精品解析：四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期第一学月学情检测数学试题

2024级高二下期第一学月学情检测 数学 满分150分考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（ ） A. 30种 B. 75种 C. 10种 D. 20种 【答案】D 【解析】 【分析】由简单计数原理求不同选法数. 【详解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种. 故选：D 2. 函数在处的导数为（ ） A. B. 4-sin2 C. D. 4-cos2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 代入得：. 3. 如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与单调性关系确定． 【详解】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，． 故选：C． 【点睛】本题考查导函数与单调性的关系，一般由确定增区间，由确定减区间． 4. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域. 【详解】由题意得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故， 因为，所以． 故所求的值域为． 故选：A 5. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 7. 若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 8. 奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数不等式等条件构造函数，利用题设条件判断该函数的单调性，再结合，运用数形结合思想即可求解. 【详解】令，当时，，则在上单调递增， 又因分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则由可知函数为奇函数，故在上单调递增， 又因，则， 则由和的单调性可得或. 故不等式的解集是，A正确. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先构造函数利用导数求出最值，即可判断A，B正确，利用特殊值即可判断C，D错误. 【详解】对选项A，设，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即，故A正确. 对选项B，设，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，故B正确. 对选项C，当时，，此时，故C错误. 对选项D，当时，，故D错误. 故选：AB 10. 若，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，，，利用导数判断函数在上的单调性，即可判断AB； 对于CD，令函数，，利用导数判断函数在上的单调性，即可判断CD. 【详解】解：令，， ，因为函数在递增， 故函数在递增，而（1）， 时，，则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上在递减，在上递增， 所以无法比较的大小，即无法比较与的大小， 故A、B错误； 令函数，， 则， 故在递减， 若， 则，所以， 即， 故C正确，D错误. 故选：ABD. 11. 设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题. 【详解】若恒成立，则恒成立， 构建，则， ∵，故，则有： 当，即时，则在时恒成立， 故在上单调递增，则， 即符合题意，故满足条件的正整数为1； 当，即时，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 构建，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， ∵， 故满足的整数； 综上所述：符合条件的整数为1或2，C、D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有___________种． 【答案】20 【解析】 【详解】第一步，从5个不同的红球中取一个，有5种取法； 第二步，从4个不同的白球中取一个，有4种取法， 根据分步乘法计数原理，不同的取法总数为：种. 13. 已知函数 ， 则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得函数为奇函数，利用导数可得的单调性进而即得. 【详解】因为，定义域为R， 故为奇函数，又， 所以为增函数， 由，可得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 则，令 ，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时容积最大， 把代入，得 由，得， 即圆心角为时容积最大. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程﹔ （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为，极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由导函数，求出切线斜率，由点斜式得切线方程，整理即得； （2）由导函数可得得的解，列表确定的正负，得的单调区间与极值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，又 所以切线方程为. 即 （2） 可得或. 令，得或；令，得. 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 + 0 0 + 单调递增↗ 3 单调递减↘ 单调递增↗ 所以，的单调增区间为，单调减区间为 当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为． 16. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． 【小问2详解】 因为，所以， 则. 17. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，且． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）求出平面与平面的法向量，再代入公式即可. 【小问1详解】 底面，，又底面为长方形，， 又平面且，平面， 而平面，. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，， 则，即，令，则， 故平面的法向量为，又平面的法向量为， . 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点P的轨迹C的方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【小问1详解】 设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. 【小问2详解】 直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下期第一学月学情检测 数学 满分150分考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（ ） A. 30种 B. 75种 C. 10种 D. 20种 2. 函数在处的导数为（ ） A. B. 4-sin2 C. D. 4-cos2 3. 如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A. B. C. 或 D. 8. 奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有___________种． 13. 已知函数 ， 则不等式的解集是___________. 14. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程﹔ （2）求的单调区间和极值. 16. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，且． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点P的轨迹C的方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $