高中数学知识重组、网络建构系列之数列与不等式：专题四　求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

· 主干知识互联，提纲挈领 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得． · 重点难点突破，抓住核心 【例1】已知正项数列的首项，前项和满足． （Ⅰ）求证：为等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式4恒成立，求实数的取值范围． 【分析】本题考查等差数列的判断，裂项相消法 求数列的前项和，利用不等式恒成立求参数的 范围． （Ⅰ）由代入 ，变形整理得出数列 是等差数列，从而可求出；（Ⅱ）先用裂项相 消法求数列的前项和为，再求 的取值范围，最后根据不等式恒 成立，求出实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）， ，即， 是首项为1，公差为1的等差数列，得 ， ， 当时，也适合，所以． （II） ， 要使不等式 恒成立，只需恒成立，解得或 ，故实数的取值范围是 ． · 方法规律提升，融会贯通 数列中与的关系的运用一定要注意题目的条件，有时变形为与的关系，也有时变形为与的关系．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 【变式训练】 【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为__________． 【答案】1008 【解析】， ， 由上述可知对任意正整数，都有，． $$