7.3.4 正切函数的性质与图象-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过“两小儿辩日”情境联系太阳斜射角度，类比正弦、余弦函数提出问题，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，典例研析通过定义域、单调性等题型分类及通性通法总结发展数学思维，如例1结合定义域求解除体现运算能力，帮助学生构建知识体系，教师可利用分层作业实施精准教学。

7.3.4　正切函数的性质与图象 1 1.了解正切函数，会画y＝tan x的图象（直观想象）. 2.理解正切函数的性质，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故，一儿曰：“日初出沧沧 凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实 上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地， 中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在 直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太 阳光和地面的角度问题. 　　那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 　　类比y＝ sin x，y＝ cos x的图象与性质. 【问题】　（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图象是连续的吗？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　正切函数 　对于任意一个角x，只要 ，就有 ⁠确定的 正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数. x≠ ＋kπ，k∈Z　 唯一　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析式 y＝tan x 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间 ⁠上都是增 函数 对称性 对称中心 ⁠ 零点 kπ，k∈Z （k∈Z）　 （k∈Z）　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：“三点两线法”作正切函数的图象：①“三点”分别为（kπ， 0）， ， ，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋ 和直线x＝kπ－ ，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接 近但不相交）；②作图象时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后 描出三个点，用平滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期 内即可. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是. 2. 正切函数只有一个对称中心吗？ 提示：不是，点 （k∈Z）是其对称中心，有无数个. 3. 正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝ ＋kπ（k∈Z），对吗？ 提示：不对.正切曲线没有对称轴. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正切函数的定义域和值域都是R. （　×　） （2）正切函数在R上是递增的. （　×　） （3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. （　√　） × × √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜正切函数的定义域及值域 【例1】　（1）函数y＝ ＋lg（1－tan x）的定义域 是 ⁠； 解析： 要使函数y＝ ＋lg（1－tan x）有意义，则 即－1≤tan x＜1.在 上满足上述不等式的x的取 值范围是 .又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为 . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）函数y＝tan（ sin x）的值域为 ⁠. 解析： 因为－1≤ sin x≤1，且[－1，1]⊆ ，所以y＝tan x 在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan （ sin x）的值域为[－tan 1，tan 1]. [－tan 1，tan 1] 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变条件）本例（2）中函数变为“y＝tan2x－2tan x，｜x｜≤ ”，求 函数y＝tan2x－2tan x的值域. 解：令u＝tan x，∵｜x｜≤ ，∴由正切函数的图象知u∈[－ ， ]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－ ， ]，∵二次函数y＝u2 －2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时， ymin＝－1，当u＝－ 时，ymax＝3＋2 ，∴原函数的值域为[－1，3＋ 2 ]. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要 求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋kπ，k∈Z. 而对于构 建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解； （2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要 将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋ ，k∈Z，解得x. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 求正切函数值域的方法 （1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图 象，利用单调性求值域； （2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法 求值域. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝tan 的定义域为 　​ 　. 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－ ≠kπ＋ （k∈Z），得x≠ ＋ （k∈Z），∴函数的定义域为 . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝tan ，x∈ 的值域是 　[－ ，0]　. 解析：y＝tan ＝－tan .∵x∈ ，∴2x－ ∈ .∴0≤tan ≤ .∴－ ≤tan ≤0，故函数y＝ tan ，x∈ 的值域为[－ ，0]. [－ ，0] 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜正切函数的周期性、奇偶性 【例2】　（1）函数y＝4tan 的最小正周期为 　​ 　. 解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：①由 得f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋ 且x≠kπ＋ ，k∈Z}， 不关于原点对称， 所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数. ②f（x）＝tan ＋tan . （2）判断下列函数的奇偶性： ①f（x）＝ ； 数学·必修第三册（B 版） 目 录 ②函数定义域为 ， 关于原点对称， 又f（－x）＝tan ＋tan ＝－tan －tan ＝ －f（x）， 所以函数是奇函数. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法 （1）定义法； （2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝ ； （3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数 值重复出现. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对 称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（－x）与f （x）的关系. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　） A. y＝tan 2x B. y＝tan（ x＋ ） C. y＝ cos （ 2x＋ π） D. y＝ sin （ 2x＋ ） 解析： 对于A，y＝tan 2x的最小正周期T＝ ，故A错误；对于B，y ＝tan（ x＋ ）为非奇非偶函数，故B错误；对于C，y＝ cos （ 2x＋ π） ＝ sin 2x为奇函数，且最小正周期为T＝ ＝π，故C正确；对于D，y＝ sin （ 2x＋ ）＝ cos 2x为偶函数，故D错误. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝tan x＋ ； 解： 要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即 x∈ ∪ ，k∈Z，可知定义域关于原点对称.又 对于定义域内的任意x，都有f（－x）＝－tan x－ ＝－f（x），∴函 数f（x）为奇函数. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）f（x）＝lg｜tan x｜. 解： 由 得 ∴函数f（x）的定义域为（－ ＋kπ，kπ）∪（kπ， ＋kπ），k∈Z， 定义域关于原点对称. 又对任意x∈（－ ＋kπ，kπ）∪（kπ， ＋kπ），k∈Z，都有f（－ x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan x｜＝f（x）， ∴函数f（x）是偶函数. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜正切函数的单调性 【例3】　（1）比较大小：tan 1，tan 2，tan 3； 解： 由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），因为 ＜2＜π， ＜3＜π，所以－ ＜2－π＜0，－ ＜3－π＜0，所以－ ＜2－ π＜3－π＜1＜ .因为函数y＝tan x在 上单调递增，所以tan（2－ π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求函数y＝2tan 的单调区间. 解： y＝2tan ＝－2tan ， 由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，k∈Z，可得 － ＜x＜ ＋ ， k∈Z， 故函数y＝2tan 的单调递减区间为 ， k∈Z，无单调递增区间. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 正切型函数单调区间的求解思路 正切函数y＝tan x在开区间 （k∈Z）上是增函数，求函 数y＝Atan（ωx＋φ）的单调区间，将“ωx＋φ”视为一个整体，若ω＜ 0，一般先用诱导公式化为ω＞0，使x的系数为正值，然后求单调区间.当 A＞0（或A＜0）时，函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的单调性 与y＝tan x，x∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z的单调性相同（或相反），解不等 式即可得出对应单调区间. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 利用正切函数的单调性，比较两个正切值大小的步骤 （1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为 内的正切值； （2）确定转化到 内的各角的大小顺序； （3）利用y＝tan x在 上为增函数的性质得出大小顺序. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 下列各式中正确的是（　　） A. tan ＞tan B. tan 2＞tan 3 C. cos （ － ）＞ cos （ － ） D. sin （ － ）＜ sin （ － ） √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 对于A，tan ＝tan（ －π）＝tan（ － ），因为正切函数y ＝tan x在（ － ， ）上为增函数，且－ ＜－ ＜ ＜ ，所以tan（ － ）＜tan ，即tan ＜tan ，A错误；对于B，由于正切函数y＝tan x在 （ ， ）上为增函数，且 ＜2＜3＜ ，所以tan 2＜tan 3，B错误；对 于C， cos （ － ）＝ cos ＝ cos ， cos （ － ）＝ cos ＝ cos ，因为余弦函数y＝ cos x在（0，π）上为减函数，且0＜ ＜ ＜π，所 以 cos ＞ cos ，即 cos （ － ）＞ cos （ － ），C正确；对于D，由于正弦函数y＝ sin x在（ － ， ）上为增函数，且－ ＜－ ＜－ ＜ ，所以 sin （ － ）＞ sin （ － ），D错误. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数f（x）＝tan（ x＋ ）的单调递增区间为 　（ 2k－ ，2k＋ ） ⁠. 解析：易知正切函数y＝tan x的单调递增区间为（ － ＋kπ， ＋kπ） （k∈Z），所以令－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ（k∈Z），解得2k－ ＜x ＜2k＋ （k∈Z），即该函数的单调递增区间为（ 2k－ ，2k＋ ） （k∈Z）. （ 2k－ ，2k＋ ） （k∈Z） 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型四｜正切函数的图象及应用 【例4】　画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区间、奇 偶性、周期性. 解：由y＝｜tan x｜得， y＝ 其图象如图所示. 由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数， 单调递增区间为 （k∈Z）， 单调递减区间为 （k∈Z），周期为π. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 作函数y＝｜f（x）｜的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： （1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分； （2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. 2. 若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延 拓到定义域上即可. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　在区间（ － ， ）内，函数y＝tan x与函数y＝ sin x 的图象交点的个 数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 法一 在同一直角坐标系中，作出y＝ sin x与y＝tan x在（ － ， ）内的图象，如图 所示.当x∈（ 0， ）时，有 sin x＜x＜tan x（利 用单位圆中的正弦线、正切线就可证明），所以 由图象可知它们有3个交点. 法二 由 得 sin x＝tan x＝ ，即 sin x（ 1－ ）＝0，解得 sin x＝0或 cos x＝1.在x∈（ － ， ）内，x＝－π，0，π满足 sin x＝ 0；x＝0满足 cos x＝1，故交点个数为3. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知函数f（x）＝2tan（ ωx－ ）的最小正周期为π，则ω＝（　　） A. －1或1 B. －2或2 C. 1 D. 2 解析： 　根据题意， ＝π，可得ω＝1或ω＝－1. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数f（x）＝2tan（－x）是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数 解析： 　因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x），且f（x） 的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x）是奇函数. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知函数f（x）＝tan（ x＋ ），则（　　） A. f（x）的最小正周期为2π B. f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z} C. f（x）是增函数 D. f（ ）＜f（ ） √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，由f（x）＝tan（ x＋ ），得函数f（x）的最小正周 期为T＝ ＝π，故A错误；对于B，由x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得x≠ ＋kπ，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}，故B正 确；对于C，－ ＋kπ＜x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z，解得－ ＋kπ＜x＜ ＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）在（ － ＋kπ， ＋kπ），k∈Z上单调 递增，故C错误；对于D，由C知当k＝1时，f（x）在（ ， ）上单调 递增，所以f（ ）＜f（ ），故D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 函数y＝tan 的单调递增区间是 　 ，对称中心为 ⁠. 解析：由kπ－ ＜ ＋ ＜kπ＋ ，k∈Z，得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ， k∈Z. 令 ＋ ＝ （k∈Z），则x＝kπ－ （k∈Z），所以对称中心 坐标为（kπ－ ，0）（k∈Z）. （k∈Z） （kπ－ ，0）（k∈Z） 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈ 的值域. 解：∵－ ≤x≤ ，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1，1]. ∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5. ∴当t＝－1，即x＝－ 时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝ 时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　　） A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 解析： 　f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为偶函 数，T＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝ 的定义域为（　　） A. （ kπ，kπ＋ ］，k∈Z B. （ kπ，kπ＋ ］，k∈Z C. （ kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z D. （ kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 由题意1－tan（ x－ ）≥0，得tan（ x－ ）≤1，所以kπ－ ＜x－ ≤kπ＋ ，k∈Z，得kπ－ ＜x≤kπ＋ ，k∈Z，故所求函数的 定义域为（ kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知函数f（x）＝tan（ 2x－ ），则下列命题中正确的有 （　　） A. f（x）的最小正周期为 B. f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋ }（k∈Z） C. f（x）图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z D. f（x）的单调递增区间为（ － ， ＋ ），k∈Z √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，f（x）的最小正周期为T＝ ＝ ，故A正确； 对于B，f（x）的定义域满足2x－ ≠ ＋kπ，即x≠ ＋ （k∈Z）， 所以f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋ }（k∈Z），故B错误；对于C，f （x）图象的对称中心横坐标应满足2x－ ＝ ，即x＝ ＋ ，k∈Z， 所以f（x）图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z，故C正确； 对于D，f（x）的单调递增区间应满足－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，即 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为（ － ， ＋ ），k∈Z，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 函数y＝tan 在一个周期内的图象是如图中的（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由函数周期T＝ ＝2π，排除选项B、D；将x＝ 代入函数式 中，得tan ＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线 段长为 ，则f 的值是（　　） A. 0 B. C. 1 D. 解析： 　f（x）＝tan ωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长度 为函数的周期，所以该函数的周期是 ，所以 ＝ （ω＞0），解得ω＝4. 所以f（x）＝tan 4x，当x＝ 时，f ＝tan ＝tan ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕下列说法错误的是（　　） A. 函数y＝tan x的所有对称中心是（kπ，0）（k∈Z） B. 直线y＝a与正切函数y＝tan x图象相邻两交点之间的距离为π C. y＝2tan x，x∈ 的值域为[0，＋∞） D. y＝tan x在其定义域上是增函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　A错，对称中心为 （k∈Z）；B对，同y＝tan x的 周期为π；C对，x∈ 时，tan x≥0；D错，它的单调区间只在 （kπ－ ，kπ＋ ）（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数，由 此可知D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知函数f（x）＝tan（ ωx＋ ）的最小正周期是2，则ω ＝ 　　± 　；此时函数f（x）的定义域为 　{x｜x≠2k＋ 且x≠－2k ⁠. 解析：因为f（x）的最小正周期为2，故可得｜ω｜＝ ，所以ω＝± ， 故f（x）＝tan（ ± x＋ ），令± x＋ ≠kπ＋ ，k∈Z，解得x≠2k ＋ ，k∈Z，且x≠－2k－ ，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x｜x≠2k ＋ 且x≠－2k－ ，k∈Z}. ± {x｜x≠2k＋ 且x≠－2k － ，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 若函数f（x）＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数 k的值为 ⁠. 解析：由T＝ ，又1＜T＜2，∴k的值可取2或3. 2或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 将函数f（x）＝tan（ 2x＋ ）的图象向右平移 个单位得到函数y＝g （x）的图象，则y＝g（x）图象的对称中心为 ⁠ ⁠. 解析：由题意，函数g（x）＝f（ x－ ）＝tan（ 2x－ ＋ ）＝tan（ 2x － ）.令2x－ ＝ （k∈Z），解得x＝ ＋ （k∈Z），则y＝g （x）图象的对称中心为（ ＋ ，0）（k∈Z）. （ ＋ ，0） （k∈Z） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知函数f（x）＝3tan . （1）求f（x）的定义域与单调区间； 解： 由函数f（x）＝3tan ， 可得2x－ ≠kπ＋ 求得x≠ ＋ ，k∈Z， 故函数的定义域为 . 令kπ－ ＜2x－ ＜kπ＋ ，k∈Z， 求得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z. 故函数的单调增区间为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）比较f 与f 的大小. 解： f ＝3tan ＝－3tan ＜0， f ＝3tan ＝3tan ＞0， 所以f ＜f . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 已知函数y＝tan ωx在 内是减函数，则（　　） A. 0＜ω≤1 B. －1≤ω＜0 C. ω≥1 D. ω≤－1 解析： 　∵y＝tan ωx在 内是减函数，∴ω＜0且T＝ ≥π.∴｜ω｜≤1，即－1≤ω＜0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 〔多选〕下列关于函数y＝tan 的说法正确的是（　　） A. 在区间 上单调递增 B. 最小正周期是π C. 图象关于点 成中心对称 D. 图象关于直线x＝ 成轴对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　令kπ－ ＜x＋ ＜kπ＋ ，解得kπ－ ＜x＜kπ＋ ， k∈Z，显然 不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小 正周期为π，故B正确；令x＋ ＝ ，解得x＝ － ，k∈Z，当k＝1 时，x＝ ，故C正确；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan 的图象也没有对称轴，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 设函数f（x）＝tan（ωx＋φ） ，已知函数y＝f （x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为 ，且图象关于点M 对称. （1）求f（x）的解析式； 解：由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝ ，即T＝ ＝ . 因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）. 因为函数y＝f（x）的图象关于点M 对称， 所以2× ＋φ＝ ，k∈Z，即φ＝ ＋ ，k∈Z. 因为0＜φ＜ ，所以φ＝ ，故f（x）＝tan . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求不等式－1≤f（x）≤ 的解集. 解： 由（1）知，f（x）＝tan . 由－1≤tan ≤ ，得－ ＋kπ≤2x＋ ≤ ＋kπ，k∈Z， 即－ ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z. 所以不等式－1≤f（x）≤ 的解集为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 已知函数f（x）＝tan（x＋φ） 的图象的一个对称中心为 ，则φ的值为 　　 或－ 　　，最小正周期为 ⁠. 解析：由于 是函数f（x）图象的对称中心，所以 ＋φ＝ π， k∈Z，所以φ＝ π－ ，k∈Z，由于｜φ｜＜ ，故取k＝0，1，φ＝－ ， ，T＝π. 或－ π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 已知f（x）＝ . （1）判断f（x）的奇偶性； 解： 由函数f（x）＝ 的解析式可得函数的定义域为 关于原点对称， 又因为f（x）＝ ＝ ， 所以f（－x）＝ ＝ ＝－f（x）， 所以函数f（x）＝ 为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）当x∈[－π，π]，且x≠± 时，画出f（x）的简图，并指出函数的 单调区间. 解： 由（1）可得 f（x）＝ 其图象如图所示： 由图象可知f（x）的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $