高中数学知识重组、网络建构系列之数列与不等式：专题六　求解探索性问题

· 主干知识互联，提纲挈领 数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在．若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果． · 重点难点突破，抓住核心 【例1】已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且． （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由． 【解析】（I）设数列的公比为，则 ，． 由题意得 即 解得 故数列的通项公式为． （II）由（I）有 ． 若存在，使得，则， 即 当为偶数时，， 上式不成立； 当为奇数时，，即 ，则． 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的 的集合为． · 方法规律提升，融会贯通 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点． 与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点． 【变式训练】 1．已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且． （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由． 【解析】（I）设数列的公比为，则，． 由题意得 即 解得故数列的通项公式为． （II）由（I）有 ． 若存在，使得，则，即 当为偶数时，， 上式不成立； 当为奇数时，，即，则． 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为． 2．已知等比数列满足：，． （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【名师点睛】存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若