高中数学知识重组、网络建构系列之数列与不等式：专题五　数列参与的不等式的证明问题

· 主干知识互联，提纲挈领 与数列有关的不等式的证明常用方法： （1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法； （2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析； （3）数学归纳法； （4）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的 （5）函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式． · 重点难点突破，抓住核心 5．1 比较法 【例2】已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设p、q都是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜(S2p＋S2q)． 思路分析：根据条件首先利用等差数列的通项公 式及前项公式和建立方程组即可解决第（I）小题；第（II）小题利用差值比较法就可顺利解决． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，依题 意得，，∴数列{an}，解得 的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1． （Ⅱ）证明：∵an＝2n＋1， ∴Sn＝＝n2＋2n．2Sp+q－(S2p＋S2q)＝ 2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q) ＝－2(p－q)2，∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0， ∴Sp+q＜(S2p＋S2q)． · 方法规律提升，融会贯通 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化． 【变式训练】 1.设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列． （I） 证明：； （II） 求数列的通项公式； （III） 证明：对一切正整数，有． 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且 Sn＝2－an（n∈N*）． （I）求证：数列是等比数列； （II）设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝的大小．，试比较An与＋…＋＋＋ 【答案】（I）详见解析；（II）An<． 【解析】（I）证明：由a1＝S1＝2－3a1，得a1＝，所以×＝，当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，得 是首项和公比均为的等比数列． 【点评】作差比较法一般步骤：作差——变形——定号——下结论；作商比较法一般步骤：作商—— 变形—