第三单元 圆柱和圆锥-2024-2025学年人教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年人教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第三单元 圆柱和圆锥 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识梳理点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识梳理点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识梳理点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。 1. 圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 3. 求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 4. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 5. 圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的1/n2。 6. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 7. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 8. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 9. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 10. 运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘三分之一。 11. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积，才存在3倍的关系。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•安远县）一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是　　 A． B． C． D．无法确定 【思路点拨】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，再由“一个圆柱的侧面展开是一个正方形”可知，圆柱的高与底面周长相等，从而可以求出它们的比． 【规范解答】解：由题意可知：圆柱的高与底面周长相等， 则圆柱的底面周长：高； 故选：． 【考点评析】解答此题的主要依据是：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高． 2．（2分）（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 【思路点拨】利用圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积上下底面面积侧面积，圆柱的体积底面积高分别进行计算即可。 【规范解答】解：圆柱甲的底面积， 圆柱甲的侧面积， 圆柱甲的表面积， 圆柱甲的体积； 圆柱乙的底面积， 圆柱乙的侧面积， 圆柱乙的表面积， 圆柱乙的体积， 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。 3．（2分）（2024•广信区）把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分重，这段圆钢原来重　　 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意结合圆柱、圆锥的体积公式可知，削去部分占圆柱的体积的，由此计算这段圆钢原来的重量。 【规范解答】解：由分析可知： 答：这段圆钢原来重。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 4．（2分）（2024•鹿城区）把一个底面直径高的圆柱体木块加工成一个等底等高的圆锥。下面说法正确的是　　 A．去掉的体积是圆锥体积的2倍。 B．圆锥的底面积是。 C．去掉的体积是圆柱体积的。 D．圆锥和圆柱体积的比是。 【思路点拨】依据题意可知，圆锥的体积圆柱的体积，圆锥的底面积圆锥的底面积，由此解答本题。 【规范解答】解：（厘米），底面积：，圆锥的体积圆柱的体积，圆锥和圆柱体积的比是，去掉的体积是圆柱体积的，去掉的体积是圆锥体积的2倍。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 5．（2分）（2024•乾安县）如图，把一个体积是的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过观察图形可知，每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，每个圆锥的高是圆柱高的一半，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以每个圆锥的体积是圆柱体积一半的。据此解答。 【规范解答】解： （立方分米） 答：每个圆锥的体积是12立方分米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分16分） 6．（2分）（2024•冠县）一个长方体，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果长方体的高是3厘米，圆柱的高是 　3　厘米，圆锥的高是 　　厘米。 【思路点拨】认真审题，仔细观察和分析题干中的已知条件和数量关系．长方体和圆柱的体积都等于：，当和相等，高也应该相等。圆锥的体积等于；所以圆锥的高应该等于3倍的圆柱的高，据此解答即可。 【规范解答】解：根据一个长方体，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等， 所以（厘米） （厘米） 所以圆柱的高是3厘米，圆锥的高是9厘米。 故答案为：3，9。 【考点评析】熟练掌握圆柱体积、长方体体积和圆锥体积的计算公式是解答本的关键。 7．（1分）（2024•麻城市）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高是30厘米，圆锥的高是 　90　厘米。 【思路点拨】等底等高的圆锥是圆柱体积的，因此，圆锥与圆柱的体积和底面积相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答。 【规范解答】解：（厘米） 答：圆锥的高是90厘米。 故答案为：90。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 8．（2分）（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　120　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】依据题意可知，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了120平方厘米，该圆柱的体积是942立方厘米。 故答案为：120，942。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 9．（2分）（2024•南山区）如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是 　62.8　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个圆柱的底面半径是2厘米，高是3厘米，利用圆柱的表面积底面半径底面半径底面半径高，圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的表面积是62.8平方厘米，体积是37.68立方厘米。 故答案为：62.8，37.68。 【考点评析】本题考查的是圆柱的表面积、体积公式的应用。 10．（2分）（2024•山阳县）一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是 　30　立方厘米，圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】圆锥与圆柱等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，所以圆柱的体积比圆锥的体积多，知道了它们的体积差是60立方厘米，所以圆柱的体积就是，用求出的圆柱体积乘，就是圆锥的体积。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是30立方厘米，圆柱的体积是90立方厘米。 故答案为：30；90。 【考点评析】本题考查等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，重点是知道它们之间存在着的数量关系。 11．（2分）（2023•鼓楼区）一个圆锥和圆柱底面积相等，体积的比是。如果圆锥的高是5.6厘米，圆柱的高是 　2.8　厘米，如果圆柱的高是4.16厘米，圆锥的高是 　　厘米。 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，设圆锥和圆柱的底面积为平方厘米，据此列比例解答。 【规范解答】解：（1）设圆锥和圆柱的底面积为平方厘米，圆柱的高为厘米，圆锥的高为 （2）设圆锥和圆柱的底面积为平方厘米，圆锥的高为厘米， 答：圆柱的高是2.8厘米，圆锥的高是8.32厘米。 故答案为：2.8，8.32。 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 12．（3分）（2022•德阳）一个正方体密封盒子的棱长是，它的表面积是 　486　；盒子里放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是 　　；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是 　　。 【思路点拨】根据正方体的表面积公式：，求出正方体的表面积即可；如果在这个盒子放入一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，也就是圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：正方体的表面积是486平方厘米，圆柱的侧面积是254.34平方厘米，圆锥的体积是190.755立方厘米。 故答案为：486；254.34；190.755。 【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．（2分）（2020秋•槐荫区期末）把圆柱的侧面沿高展开，得到的是一个　长方　形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个　 　形． 【思路点拨】由圆柱的侧面沿高展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高； 圆锥的侧面展开图是一个扇形，据此即可进行解答． 【规范解答】解：把圆柱的侧面展开，得到的是一个长方形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个扇形； 故答案为：长方，扇． 【考点评析】熟记常见立体图形的展开图的特征是解决此类问题的关键． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024春•巨野县期中）一个圆柱，底面周长是12.56厘米，高是12.56厘米．这个圆柱的侧面沿着高展开，得到一个长方形．　　．（判断对错） 【思路点拨】根据圆柱的特征，它的上、下是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；如果圆柱体的底面周长和高相等时，侧面展开是正方形．由此解答． 【规范解答】解：因为该圆柱的底面周长是12.56厘米，高是12.56厘米， 即底面周长和高相等，所以这个圆柱的侧面沿着高展开，得到一个正方形； 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查圆柱的特征，和它的侧面展开图的形状，以及展开图的长、宽与圆柱的底面周长和高的关系． 15．（2分）（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　　（判断对错） 【思路点拨】因为“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”并结合题意可得：圆柱的底面周长等于圆柱的高，设圆柱的底面直径是，根据“圆的周长”求出圆柱的底面周长，进而根据题意求解即可． 【规范解答】解：设圆柱的底面直径为，则： ． 答：这个圆柱的高与底面直径的比值等于． 故答案为：． 【考点评析】解答此题应明确：圆柱的侧面展开后是一个正方形，即圆柱的底面周长等于圆柱的高，进而解答即可． 16．（2分）（2024•新城区模拟）一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为5厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大。 　　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，利用圆的周长直径，圆柱的体积底面半径底面半径高，由此解答本题。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） （立方厘米） 半径：（厘米），（立方厘米）， 所以一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为8厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大，本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 17．（2分）（2024•邢台）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。 　　（判断对错） 【思路点拨】体积是指物体所占空间的大小；同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），都只是形状改变，但所占空间的大小不变，即体积不变，据此判断即可。 【规范解答】解：由分析可知：同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。原题干说法正确。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥、长方体的体积的应用。 18．（2分）（2024•铅山县）一个圆锥形沙漏的体积是8立方厘米，那么与它等底的圆柱的体积是24立方厘米。 　　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高去解答。 【规范解答】解：一个圆锥形沙漏的体积是8立方厘米，那么与它等底同高的圆柱的体积是24立方厘米，本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 四．看图列式计算（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）（2014春•象山县月考）按要求计算． （1）如图1，求表面积．（单位：厘米） （2）如图2，求体积．（单位：分米） 【思路点拨】（1）圆柱的表面积侧面积两个底面积，侧面积底面周长高，底面积半径半径． （2）圆锥的体积，据此代入数据即可解答． 【规范解答】解：（1） （平方厘米） 答：表面积是628平方厘米． （2） （立方分米） 答：圆锥的体积是314立方分米． 【考点评析】本题直接用圆柱的表面积公式和圆锥的体积公式计算． 五．联系生活，实际应用（共10小题，满分58分） 20．（5分）（2021•兴文县）在一个高是，底面半径是的圆锥形容器里装满沙子，再将这些沙子全部倒入一个与圆锥底面积相等的圆柱形容器内，刚好装了圆柱形容器的一半，这个圆柱形容器的高是多少分米？ 【思路点拨】根据题意知沙子的体积不变，根据圆锥的体积公式：可求出沙子的体积，再根据圆柱的体积公式可知：，求出圆柱形容器中沙子的高，然后乘2即可。 【规范解答】解： （分米） 答：这个圆柱形容器的高是4分米。 【考点评析】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据沙子的体积不变是解答本题的关键。 21．（5分）（2021春•蓝田县期中）一个圆柱形容器，从里面量得底面直径是12厘米，此时水面高度是底面直径的，将一底面直径比圆柱底面直径少的圆锥形钢材放入，待完全浸入水中后，水面上升到16厘米（水没有溢出），圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【思路点拨】根据题意，首先求出圆柱形容器的水面高度，圆锥刚才的底面直径；圆柱形容器内放入圆锥后，上升部分水的容积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出这个圆锥形刚才的体积，再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） （立方厘米） （厘米） 答：圆锥形刚才的高是12厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．（6分）（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形木块，如果沿直径切成4块，增加的面积等于4个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积；切成3个圆柱，增加的面积等于4个底面圆的面积， （1）利用圆的面积半径半径，结合题中数据计算即可； （2）依据（1）结合分析去计算； （3）削去部分的体积圆柱的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）（平方厘米），则半径是3厘米。 答：底面半径是3厘米。 （2）底面直径：（厘米） （厘米） 答：这个圆柱形木块的高是4厘米。 （3） （立方厘米） 答：削去部分的体积是75.36立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 23．（5分）（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 【思路点拨】根据圆柱的体积：，圆锥的体积：，分别代入数据，求出圆柱和圆锥的体积，再相减，就是丢掉部分的体积。据此解答。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：丢掉部分的体积是150.72立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 24．（6分）（2024•定远县）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。26日航天员叶光富、李聪、李广苏成功入驻空间站。 （1）长征二号运载火箭的总长约58.3米，小强收藏了这一型号的火箭模型（如图，模型的高度与实际高度的比是，这一模型的高度是多少厘米？ （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。图2是某型号运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 【思路点拨】（1）依据题意结合比例尺的知识可知，这一模型的高度实际高度比例尺，由此列式计算，注意单位统一； （2）模型的体积圆柱的体积圆锥的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合图中数据计算即可。 【规范解答】解：（1）58.3米厘米 （厘米） 答：这一模型的高度是58.3厘米。 （2）（分米） （立方分米） 答：该模型的体积是15.7立方分米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 25．（5分）（2023•曲周县）用硬纸板做一个圆柱形笔筒（无盖），高10厘米，底面直径是高的，大约需要多少平方厘米的硬纸板？ 【思路点拨】依据题意可知，硬纸板的面积圆柱底面积圆柱侧面积，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：底面直径：（厘米），底面半径：（厘米） （平方厘米） 答：大约需要138.16平方厘米的硬纸板。 【考点评析】本题考查的是圆柱的表面积公式的应用。 26．（6分）（2023•渝北区）把一个长、宽、高的长方体铁块熔铸成一个底面直径为的圆锥体铁块，这个圆锥体铁块的高是多少厘米？ 【思路点拨】依据题意可知，利用长方体的体积长宽高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） 答：圆锥体铁块的高是6厘米。 【考点评析】本题考查的是长方体、圆锥的体积公式的应用。 27．（6分）（2024•广信区）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中。当取出铅锤时，水面下降了1厘米，铅锤的高是多少厘米？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，铅锤的体积等于底面直径是20厘米，高是1厘米的圆柱的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） 答：铅锤的高是12厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 28．（6分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 【思路点拨】依据题意结合图示可得：，，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题意去解答。 【规范解答】解：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 假设圆柱的底面积为，高为，如图： ，图①中两个圆锥的体积之和，图②中圆锥的体积，所以图①中两个圆锥的体积等于图②中圆锥的体积等于圆柱体积的。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 29．（8分）（2024•新密市）（1）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化“思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个 　平　角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是 　　，面积是 　　，这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是，则原来三角形的面积是 　　。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【思路点拨】（1）依据题意结合图示可知，把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积长宽去解答； （2）依据题意结合图示可知，把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是高的一半，面积是三角形面积的一半，由此解答本题； （3）①泳池的容积等于长是25米，宽是11米，高是米的长方体的体积的一半； ②依据①结合长方体的体积公式去计算； ③分成5个泳道，需要个分道线，分道线的长度等于泳池的长度，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积长宽可知，平行四边形的面积底高。 （2）把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是高的一半，面积是三角形面积的一半，原来三角形的面积：； （3）①泳池的容积等于长是25米，宽是11米，高是米的长方体的体积的一半； ② （立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③分道线长度：米。 故答案为：平，高的一半，。 【考点评析】本题考查的是平行四边形的面积公式，三角形与长方形的面积公式，长方体的体积公式的应用 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第三单元 圆柱和圆锥 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识梳理点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识梳理点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识梳理点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。 1. 圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 3. 求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 4. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 5. 圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的1/n2。 6. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 7. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 8. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 9. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 10. 运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘三分之一。 11. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积，才存在3倍的关系。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•安远县）一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是　　 A． B． C． D．无法确定 2．（2分）（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 3．（2分）（2024•广信区）把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分重，这段圆钢原来重　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•鹿城区）把一个底面直径高的圆柱体木块加工成一个等底等高的圆锥。下面说法正确的是　　 A．去掉的体积是圆锥体积的2倍。 B．圆锥的底面积是。 C．去掉的体积是圆柱体积的。 D．圆锥和圆柱体积的比是。 5．（2分）（2024•乾安县）如图，把一个体积是的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是　　 A． B． C． D． 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分16分） 6．（2分）（2024•冠县）一个长方体，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果长方体的高是3厘米，圆柱的高是 　　厘米，圆锥的高是 　　厘米。 7．（1分）（2024•麻城市）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高是30厘米，圆锥的高是 　　厘米。 8．（2分）（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 9．（2分）（2024•南山区）如图，将一个长3厘米、宽2厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是 　　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 10．（2分）（2024•山阳县）一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是 　　立方厘米，圆柱的体积是 　　立方厘米。 11．（2分）（2023•鼓楼区）一个圆锥和圆柱底面积相等，体积的比是。如果圆锥的高是5.6厘米，圆柱的高是 　　厘米，如果圆柱的高是4.16厘米，圆锥的高是 　　厘米。 12．（3分）（2022•德阳）一个正方体密封盒子的棱长是，它的表面积是 　　；盒子里放入一个最大的圆柱，圆柱的侧面积是 　　；如果用这个盒子装下一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是 　　。 13．（2分）（2020秋•槐荫区期末）把圆柱的侧面沿高展开，得到的是一个　 　形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个　 　形． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024春•巨野县期中）一个圆柱，底面周长是12.56厘米，高是12.56厘米．这个圆柱的侧面沿着高展开，得到一个长方形．　　．（判断对错） 15．（2分）（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　 　（判断对错） 16．（2分）（2024•新城区模拟）一块长方形铁皮长25.12厘米、宽15.7厘米，配上直径为5厘米的圆形铁皮，做成的圆柱形容器容积最大。 　　（判断对错） 17．（2分）（2024•邢台）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。 　　（判断对错） 18．（2分）（2024•铅山县）一个圆锥形沙漏的体积是8立方厘米，那么与它等底的圆柱的体积是24立方厘米。 　　（判断对错） 四．看图列式计算（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）（2014春•象山县月考）按要求计算． （1）如图1，求表面积．（单位：厘米） （2）如图2，求体积．（单位：分米） 五．联系生活，实际应用（共10小题，满分58分） 20．（5分）（2021•兴文县）在一个高是，底面半径是的圆锥形容器里装满沙子，再将这些沙子全部倒入一个与圆锥底面积相等的圆柱形容器内，刚好装了圆柱形容器的一半，这个圆柱形容器的高是多少分米？ 21．（5分）（2021春•蓝田县期中）一个圆柱形容器，从里面量得底面直径是12厘米，此时水面高度是底面直径的，将一底面直径比圆柱底面直径少的圆锥形钢材放入，待完全浸入水中后，水面上升到16厘米（水没有溢出），圆锥形钢材的高是多少厘米？ 22．（6分）（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 23．（5分）（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 24．（6分）（2024•定远县）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。26日航天员叶光富、李聪、李广苏成功入驻空间站。 （1）长征二号运载火箭的总长约58.3米，小强收藏了这一型号的火箭模型（如图，模型的高度与实际高度的比是，这一模型的高度是多少厘米？ （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。图2是某型号运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 25．（5分）（2023•曲周县）用硬纸板做一个圆柱形笔筒（无盖），高10厘米，底面直径是高的，大约需要多少平方厘米的硬纸板？ 26．（6分）（2023•渝北区）把一个长、宽、高的长方体铁块熔铸成一个底面直径为的圆锥体铁块，这个圆锥体铁块的高是多少厘米？ 27．（6分）（2024•广信区）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中。当取出铅锤时，水面下降了1厘米，铅锤的高是多少厘米？ 28．（6分）（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 29．（8分）（2024•新密市）（1）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化“思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个 　　角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是 　　，面积是 　　，这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是，则原来三角形的面积是 　　。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$