高中数学知识重组、网络建构系列之数列与不等式：专题一　运用不等式解决数列项的最值问题

前言 数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型．对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧．[来源:Z*xx*k．Com] 近年数列与不等式交汇题考查点： 1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇． 2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大． 3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想． · 主干知识互联，提纲挈领 求数列中最大（小）项的方法： （1）函数单调性法：令，通过研究的单调性来研究最大（小）项； （2）不等式法：先假设有最大（小）项．不妨设为，则满足解不等式组便可得的范围，从而确定出的值；求最小项则只要解不等式组即可． · 重点难点突破，抓住核心 【例1】已知数列的通项公式为，问：该数列有无最大项？若有，求出第几项最大；若没有，请说明理由． 【解析】设， 由 ，解得；解 得，当 时，单调递增；当时， 单调递减． ， 即存在最大项，且第4项最大． · 方法规律提升，融会贯通 （1）数列一般包含着多个基本量，如首项、公差(公比)、项数、前n项和等．在知道一些量求其他未知量时，通常用方程的思想考虑． （2）数列的通项公式是特殊的函数，对于数列的项最值问题往往需要构造函数，利用函数的单调性来解决最值问题，这也是函数思想在数列中的具体应用． 【变式训练】 已知等比数列的公比为，前项和为，且成等差数列． （I）求公比； （II）若问数列是否存在最大项?若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（I）；（II） 最大项为． $$