四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期第七周周考数学试题

宜宾市一中2024级高二下期第七周考 数学试题 命题人：冯平 审题人：周峰 满分：150分 考试时间：120分钟 一。单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数f(x)=lnx,导函数为f'(x),那么f'(2)等于() A-号 B-克 c D.1 2.4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，则不同的报名方式有() A.81 B.64 C.24 D.6 3.A+C降=() A.24 B.26 C.30 D.32 4.从5名教师中挑选2人，分别担任两个班的班主任，有()种不同的安排方案 A.10 B.15 C.20 D.25 5.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数的个数为() A60 B.96 C.300 D.360 6.函数y=x2-lnx的单调递减区间为() A.(-1,11 B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+o) 7.函数y=lnx-x2的图象大致为() 第1页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8.已知(x+)°展开式中x项的系数为112，其中a∈R,则此二项式展开式中各项系数之和是() A.39 B.1或39 C.28 D.1或2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9已知函数f)=x-4x+4,则(） 6f(x)在(0，+∞)上单调递增 B.x=一2是f(x)的极大值点 C.f(x)有三个零点 D.f(x)在[0,3]上的最大值是4 10.将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有() A.男生不在头尾的不同排法有2400种 B.男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减， 则不同的排法有20种 D,2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 11.已知函数fx)=ax2-4ax-nx,则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件有() A.a∈(-∞，-)B.aE(-+o)C.ae(+∞) D.ae(-2a》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线f(x)=x3+lnx在点(1,1)处的切线方程为 13.(2x一)8的展开式中的常数项为 14.若直线y=2x为曲线y=eax+b的一条切线，则ab的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题15分) 在等比数列{an}中，a1=2,a4=16. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若bn=n·an,求数列bn的前n项和T元， 第2页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同第 16.(本小题15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M, N分别为A1B1,AC的中点. (1)求证：MN//平面BCC1B1i (2)再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值. 条件@：AB⊥MN; 条件②：BM=MN, B1 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17.(本小题15分) 已知椭圆c三+茶=1(a>b>0)过点4A(20),离心率为号 2 (1)求椭圆C的方程； (2)已知定点E(1,0),若直线y=kx-2(化≠0)与椭圆C交于M、N两点，则是否存在实数k,使以线段MN 为直径的圆过定点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由， 第3页，共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同常 18.(本小题15分) 为了庆祝建党一百周年，某班准备举行一场小型晚会，晚会有三个歌唱节目和两个舞蹈节目，要求排出一 个节目单（用数字作答） (1)两个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ (2)前3个节目中要有舞蹈节目，有多少种排法？ (3)歌唱节目A不排在第一个，舞蹈节目B不排在最后一个，有多少种排法？ 19.(本小题17分) 英国数学家泰霸发现了如下公式：e=1+x+号+号+…+需+其中l=1×2X3×4X…X%,e为白 然对数的底数，e=2.71828以上公式称为泰勒公式设=二，96)=“，根据以上信息，并 结合高中所学的数学知识，解决如下问题、 (1)证明：e*≥1+x (2)设xE(0,+∞)，证明：型<g(x)； (3)设F()=g6)-a(1+),若x=0是F(的极小值点，求实数a的取值范围。 第4页，共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 第七周数学答案和解析 1.C2.A3.B4.C5.C6.B7.A8.B 9.BCD 10.AC 11.AC解：f(x)的定义域为(0，+∞)， f()=2ax-4a-是=22-，：f0)在(1,3)上不单调，f'(侧在(1,3)上有正有负， 即g(x)=2ax2-4ax-1在(1,3)上有正有负，当a=0时，g(x)=-1,不成立； 当a≠0时，g(x)=2ax2-4ax一1为二次函数，其在(1,3)上单调， 故要使其在(1,3)上有正有负，只需g(1)·g(3)<0,即(-2a-1)(6a.-1)<0, 解得，a<-或a>各故f()在(1,3)上不单调的充要条件是a<-或a>吾 结合选项可知，A、C符合条件，故选：AC 12.4x-y-3=01328142 解：设f()=eax+b,则f()=ae+b,设切点为(xo,eo+b),则f'(xo)=aeao+b, 则切线方程为y-eaxotb=aexo+b(x-x0),整理可得y=aeaxo+bx十(1-axo)eax+b, 所以neo+b=0解得0=aea+=oe=2,所以a=品，所以ab=, 2 Laeaxo+b =2 设g()=。,则g(凶=22，当xE(-0,1)时，9>0,9)单调递增， 当x∈(1，+∞)时，9（闵<0，g()单调递减，所以当x=1时，9(）取得最大值g(1)=忌， 所以ab的最大值为径. 15.解：(1)等比数列{an}中，a1=2,a4=16, 设公比为q,则a4=a1q3,解得q=2,则a=2n; (2)数列bm=n·a=n·2m,则Tn=1·21+2.22+.+n·2”,① 2Tn=1·22+2.23+.+n,2n+1, M ②①-②得：-Tn=(2+22+…+2m)-n.2+1, 解得Tm=(n-1)2m+1+2、 故数列{bn}的前n项和为Tm=(n-1)2n+1+2. 16.解：(1)取BC中点D,连接B1D,DN, 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1//AB,A1B1=AB. 因为M,N,D分别为A1B1,AC,BC的中点， ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 所以B1MI/AB,B1M=AB,DN/AB,DN=3AB, 即B1M/DN且B1M=DN,所以四边形B1MND为平行四边形，因此B1D/MN. 又MN￠平面BCC1B1,B1DC平面BCC1B1,所以MN//平面BCC1B1· (2)选条件①，因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1, 又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1, 所以CB⊥平面ABB1A1,而ABC平面ABB1A1,所以CB⊥AB. 由(1)得B1D/MN,又因为AB⊥MN,所以AB⊥B1D, 而B1DOCB=D,所以AB⊥平面BCC1B1,又BB1C平面BCC1B1,故AB⊥BB1, 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BA,BC,BB1两两垂直， 故分别以BC,BA,BB1为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 因为AB=BC=BB1=2,则B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2) A(0,2,0), 人2 A 所以BN=(1,1,0),BM=(0,1,2),AE=(0,-2,0), 设平面BMN的法向量花=（名，y,2), C 由N=0,丽=0，梅代+20。令x=2,得7= (2,-2,1). 设直线AB与平面BMN所成角为6， 则m0=1eos优1=疆=贵=导 所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为号： 选条件② 因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1, 又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1, 且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1, B A 所以CB⊥平面ABB1A1, 而ABC平面ABB1A1,所以CB⊥AB. 取AB中点H,连接HM,HN. 因为M,N,H分别为A1B1,AC,AB的中点， B 所以BB/MH,CB//NH,而CB⊥BB1,故NH⊥MH. ▣口 O夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 又因为AB=BC=2,所以NH=BH=1. 在△MHB,△MHN中，BM=NM,BH=NH,公共边MH, 那么△MHB兰△MHN, 因此∠MHB=∠MHN=90°，即MH⊥AB,故B1B⊥AB. 在三棱柱ABC一A1B1C1中，BA,BC,BB1两两垂直， 故分别以BC,BA,BB1为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 因为AB=BC=BB1=2,则B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0), 所以BN=(1,1,0),BM=(0,1,2),AE=(0,-2,0), 设平面BMN的法向量元=(x,y,z), 由丽元=0，丽元=0，得化十20。食x=2,得元=(2，-2) 设直线AB与平面BMN所成角为6， 则sn0=1eos优1=隔=费=号 所以直线AB与平面BMF所成角的正弦值为号 (a2=b2+c2 17.(1)由题意得 3 2 ,解得a2-4,b2-1,c2=3,所以椭圆C的方程为号+y2=1. a= (2)假设存在实数k,使以线段MN为直径的圆过定点E, 设M(x1,y1),N(x2y2) (y=kx-2, 联立得x2 整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 +y2=1, 所以4=(-16)2-4×12×(1+4k2), 16k 12 X1+x2=1+4k2,x1·x2=1+42 若以MN为直径的圆过定点E,则EM L EN, 所以EM.EN=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+ (kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-(2k+1)(x1+x2)+5=0, 所以(1+k的×-(2k+1)×6+5=0, 解得k=品满足A>0,故存在实数k,使以线段MN为直径的圆过定点E,此时k=品 18.解：(1)444经=48(2)108(3)78. 19.(1)证明：设h(x)=ex-x-1,则h′(x)=e*-1· 当x>0时，h'(x)>0：当x<0时，h'(x)<0.所以h(x)在(-oo,0)上单调递减， 在(0，+∞)上单调递增.因此，h(x)≥h(0)=0,即e≥1+x. ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ (②)证明：由泰勒公式知e=1十x+号+号+答+号+t号 +…,① 于是e=1-x+号-司+会-篇+…+(-1) x4 x5 "nt+…,② 由0@得f闭=“=x++荒+++ x2n-1 9()=0r+ex x2 x4 x2n-2 2—=1+27+年+…+2n-2+… 所=1+荒+兰+++…1+会+会++ (2n-27+… =9().即f四<gx). )解：r=9)-a(1+)=4-a(1+9,则 F=2-ax凶=c(,G'=e+e ex -c-x 一a 由基本不等式知，4≥×2Vc,e-1,当且仅当x=0时等号成立 所以当a≤1时，G(x)≥1-a≥0，所以F′(x)在R上单调递增. 又因为F'(x)是奇函数，且F′(0)=0， 所以当x>0时，F′(x)>0;当x<0时，F′(x)<0 所以F(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o∞)上单调递增. 因此，x=0是F(x)的极小值点. 下面证明：当a>1时，x=0不是F(x)的极小值点. 当a>1时，GQmo）=t-a=6a+月)-a=(后-四<0， 又因为G(x)是R上的偶函数，且G(x)在(O,+∞)上单调递增（这是因为当x>0时， g'=H(=>0) 所以当x∈(-lna,lna)时，G(x)<0. 因此，F/(x)在(-na,lna)上单调递减。 又因为F1(x)是奇函数，且F′(0)=0， 所以当-lna<x<0时，F/x)>0；当0<x<lna时，F(x)<0. 所以F(x)在(-lna,0)上单调递增，在(0，lna)上单调递减， 因此，x=0是F(x)的极大值点，不是F(x)的极小值点. 综上，实数a的取值范围是(-∞，1]· ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效