3 圆柱与圆锥-【新学期笔记对照学】2025-2026学年六年级下册数学（人教版）

Q新学期对照学数学六年级下册RJ 3.1.5÷100=1.5% 丙店：9980×88%=8782.4（元) 第3课时 用百分数解决实际 8782.4<8982<9080 问题 到丙店购买最合算。 1.130×（1+2)×75%=292.5(元) 3.50×60=3000(元) 130×(1+2)=390（元) 甲店：3000÷200=15（个） 390-(100-70)×3=300(元) 3000-30×15=2550(元) 300-292.5=7.5(元)》 乙店：3000×80%=2400（元） 2.甲店：9980×90%=8982（元)》 丙店：60÷(10+2)=5 乙店：9980÷1000≈9（个） 50×10×5=2500(元) 9980÷100×9≈9080（元） 2400<2500<2550 9980-100×9=9080(元) 到乙店购买最合算。 3 圆柱与圆锥 圆柱 2.3.14×20×2=125.6(cm) 底面周长和高都是125.6cm。 第1课时 圆柱的认识 3.25.12÷3.14÷2=4（dm) 4.茶叶罐的底面周长： 1.(V)()()(V)()(标 3.14×10=31.4(cm), 底面和侧面略) 丽丽：32>31.4,16=16，合适。 3底面圆侧面曲 梦梦：16<31.4,16=16，侧面不能 2.(1)宽ab 贴满一圈。 (2)长42 华华：40>31.4,10<16，高度不够。 所以丽丽设计的商标贴纸在茶叶罐上 3.94.2÷3.14=30（cm) 比较合适。 30×50×2=3000(cm2) 第3课时 圆柱的表面积 第2课时 圆柱的侧面展开图 1.3.14×8×50=1256(cm2) 1.25.1212 2.25.7÷(3.14+1+1)=5（cm) -2- 对照学参考答案 3.14×（5÷2)2×2+3.14×5×5= 3.①②3.14×(8÷2)2×(6-5)= 117.75(cm2) 50.24(cm3) 3.花布：3.14×18×80=4521.6(cm2) 或③ 3.14×(8÷2)2×1=50.24(cm3) 红布：3.14×(18÷2)2×2=508.68(cm2) 圆锥 4.94.2÷6÷3.14÷2=2.5（dm) 2m=20 dm 第1课时圆锥的认识 3.14×2.52×2+3.14×2.5×2×20= 353.25(dm2) 第4课时圆柱的体积(1)】 2.12×9÷2×2=108(cm2) 1.3.14÷3.14÷2=0.5（m） 3.25.12÷3.14=8（cm) 表面积：3.14×0.52×2+3.14×5= 40÷2=20(cm2) 17.27(m2) 20×2÷8=5(cm) 体积：3.14×0.52×5=3.925（m3) 4.两种。圆锥的底面直径是10cm,高是 2.3.14×(6÷2)2×12=339.12(cm3) 4cm或底面直径是8cm,高是5cm。 339.12cm3=339.12mL 第2课时圆锥的体积 339.12<350,存在虚假宣传。 -×9×3.6=10.8(m3) 3.60÷2÷10=3(cm) 3.14×32×10=282.6（cm3) 号x314×p×12=20,96(cm) 4.4.8÷4=1.2（m2) 30 dm=3 m 号x34x12s6:34:2Px15=62xm） 1.2×3=3.6(m3) 第5课时圆柱的体积（2)】 2.120×(1-写）=80(cm) 3.号×3.14×(18.84÷3.14÷2)2× 1.3.14×(14÷2)2×(25-20+16)= 15×0.9=127.17(g） 3231.06（cm3) 3231.06cm3=3231.06mL 4.号×157×30÷(3.14×10)=5(cm） 2.(10×10×6.28)÷(3.14×52)=8(cm) -3-Q新学期对照学数学六年级下册RJ 第2单元 核心知识梳理 知识点 折扣：几折表示十分之几，也就是百分之几十。 “折扣问题”可以转化为“百分数问题”。 （1)求商品打折后的现价，就是“求一个数的百分之几是多少”； (2)求商品打折后便宜了多少钱，就是“求比一个数少百分之几的数是多少” 成数：表示一个数是另一个数的十分之几。 解决成数问题时，把成数转化为百分数后，解题方法与百分数问题相同，要 抓住关键句来分析数量关系，确定单位“1”。 税率 (1)税收主要分为消费税、增值税和个人所得税等几类。 核 (2)缴纳的税款叫作应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额…） 心 中应纳税部分的比率叫作税率。 识 利率 （1)存入银行的钱叫作本金；取款时银行多支付的钱叫作利息；单位时间（如 1年、1月、1日等)内的利息与本金的比率叫作利率。存款到期时，可 以取出的钱包括本金和利息（简称本息）。 (2)计算存款到期时可以取出的钱有两种方法①利息=本金×利率×存期， 本息=本金+利息；②转化为“求比一个数多百分之几的数是多少”解答， 即本金×（1+利率×存期)。 解决实际问题的方法 解决促销问题时，根据商品的优惠政策，分别求出不同方案所需的钱数，通 过比较，选出最省钱的方案。解决打折问题时，不要把打折后的价格当作定价， 要区分定价、进价和售价。 14|中小学A教辅引领者 易错点1：折扣与百分数互化时出错 折扣与百分数的互化：六折=( )% 77%=（）折 错解：六折=(6) % 77%=(七中比)折 6” 后少写了“0 多写了“十” 正解：六折=(60)% 77%=(七七)折 易错点2：解决打折问题时未审清题意 妈妈买了一件上衣，原价是150元，现在打八折优惠，这件上衣便宜了多 易 少元？ 错 这个是现价的分率 示 错解：150×806=120（元） 正解：150×（1-80%)=30（元） 易错点3：误将年利率当作月利率计算利息 王奶奶把2400元存入银行，存期6个月，年利率是1.30%，到期时可得到 利息多少元？ ,误把存期6个月当作6年计算 错解：2400×1.30%×6187.2（元） 正解：2400×1.30%×6 =15.6(元) 转化思想 将折扣问题转化为百分数问题就是运用了转化思想。 一辆自行车100元，商场打八折出售，需要多少钱？ 拓 打八折出售，相当于现价是原价的80%，求一个数的百分之几是多少，用乘法 计算。100×80%=80（元） 圆柱的认识。 认识圆柱，知道圆柱各部分的名称，掌握圆柱的特征。 理解圆柱的侧面展开图与圆柱各部分之间的关系。 3圆柱与圆锥 圆柱的表。 理解圆柱表面积的意义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 面积 能运用圆柱表面积的计算公式解决实际问题，提高分析问题和解决问 题的能力。 掌握圆柱的体积计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。 圆柱的体积 能将不规则物体转化为规则物体进行体积的计算，体会转化思想。 认识圆锥，掌握圆锥的基本特征。 圆锥的认识。 掌握圆锥的高的测量方法。 掌握圆锥体积的计算方法。 圆锥的体积 理解圆锥体积计算公式的推导过程，理解圆柱与圆锥的关系。 ○Q新学期对照学数学六年级下册RJ ① 圆柱 第1课时圆柱的认识 对应教材P16~P17 课前·预习例题通 我们学过的正方体和长方体都是由平面围成的立体图形。现在我们再来研究一种立体 图形—圆柱。 彩色铅笔 盒子 储罐 柱子 砧板 台灯 上面这些物体的形状有什么共同点？ 由两个相同的圆和一个曲面组成。 ①注意：圆柱形的物体 可以是有底有盖的， 也可以是没有底和盖 的，或者是只有底没 有盖的。 上面这些物体的形状都是圆柱体，简称圆柱。 你还见过哪些圆柱形的物体？ 烟囪、汽油桶、罐头盒等。 16|中小学AI教辅引领者 ,两个底面和一个侧面 观察一个圆柱形的物体，看一看它是由哪几部分组成的，有什么特征。 圆柱是由3个面围成的。圆柱的上、下两个面叫作底面。圆柱周围的面（上、 下底面除外)叫作侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫作高。 平面 底面 曲面 侧 面 高 底面 平面 任何一个圆柱都有无数条高。 圆柱的底面都是圆， 圆柱的侧面 并且大小一样。 是曲面。 如右图所示，把一张长方形的硬纸贴在木棒 上，快速转动木棒，看看转出来的是什么形状。 长方形以长或宽所在的直线为轴旋转一周，都可 以得到圆柱。 转起来像一个圆柱。 若绕长旋转，则宽就是底面圆的半径；反 之，若绕宽旋转，则长就是底面圆的半径。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。 2.圆柱各部分的名称及其特征。 名称 概念 特征 底面 圆柱的上、下两个面叫作底面 两个大小相同的圆 侧面 圆柱周围的面（上、下底面除外）叫作侧面 曲面 高 圆柱的两个底面之间的距离叫作高 有无数条，且长度都相等 任务 2 学方法 。运用画示意图法解决问题 一个圆柱的底面直径是6.28cm,高是4cm。若沿底面直径垂直于底面把这个圆柱 切成完全相同的两部分，那么切面的面积总和是多少？ 思路分析。 若沿底面直径垂直于底面把圆柱切开，则会得到两个完全相同的切面，且 切面是长方形，如下图所示： 沿底面直径垂直于 底面将圆柱切开。 切面是两个完全相同的长方形。 长方形的宽等于圆柱的高。 长方形的长等于圆柱的底面直径。 根据长方形的面积计算公式可以求出切面的面积。 正确解答 6.28×4×2=50.24(cm2) ①提示：理解切开后会得到两个完全 相同的切面是解答本题的关键。 答：切面的面积总和是50.24cm2。 3课后·对照练习 1.下面的图形哪些是圆柱？在括号里画“√”，并标出其中一个圆柱的底面和侧面。 ①根据“例1”练一练 ( ) ( ( 我发现：圆柱从上到下一样粗，是由()个面围成的。圆柱的上、下两个 面叫作（ )，是大小一样的( )；圆柱周围的面（上、下底面除外） 叫作（ ),它是（ )面。 2.如下图，一个长方形以其一边所在的直线为轴旋转，得到圆柱甲和圆柱乙。（单 位：cm) 甲 (1)圆柱甲是以长方形的( )所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是 ( )cm,高是( )cm。 (2)圆柱乙是以长方形的()所在的直线为轴旋转而成的，如果底面直 径和高都是4cm,那么a=( ）cm,b=( ）cmo 3.一根圆柱形木料，底面周长是94.2cm,高是50cm。将这根圆柱形木料沿着底面 直径垂直于底面切成两个半圆柱，那么两个切面的面积一共是多少平方厘米？ ①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P2) 中小学AI教辅引领者|17 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 第2课时圆柱的侧面展开图 对应教材P18 、1 课前·预习例题 (1)圆柱的侧面展开后是什么形状？把罐头盒的商标纸如下图所示沿高剪开，再 展开。 把圆柱侧面像上面那样展开后，得到一个长方形。 沿高剪开，圆柱侧面展开图是长方形（或正方形）。 当圆柱的高和底面周长相等时，展开得到的是正方形。 若不沿高剪开，则圆柱侧面展开图可能是平行四边形，也可能是不规则图形。 (2)这个长方形的长、宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你 能发现什么？展开后的长方形大小与圆柱的侧面相等。 把曲面变成平面体现了数学中的转化思想。 底面 底面 底面的周长 底面的周长 圆柱的高 底面 底面 我们发现，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 长方形面积=长×宽◆圆柱侧面积=底面周长×高 18|中小学Al教辅引领者 2 课堂·任务学习 任务 1 理知识 1.沿着圆柱侧面上的一条高，把圆柱侧面展开后得到一个长方形，长方形的长（或宽） 等于圆柱底面的周长，宽（或长）等于圆柱的高。 2.圆柱的侧面展开图的形状与展开方式有关，当且仅当沿着侧面上的高展开时，得到的 侧面展开图才是长方形或正方形；当沿着侧面上的斜线或不规则的线展开时，得到的 侧面展开图是平行四边形或不规则图形。 任务 2 学方法 O灵活运用“两点之间线段最短”解决问题 下面图(2)是图(1)的侧面展开图，一只蚂蚊沿着圆柱的侧面，从点A沿着最短的 路线爬到点B,则蚂蚊的爬行路线是( ① ② ③ 图（1) 图(2) A.① B.② c.③ 思路分析 蚂蚁沿着圆柱的侧面，从点A沿最短的路线爬到，点B,此时需将圆柱的侧 面展开，因为点A和，点B分别在圆柱的两侧，把圆柱的侧面展开后，蚂蚁 沿着①爬行最短。 正确解答A ©总结：根据圆柱侧面展开图的特征，灵活运用“两点之间线段最短”来 解答圆柱侧面上的最短距离之类的题目。 ▣运用转化法解决捆扎圆柱形物体的问题 用彩带捆扎一个蛋糕礼盒（如图），如果打结部分用了50cm彩带，捆扎 这个蛋糕礼盒一共需要多少米彩带？ 20 cm 思路分析由题意可知，所用彩带的长度可以分为3部分：上、下 底面用的彩带、侧面用的彩带、打结部分用的彩带。 30 cm- 上、下底面：彩带的长 度相当于圆柱底面4条 直径的长度。 彩带的长度=圆柱底面4条直径的 彩带的长度 长度+圆柱4条高的长度+打结部 侧面：彩带的长度相当 分的长度。 于圆柱4条高的长度。 打结部分：50cm。 正确解答 30×4+20×4+50=250(cm) 250cm=2.5m 答：捆扎这个蛋糕礼盒一共需要2.5m彩带。 ©总结：解决此类捆扎圆柱形物体所用彩带长度的问题时，关键要弄清楚彩带的长度 可以分为几部分，每部分与圆柱形物体的高、底面直径的关系，最后记得加上打结 部分彩带的长度。 任务 3 做易错 ©易错点：对圆柱的侧面展开图的理解不准确 一个圆柱的侧面沿高展开是一个长15.7cm、宽6.28cm的长方形，这个圆柱的底面半 径是多少厘米？ 易错解读本题易误认为圆柱的底面周长比圆柱的高长，即把15.7cm当作底面周长， 把6.28cm当作高，从而漏掉了另一种情况。本题的正确解答为15.7÷3.14÷ 2=2.5（cm)或6.28÷3.14÷2=1(cm)。 ©总结：只给出圆柱的侧面展开图的长和宽，不知道哪 个是圆柱的底面周长，要求底面半径时，需要考虑两 种情况。 3课后·对照练习 1.如图，把一个高是12cm,底面半径是4cm的圆柱形鱼罐头盒的商标纸沿高剪开 再展开，得到一个长方形，在图中标出长方形的长和宽。①根据“例2”练一练 cm cm 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径是20cm。这个圆 柱的底面周长和高各是多少厘米？①根据“例2”练一练 3.下面是一个无盖的圆柱形铁桶的展开图，求这个铁桶的底面半径是多少分米。 25.12dm 10 dm 4.某工厂生产了一种圆柱形茶叶罐，尺寸如下面左上图。剩下的三幅图是丽丽、梦梦 华华设计的三种茶叶罐侧面的商标纸，你认为谁设计的商标纸贴在茶叶罐上比较 合适？说明理由。 0 cm 16cm 16 cm 32 cm 丽丽 16 cm 10 cm 16 cm 40 cm 梦梦 华华 (对照学参考答案：P2) 中小学AI教辅引领者|19 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第3课时圆柱的表面积 对应教材P20~P21 课前·预习例题 多一个侧面和两个底面。 3 在前面的学习中，我们已经知道圆柱的表面是由哪几部分：组成的，那怎么求圆柱的 表面积呢？ 底面的周长 底面 底面 底面的周长 圆柱 高 侧面 的高 底面 底面 观察上图，你能发现什么？ 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积 ±用字母表示：S表=S倒+2S底 底面有两个，计算表面积 时底面积要乘2。 你会计算圆柱的侧面积吗？圆柱的底面积呢？ 用转化思想把侧面积转化为长方形的面积。 计算圆柱的侧面积，实际上就是求上图中长方形的面积。 圆柱的侧面积=底面周长×高 用字母表示：S倒=Ch 如果圆柱的底面半径是，高是h,那么，可以得到下面的公式。 圆柱的侧面积=2πh 其中一个底面的面积=π 20|中小学AI教辅引领者 ,罗一个底面和一个侧面 4一顶厨师帽近似圆柱形，高30cm,帽顶直径20cm。做这样一顶帽子大约要用多 少平方厘米的面料？（得数保留整十数。) 、采用“进一法” 求大约要用 多少面料， 就是求… 2S底+S ①注意：实际制作帽子时会有重叠部分的面料，故用“四舍五入”法取近似值可 能会导致面料不够用。因此用“进一法”取近似值，保证实际使用的面料比计算 的结果多一些。 (1)帽子的侧面积：3.14×20×30=1884（cm2) (2)帽顶的面积：3.14×（20÷2)2=314（cm2) (3)需要用的面料：1884+314=2198≈2200（cm2) 即个位上即使是4或 实际使用的面料要比计算的结果多一些， 比4小，也要句前一 所以这类问题往往用“进一法”取近似数。 位进一。 答：做这样一顶帽子大约要用2200cm2的面料。 ©总结：(1)在实际问题中，并不是所有圆柱形物体都有两个底面，要结合实际， 灵活处理。 (2)有时根据实际情况，不管要求被保留位数的下一位上的数字比 4大还是比4小，都要句前一位进一，这叫“进一法”。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.圆柱表面积的意义：圆柱的表面积就是指圆柱外部各个面的面积之和。 2.圆柱表面积的计算公式：圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用字母 表示为S表=S侧+2S底0 3.圆柱侧面积的计算公式：圆柱的侧面积=圆柱底面的周长×圆柱的高，用字母表示 为S侧=Ch。 任务 2 学方法 。运用推理法解决求圆柱表面积的实际问题 有一张长方形塑料板，利用图中的涂色部分刚好能做成一个圆柱形的带盖水桶（接头 处忽略不计)。求这个水桶的表面积。 16.56dm 思路分析 求圆柱形水桶的表面积，需要知道水桶的底面直径（或半径）和高。从图 中可知，如果圆柱形水桶的底面直径是，那么涂色部分长方形的长就是 3.14d,宽就是2d。整个长方形塑料板的长为3.14d+d=16.56（dm),由 此可求出d的值，进而可求出2d的值（即圆柱的高)。根据圆柱的表面 积计算公式，可求出水桶的表面积。 ©总结：解决此类题的关键 3.14d 是先从图中找出长方形塑 料板的长、圆柱的底面直 2d 径和圆柱的高三者之间的 关系，从而求出圆柱的底 面直径和高，再根据公式 16.56dm 计算圆柱的表面积。 正确解答 水桶的底面直径：16.56÷（1+3.14)=4（dm) 水桶的高：4×2=8（dm) 水桶的表面积：3.14×（号）2×2+3.14×4×8=125.6(dm) 答：这个水桶的表面积是125.6dm。 3课后·对照练习 1.用铁皮制作一节圆柱形通风管（厚度忽略不计），长50cm,底面直径8cm。做 这节通风管至少需要铁皮多少平方厘米？①根据“例4”练一练 2.有一张长方形铁皮（如下图)，剪下的涂色部分正好可以围成一个圆柱，求这 个圆柱的表面积。①根据“学方法”练一练 25.7cm 3.梅阿姨准备做一个圆柱形艾绒颈椎枕，长80cm,底面直径18cm。如果底面用红布， 侧面用花布，那么两种布至少各需要多少平方厘米？①根据“例4”练一练 4.如图，从一根高2m的圆柱形木料上截下6dm后，木料的表面积减少了 94.2dm2。原来这根木料的表面积是多少平方分米？ 6dm 2m (对照学参考答案：P2~P3) 中小学AI教辅引领者|21 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第4课时圆柱的体积（1) 对应教材P24~P25 课前·预习例题 ,长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 我们会计算长方体和正方体的体积，怎样计算圆柱的体积呢？能不能将圆柱 转化成我们学过的立体图形，再计算出它的体积呢？一个圆柱所占的空间的大小， 叫作这个圆柱的体积。 5 联想到圆的面积计算 此处体现了数学中的转化思想。 公式的推导过程，我 等积变形 把圆柱的底面分成许 多相等的扇形，把圆 o 柱切开，再像这样拼 起来，得到一个近似 的长方体。 转化 分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近长方体。此处体现了极限思想。 把长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？ 这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高。 发现1：底面分成的扇形份数越多，拼成的立体图形就越接近长方体。 发现2：形状改变，底面积不变，高不变，体积不变。 发现3：表面积增加了长方体左右两个面的面积，底面周长增加了一条直径的长度。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是： V=Sh 22|中小学AI教辅引领者 如果知道圆柱的底面半径r和高h,你能写出圆柱的体积计算公式吗？ V=ar2h V=h=πh=π（受）%=π(6)% 6 下图中的杯子能不能装下2袋这样的牛奶？（数据是从杯子里面测量得到的。） ①注意：求圆柱形容器的容积应从容器里面量直径和高。 8cm-→ 牛奶 10cm 240ml 想：要回答这个问题，先要计算出杯子的容积。 杯子所能容纳物体的体积。 杯子的底面积：3.14×（8÷2)2 =3.14×42 =3.14×16 =50.24(cm2) 圆柱形容器的容积与体积计算方法相同， 杯子的容积： 50.24×10 →都用“底面积×高”计算。 =502.4(cm3)、 牛奶以毫升为单位，所以求出杯子的容积后， =502.4（mL)k 要把单位转化为毫升，再比较。 牛奶的体积： 240×2=480(mL) 502.4>480 答：杯子能装下2袋这样的牛奶。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.计算圆柱体积的基本方法 (1)已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 (2)已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=πrh。 (3)已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π（d÷2)h。 (4)已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷π÷2)h。 2.计算圆柱的体积时，需要注意：（1)要看清数据，并根据不同的数据选择不同的公 式来计算；(2)单位是否统一。 任务 2 学方法 ⊙运用由切割引起圆柱表面积变化的规律求体积 一个圆柱高8cm,如果它的高减少2cm,它的表面积就减少25.12cm2,这个圆柱 的底面半径是多少？体积是多少？ 8cm 思路分析 A2 cm 高减少2cm,减少的表面 8cm 积就是高是2cm的圆柱的 侧面积。 用减少的表面积除以减少的高求出圆柱的底面周长，进而求出底面半径，再 根据圆柱的体积计算公式求出圆柱的体积。 正确解答25.12÷2÷3.14÷2=2(cm) ©总结：把一个圆柱沿平行于底面的方向 截掉一段，减少的表面积就是所载掉的 3.14×22×8=100.48(cm3) 这段圆柱的侧面积。 答：这个圆柱的底面半径是2cm,体积是100.48cm3。 3课后·对照练习 1.一个圆柱的底面周长是3.14m,高是5m,它的表面积是多少平方米？体积是多 少立方米？①根据“例5”练-练 2.如图，某生产商生产一种饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从外面量得易拉罐的 底面直径是6cm,高是12cm,该生产商是否存在虚假宣传？说说你的理由。 ①根据“例6”练一练 饮料 净含量： 350mL 、 3.如图，把高10cm的圆柱按下面的方式切开，再拼成近似的长方体，表面积增加 了60cm2,圆柱的体积是多少立方厘米？①根据“例5”练-练 4.如下图，一根长30dm的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面 积增加了4.8。原来这根圆柱形木料的体积是多少？①根据“学方法”练-练 (对照学参考答案：P3)》 中小学A教辅引领者丨23 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第5课时圆柱的体积（2)） 对应教材P26 课前·预习例题 转化法 18 cm 一个底面内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm, 积 把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形， 高度是18cm。这个瓶子的容积是多少？ 形 阅读与理解 知道了…·瓶子底面内直径是8cm,正放时水的高度是7cm, 倒置时 无水部分的高度是18cm。 要解决的问题是… 求这个瓶子的容积是多少。 分析与解答 瓶子的容积=瓶子正放时水的体积+瓶子倒置时无水部分的体积 不管是正放还是倒 倒置前后，水和无水部分 置，瓶子里的容积都 的形状发生了变化，但体 是由水的体积和无水 积都没有变。 部分的体积组成的。 瓶子的容积=水的体积+无水部分的体积 =7cm高的圆柱体积+18cm高的圆柱体积 3.14×(8÷2)2×7+3.14×(8÷2)2×18 =3.14×16×(7+18) =3.14×16×25 =1256(cm3) =1256(mL) 回顾与反思 我们利用了体积不变的特 在五年级计算土豆 性，把不规则图形转化成 的体积时，也是用 规则图形来计算体积。 了转化的方法。 答：这个瓶子的容积是1256mL。 24|中小学A教辅引领者 2课堂·任务学习 任务 理知识 求不规则物体的体积或容积，可以利用体积不变的特性和转化的方法，将不规则物体转 化成规则物体进行计算。 任务 2 学方法 ⊙运用转化法计算不规则物体的体积或容积 一个内直径为6cm的瓶子里，水的高度是9cm,把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无 水部分是圆柱形，高度是15cm。这个瓶子的容积是多少？ cm 9 cm 思路分析 要求瓶子的容积可以用转化的思想，把不规则瓶子的容积转化为规则的圆柱 体的容积进行计算，解题的关键在于瓶子正放与倒置时无水部分的体积是相 等的，并且水的体积也是相等的，从而解决问题。 正确解答 3.14×(6÷2)2×(9+15)=678.24(cm3) 678.24cm3=678.24mL 答：这个瓶子的容积是678.24mL。 ©总结：求不规则物体的体积或容积，可以利用体积不变的特性和转化的方法，将 不规则物体的体积或容积转化成规则物体的体积或容积进行计算。 O运用等量代换的方法计算不规则物体的体积或容积 一个装满水的矿泉水瓶（矿泉水瓶除瓶颈外的其他部分呈圆柱形），其底面内半径是 4cm,小兰喝了一些水，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分高8cm。小兰喝 了多少毫升水？ cm 思路分析矿泉水瓶是不规则的物体，要求喝了的水的体积，把喝的水的体积转化为无 水部分的体积进行计算。无水部分的体积是半径为4cm,高为8cm的圆柱体 的体积。 正确解答 3.14×42×8=401.92(cm3) ①提示：喝的水的体积=无水部的 体积 401.92cm3=401.92mL 答：小兰喝了401.92mL水。 任务 3 做易错 O易错点：误将瓶子的高当作圆柱的高计算瓶子的容积 如图，下面是一个圆柱形的瓶子，瓶高30cm,底面内直径是10cm,瓶里水深20cm, 把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，这时水深25c,求这个瓶子能装多少毫升水。 20 cm 25 cm 易错解读 瓶子是不规则的物体，要求这个瓶子的容积，可以利用转化法把瓶子的 容积转化为规则的圆柱体的体积进行计算。瓶子上面的部分不是圆柱， 本题易错在把瓶子的高当作圆柱的高来计算。本题的正确解答为3.14× (10÷2)2×（30-25+20)=1962.5(cm3)=1962.5(mL),这个瓶 子能装1962.5mL水。 3课后·对照练习 1.一个瓶子的内深是25cm,底面内直径是14cm,瓶里水深16cm。把瓶盖 拧紧，把瓶子倒置、放平，这时水深20cm,这个瓶子的容积是多少毫升？ ①根据“例7”练一练 16 cm 25 cm 20 cm 14 cm 2.如下图，甲圆柱形水槽内的底面半径是5cm,高是20cm。乙长方体水槽中 水深6.28cm,将乙水槽中的水全部倒入甲水槽里，这时甲水槽中的水深多少 厘米？①根据“学方法”练一练 OY 10 cm 5cm 10 cm 3.乐乐为了测量一个鸡蛋的体积，把鸡蛋放在一个底面直径是8c的圆柱形玻璃杯 里（如图)。若各类误差忽略不计，则鸡蛋的体积是多少立方厘米？ ①根据“做易错”练一练 ①放入鸡蛋后水面高6cm。 ②原来水面高5cm。 ③取出鸡蛋后水面下降了1cm。 选择信息()（填序号）。 解答： (对照学参考答案：P3) 中小学AI教辅引领者|25 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 2 圆锥 第1课时圆锥的认识 对应教材P30~P31 1 课前·预习例题红 斗笠 漏斗 建筑 通风孔帽 纸杯 吊灯 上面这些物体的形状有什么共同点？都是接近圆维形的。 一个顶点 上图中这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。 圆锥 一个侧面（曲面 一个底面 你还见过哪些圆锥形的物体？ 沙堆、工人用的铅锤、削好的铅笔头等。 26|中小学AI教辅引领者 拿一个圆锥形的物体，观察它有哪些特征。圆维由一个侧面和一个底面组成。 圆锥的底面是一个 顶，点 圆，侧面是曲面。 底面 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 怎样测量圆锥的高？拿一个圆锥形物体，试着测量它的高。 如下图所示，可以测量出圆锥的高。 测量时，圆锥的 底面要放水平。 竖直地测出三角尺 和底面之间的距离。 如下图所示，把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出 来的是什么形状。绕一个直角三角形的一条直角边旋转就得到一个圆雏。 转起来像一个圆锥。 高 底面半径 从圆锥的顶点到底面 圆周上任意一点的线 段不是圆维的高，圆 锥只有一条高。 在轴线上的直角边是圆 维的高，另一条直角边 是圆锥的底面半径。 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.圆锥是生活中常见的一种立体图形，底面是圆，从下往上逐渐变小到一点。 2.圆锥由两部分组成：一个底面和一个侧面。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。 3.圆锥只有一条高和一个顶点。 示例：下面的图形哪些是圆锥？是的在括号里画“√”，不是的画“×”。 (×) (/) (×) 任务 2 学方法 。运用图示法解决切割圆锥的问题 一个圆锥的底面半径是2cm,高是7cm,沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同 的两块，每个切面的面积是多少平方厘米？ 思路分析根据题意可知，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块 的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是圆锥的底面直径，高 是圆锥的高，也就是底是4cm,高是7cm,根据三角形的面积公式即可求 出每个切面的面积。 正确解答2×2×7÷2=14(cm2) 答：每个切面的面积是14cm2。 ⊙总结：把圆锥沿高并垂直于底面切割成两半后，增加的两个面的形状是 两个相同的等腰三角形，一个切面的面积=圆锥的底面直径×高÷2。 3课后·对照练习 1.按图示方法绕轴转动一周，会形成哪个立体图形？连一连。①根据“例1”练一练 2.把一个底面直径为12cm、高为9cm的圆锥形木块沿底面直径切成形状、大小 都相同的两半。切开后图形的表面积增加多少平方厘米？①根据“学方法”练一练 3.将一个底面周长为25.12cm的圆锥从顶点沿着高切成两部分后，表面积增加 了40cm2,这个圆锥的高是多少厘米？①根据“学方法”练一练 4.将下图中的直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，可以得到几种圆锥？圆锥 的底面直径和高分别是多少？ 5 cm 4cm (对照学参考答案：P3) 中小学AI教辅引领者I27 Q新学期对照学数学六年级下册RJ 第2课时圆锥的体积 对应教材P32~P33 课前·预习例题 我们会计算圆柱的体积，怎样计算圆锥的体积呢？ 圆柱的底面是圆，圆 圆锥的体积和圆 ● 锥的底面也是圆。 柱的体积有没有 关系呢？ 下面通过实验，探究一下圆锥和圆柱体积之间的关系。 (1)各组准备好等底、等高的圆柱和圆锥形容器。 圆柱形容器和圆维形容器的用 料及壁厚要相同，而且要等底、 底面重合 等高。 说明等底。 说明高相等。 (2)用倒沙子或倒水的方法试一试。 圆锥装满后，我把沙子倒进 盒子里，正好倒了三次。 我把圆柱装满沙子， 再往圆锥里倒。 三次正好倒满。 28|中小学AI教辅引领者 (3)通过实验，你能发现圆锥的体积与同它等底、等高的圆柱的体积之间的关系吗？ V雕=V=子汤 圆维体积一}×圆柱体积 圆维体积=1×圆柱底面积×高 3 圆维体积=1×圆锥底面积×高 圆维的体积计算公式：圆维的体积=1×底面积×高 3]工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥（如下图）这堆沙子的体积大约是多少？ 如果每立方米沙子大约重1.5t,这堆沙子大约重多少吨？ (1)沙堆的底面积：Sa-(号尸 因为沙推的形状 1.5m 3.14×(号)》2=3.14×4=1256(m2)近以看作圆维形， 所以结果中才用 (2)沙堆的体积：V=号Sh “大约”。这里 不是求近似数。 号×1256×15=628(m) (3)沙堆重：沙子的质量=沙子的体积×每立方米沙子的质量 6.28×1.5=9.42（t) 答：这推沙子的体积大约是6.28m,这推沙子大约重9.42t。 21 课堂·任务学习 任务 理知识 1,圆维的体积等于与它等底、等高的圆柱体积的？ 2.圆锥的体积计算公式：圆锥的体积=号×底面积×高，用字母表示为=号S。 3.计算圆锥体积的基本方法： (1)已知圆锥的底面积和高，求圆锥的体积：=号5% (2)已知圆锥的底面半径和高，求圆锥的体积：号 (3)已知圆锥的底面直径和高，求圆锥的体积：V=1π(d÷2)h 3 (4)已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积：=1π(C÷2÷π)% 3 任务 学方法 。利用圆锥和圆柱的体积计算公式之间的关系解决问题 有一根底面直径是10cm、长是18cm的圆柱形钢材，要把它削成与它等底、等高的 圆锥形零件。要削去钢材多少立方厘米？ 思路分析 1 圆柱和圆锥等底、等高，则圆锥的体积是圆柱体积的3，圆柱削去部分 的体积占圆柱体积的 号。因北，先利用国柱的体积计算公式计算出国柱 2 的体积，再求圆柱体积的与即可。 正确解答 3.14×(10÷2)2×18×(1-号)=942(cm2) 答：要削去钢材942cm3。 ©总结：圆锥的体积等于与它等底、 等高的圆柱体积的号。 、1 3课后·对照练习 1.计算下面圆锥的体积。0根据“例2”练一练 3.6m 1.5m 4 cm S=9m 12 cm C=12.56m 2.把一个体积是120cm3的圆柱削成一个最大的圆锥，那么削去部分的体积是多 少？①根据“学方法”练一练 3.一个圆锥形冰激凌蛋筒，上方有一个包装盖。从内部测量，蛋筒底面周长为 18.84cm,高为15cm,如图。每立方厘米冰激凌的质量约为0.9g,这个蛋简内 部大约能装多少克冰激凌？①根据“例3”练一练 4.一个圆锥形铁块，底面积是157cm,高是30cm。把它熔铸成一个底面半径 是10cm的圆柱形铁块，圆柱的高是多少厘米？ (对照学参考答案：P3) 中小学AI教辅引领者|29 ○新学期对照学数学六年级下册RJ 第3单元 核心知识梳理 知识点 圆柱的认识 圆柱的上、下两个面叫作底面；圆柱周围的面（上、下底面除外）叫作侧面； 圆柱的两个底面之间的距离叫作高（如图①）。圆柱的侧面沿着一条高展开 后可得到一个长方形；这个长方形的长相当于圆柱的底面周长；它的宽相当 于圆柱的高（如图②、图③）。 底面 底面 底面 底面的周长 侧 侧面 面 高 高 底面的周长 食面 ②面 ③到 圆柱的表面积 圆柱的侧面积=底面周长×圆柱的高 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积 知识 圆柱的体积 (1)圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=Tr2h。 (2)求不规则的圆柱形物体的体积或容积时，可以利用转化的方法，将其 转化成规则的图形进行计算。 圆锥的认识 顶点 一个圆锥是由曲面和平面两部分围成的。曲面部分叫作圆锥 的侧面，展开后可以得到一个扇形；平面部分叫作圆锥的底 高 面，圆锥的底面是一个圆。从圆锥的顶，点到底面圆心的距离 叫作圆锥的高。 底面 圆锥的体积 圆锥的体积=}底面积×高，用字母表示为号Sh=Th。 3 3 3 30|中小学AI教辅引领者 易错点1：误认为底面直径乘高是侧面积 一个圆柱的底面直径是10cm,它沿高展开后是一个正方形。这个圆柱的 侧面积是多少平方厘米？ →错将底面直径乘高当作是侧面积 错解：10×10=100：(cm2)正解：10×3.14×（10×3.14)=985.96(cm2) 易错点2：误认为减少的表面积是圆柱的底面积 将一根长是3m的圆柱形木料，沿垂直于高的方向截掉3dm,它的表面积 易 减少了56.52dm2,这根木料的体积是多少立方分米？ →误认为减少的表面积是底面积 示 错解：3m=30dm 56.52×30=1695.6(dm3) 正解：3m=30dm 3.14×(56.52÷3÷3.14÷2)2×30=847.8（dm3) 5cm 易错点3：计算圆柱的表面积时没有统一单位 计算右面圆柱的表面积。 dm 错解：3.14×5×2+3.14×5×2×=188.4（cm2) 4没有把1dm 正解：1dm=10cm 转化为10cm 3.14×52×2+3.14×5×2×10=471（cm2) 转化思想 极限思想 把求圆柱的体积转化为求长方 当圆柱分的份数足够多时，拼成的立体图 体的体积，体现了转化思想。 形就更接近长方体，体现了极限思想。 知识拓展