数 5×10=50(元) 解：设李奶奶家上个月的水费是x元。 总量不变，也就是每天的用电量 现在每天的用电量×用电天数 40x 解答此美问题的步骤： 与用电天数的乘积不变。 8=10 ①审题，找两种相关联 8x=40×10的量：②判断两种量是 回顾与反思 x=40×10香成正比例关系。③如 只要两个量的乘积 8 果成正比例关系，可以 解决这个问题的关 x=50 根据比值一定列比例 定，就可以用反比例 健是找到哪两个量 式。④解答和反思。 关系解答。 的乘积一定。 回顾与反思 答：原来5天的用电量现在可以用20天。 只要两个量的比值 解决这个问题的关键 定，就可以用正比例 现在30天的用电量原来只够用多少天？ 是找到不变的量。 关系解答。 解：设现在30天的用电量原来只够用y天 100y=25×30 答：李奶奶家上个月的水费是50元。 y=25×30+100 y=7.5 王爷爷家上个月的水费是60元，他家上个月用了多少吨水？ 答：现在30天的用电量原来只够用75天 解：较他家上个月用了yt水，曾-巴y=2答：他家上个月用了21水 461中小学AI教辅引领者 2课堂·任务学习 9 3课后·对照练习 任务1理知识 1.用食盐水浸泡哈密瓜，可以增加哈密瓜的甜味。依依的妈妈用5g食盐和265g 用正（反）比例知识解决问题的方法： 水配制了食盐水，将哈密瓜浸泡20分钟后，哈密瓜的口感更佳。依依也想配 (1)根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系； (2)若成正（反）比例关系，设出未知数，根据正（反）比例的意义列出比例： 制和妈妈一样的食盐水162g,她需要食盐多少克？①根据“侧5”练一燕 (3)解比例： (4)检验并作答。 任移2学方法) ⊙运用抓不变量法解决行程问题 2.某村组织村民在一片山地上植树，原计划每天植树750棵，10天完成，实际 客车和货车同时从甲城驶向乙城，当客车行了全程的37.5%时，货车距乙城还有全程 每天植树的棵数比原计划多子，实际多少天可以完成？0根器“衡矿棒一黄 的子，两车又按各自的速度继续前进。当客车行完全程时，货车距乙城还有15k。甲、 乙两城相距多少千米？ 思路分析因为两车各自的速度不变，所以在相同的时间里，两车行驶的路程的比值 不变，即相同时间里两车行了全程的几分之几的比值不变。 3.绿荫小学开展节能减排活动，为绿色环保作出贡献。原来学校平均每天用电200 千瓦时，开展节约用电以来，平均每天用电120千瓦时。原来6天的用电量现在 路程 第一次记录的行驶的路程第二次记录的行驶的路程 可以用多少天？①根籍“例6练一捧 客车 全程的37.5% 1 货车 全程的(1-子) 全程的x 先列比例求出客车行完全程时，货车行了全程的几分之几，再用15除以 (1-几分之几)就得到两城的距离。 4.小明在100m短跑到达终点时领先小刚10m,领先小华15m。如果小刚和小华按 正确解答解：设当客车行完全程时，货车行了全程的x。 原来的速度继续跑向终点，那么当小刚到达终点时，小华还差多少米到达终点？ 375%:(1-号)=1：x ①展据“学方法”练一集 ①提示：此题抓住两车在两段时可所行 1 37.5%x=1× 路程（行了企程的几分之几）的比值 3 一定，可到比例求出货车行了金程的 几分之几，从而找出15km占全程的 15÷(1-号)=135(km 几分之几，即可求出金程： 答：甲、乙两城相距135kme (对照学参考答案：P5) 中小学A1教辅引领者丨47 Q新学期对题学数学六年级下册) 第4单元 核心知识梳理 易错点1：解比例时，未能准确找出比例的内外项 知识点 解比例：36：8=9：x 错解：解：8三36×习 正解：解：36x=8×9 比例的意义和基本性质 (1)意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 x=36×9÷8 x=8×9÷36 (2)各部分名称：组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比 x=40.5 混清了比例的内外项 x=2 例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 (3)基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 易错点2：求比例尺时未统一单位 (4)解比例：求比例中的未知项，叫作解比例。 易 求比例尺：10cm:500km=( ):( 错 错解：1：50 正解：1：5000000 正比例和反比例 用字母x和y表示两种相关联的量。 示 →比号前后未统一单位 500km=50000000cm (1)用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子’=k表示。 易错点3：运用正比例解决问题时，未理解数据间的对应关系 某工程队修一条道路，11天共修了825m,还剩下300m。照这样计算， 核 (2)用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用式子y=k表示。 判断两种量是否成比例，首先要看这两种量是否是相关联的量，其次看它 修完这条道路，共需要多少天？ 们的积或比值是否一定。 错解：解：设共需要x天。 正解：解：设共需要x天。 识 比例尺的认识 是修300m需要的天数，不是总天数 825:11=(825+300):x (1)图上距高：实际距离=比例尺或图上距离=比制尺 825:11=300:x x= x=15 实际距离 (2)比例尺分为数值比例尺和线段比例尺两种。 图形的放大与缩小 归纳思想 转化思想 图形按一定的比放大或缩小，只改变图形的大小，不改变图形的形状。 通过多个比例发现规律，验证得出比例的基把含有未知项的比例通过比 知 本性质，体现了归纳思想。 例的基本性质转化成等积 用正、反比例解决实际问题 1:3=3:9+1×9=3×3 式，解比例就变成了解方程， (1)分析题意，找出题中的定量和两种相关联的量；(2)判断题目中两 拓 两外项之积= 体现了转化思想。 展 2:4=3:6+2×6=3×4 两内项之积 种相关联的量是成正比例关系还是成反比例关系；(3)设未知量为x,并 2:5=4:x→2×x=5×4 注明单位；(4)根据正、反比例的含义列出比例，并解比例；(5)检验， 写出答案。 481中小学A1教辅引领者Q新学期对照学数学六年级下册RJ 4比例 比例的意义和基本性质 x:28.26=5:3 x=47.1 第1课时 比例的意义和基本 3.解：设甲书架上原来有x本书。 性质 (x-150):(x+150)=2:3 1.（1)不可以。 x=750 (2)可以多：吕子：品或 4.解：设小贤的跳高成绩大约是xm。 品昌8 x:1.2=6:1 (3)不可以。 x=7.2 2.（答案不唯一)6：8=15：20 正比例和反比例 3.15:10=多18：12= 第1课时 正比例 24:16=3 (比例不唯一)15：10=18：12 1.（1)房屋面积月物业费 4.（答案不唯一)（1)2：4=3：6 月物业费 房屋面积 (2)1:3=3:9 (2)1.5比值月物业费 第2课时 解比例 房屋面积 2.（1)成正比例关系， 1.x=96x=号x=号 2.3.14×（6÷2)2=28.26(cm2) 因为弹资伸长长整=方。 所挂物体质量 (2)略 解：设大圆的面积是xcm2。 (3)1.25 -4- 对照学参考答案 第2课时 反比例 8时+4时=12时 1.①③ 2.略 1 2.（1)面额张数张数 3.100÷ 6300000=630000000(cm) (2)总钱数乘积反反 630000000×1260000=50(cm） 3.(1)8643 第3课时 图形的放大与缩小 (2)看完全书所需天数随着平均每 1.⑤1.51③12 天看的页数的增加而减少。 2.略 (3)平均每天看的页数×看完全书 3.周长放大到原来的2倍，面积放大到 所需天数=总页数（不变）， 原来的4倍。 所以看完全书所需天数与平均 第4课时 用比例解决问题 每天看的页数成反比例关系。 1.解：设她需要食盐xg 3.比例的应用 5:(5+265)=x:162 x=3 第1课时 比例尺 2.解：设实际x天可以完成。 1.60601:40000000400 750×10=750×(1+号）x 2.(1)A(2)C(3)B(4)C x=6 3.1.5×4=6(cm) 3.解：设原来6天的用电量现在可以用 300km=30000000cm x天。 6:30000000=1:5000000 200×6=120x 第2课时比例尺的简单应用 x=10 4.解：设小华还差xm到达终点。 1.8÷ 2000000=16000000(cm）= 100-10.100 160（km)160÷40=4(时) 100-15=100-x x=0 9 -5-