高中数学知识重组、网络建构系列之数列与不等式：专题三　数列中的其它最值问题

· 主干知识互联，提纲挈领 求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值． · 重点难点突破，抓住核心 考向1 某一项的最值问题 【例1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为______． 【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关 系转化为关于首项与公差的不等式，然后利 用此不等关系确定公差的范围，由此可确定 的最大值． 【解析】因为等差数列的前项和为， 且 即 ，则， 即，，故的最大 值为4． · 方法规律提升，融会贯通 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用． 考向2 其它最值问题 【例2】【2016高考新课标I卷】设等比数列满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，由 得，解得 ， 故当或时，取得最大值． · 方法规律提升，融会贯通 解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点． 【变式训练】 1．设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则的最小值为________． 【答案】7 2．等比数列{an}的首项为a1＝2002，公比q＝－．（I）设f(n)表示该数列的前项的积，求f(n)的表达式；（II）当n取何值时，f(n)有最大值． 【分析】第（I）小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an}的通项，再求得f(n)的表达式；第（II） 小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值． 【解析】（I）an＝2002·(－, )．))n(1，f(n)＝2002n·(－ （II）由（I），得，则＝ 当n≤10时，＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，＝ 当n≥11时，＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，＝ ∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者． ∵)3＞1，∴当n＝12时，f(n)有最大值为)30＝()3