5 三角形-【新学期笔记对照学】2025-2026学年四年级下册数学（人教版）

三角形的特性。 掌握三角形的特性。 能准确地画出三角形的底所对应的高。 5三角形 掌握三角形的三边关系， 三角形的三边关系。 会判断3条线段能否围成三角形。 掌握三角形的分类方法。 三角形的分类。 —理解等边三角形和等腰三角形之间的关系。 三角形的内角和人 掌握三角形的内角和是180°。 能利用三角形的内角和知识解决问题。 掌握多边形内角和的计算方法 多边形的内角和。 能依据三角形的内角和推导多边形的内角和。 ￥出转 ○新学期对圆学]数学四年级下册RJ 你发现了什么？ 对比发现：三角形具有德定性，四边 形不具有德定性，容易变形。 第1课时三角形的特性 我们再来做一个实验。 对应教材P58~P60 拉不动。 一拉就 课前·预习例题到 变形了。 说一说三角形有几条边，几个角，几个顶点。 三角形具有稳定性。 三角形的特点● 顶，点产相帘两条边的文点 相标两条边的夹角 看看下图中哪儿有三角形，想想它们有什么作用。 都起到了固定的作用。 平能使物体更牢固。 3个顶点： 3条地： 边 边 3个角， 顶，点 边 顶点，组成三角形的三条线段 封用围形 由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连)叫作三角形。 3习小明上学走哪条路最近？ 邱局 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫 小明家 学校 作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。 A 高一般用走线 商店 一个三角形可以画 小明上学走中问这条路最近 高 几条高？ 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。 B 想一想：三角形的三边 底 ①注意：(1)三角形的底和高是相对应的。它 三角形任意两边的和大于第三边。 之间有怎样的关系呢？ 们是一组互相垂直的线段。(2)每组底和高 不要忘记标直角符号 都是至相依存的 为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点，上面的三 4什么样的3条线段能围成三角形呢？我们来做个实验。 剪出下面4组纸条（单位：cm)。 角形可以表示成三角形ABC。 ②用3根小棒围三角形，用4根小棒围四边形，看看各能围出几个。（小 (1)6、7、8: (2)4、5、9; (1)(4)能围成三角形 (2)(3)不能圆成三角形 棒的长度都一样。) (3)3、6、10: (4)8、11、11。 我已经围出3个不同 用每组纸条围三角形。 我怎么围不 找围来围去，围出 我围成了一个三角形。 形状的四边形了！ 成呢？ 的都是一种三角形。 判断3条线段能否围成三角形的方法 只要3条线段中较短的两条线段长度 圆出的三角形的形 围出的司边形的形状、 之和大于第三条线段的长度，就一定 状、大小每一样 大小不同 能围成三角形，反之，不能围成 你发现了什么？ 42|中小学A1教辅引领者 三角形任意两边的和大于第三边。任意两边的差小于第三边 2课堂·任务学习的 3课后·对照练习 任务1)理知识) 1.由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形。 1.下面哪些物体用到了三角形的稳定性？画“V√”。①概馨2练一练 2.从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫 作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。 3.三角形的特征：有3条边、3个角、3个顶点。 4.三角形具有稳定性。 5.两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。 6.三角形三边的关系：三角形任意两边的和大于第三边。 2.画出三角形指定底边上的高。①振据例“练一练 任务2学方法 底 ⊙通过数基本三角形的个数解决数三角形的问题 底 数一数，图中一共有多少个三角形？ 3.果果要从家到图书馆看书，有几种走法？哪种走法最近？为什么？ ①根据“例3”练一练 学校① ①②/③\④⑤ 习图书馆 ② 思路分析分别数出由1、2、3、4、5个基本三角形组成的三角形的个数， ③ 它们的和就是这个图中三角形的个数。先将三角形进行编号， 果果家 如图所示。 邮局 只含有1个基本三角形的三角形：①、②、③、④、⑤，共5个； 由2个基本三角形组成的三角形：①+②、②+③、③+④、 4.依依手里有6根小棒，长度分别是5cm、9cm、9cm、13cm、13cm ④+⑤，共4个； 和19cm。她要从这些小棒中选3根，摆成一个三角形，一共有多少 由3个基本三角形组成的三角形：①+②+③、②+③+④ 种摆法？写出可以摆成的三角形的所有可能。①根羯“例4”，一禁 ③+④+⑤，共3个； 由4个基本三角形组成的三角形：①+②+③+④、②+③+ ④+⑤，共2个； 由5个基本三角形组成的三角形①+②+③+④+⑤，共1个。 所以图中一共有5+4+3+2+1=15（个）三角形。 正确解答5+4+3+2+1=15（个) 答：图中一共有15个三角形。 (对温单参考答案：P5) ©总结：解决数三角形个数的问题，可以运用列举的策略，将所有情况分美列举，做到不重复、 不遭漏。 中小学A教辅引领者丨43 Q新学册对题学数学四年级下册) 观察下面每个三角形的边，它们有什么共同特点？再量一量。 第2课时三角形的分类 对应教材P61P62 1课前预习例题 两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 5 三角形是多种多样的。按照三角形中角的不同把下面的三角形分一分。 在等腰三角形里，相等的两条边叫作腰， 角 另一条边叫作底，两腰的夹角叫作顶角，底 和腰的两个夹角叫作底角。 底角底角】 底 等腰三角形 两腰相等，两底角相等 有的三角形3个角 有的三角形有一个 三条边都相等的三角形叫作等边三角形， 都是锐角。 钝角，两个… 又叫作正三角形。 边 锐角 等边三角形也是等腰三角形。 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形： 边 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形： 不等边三角形 等边三角形 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 按边分 等腰三角形∫等腰三角形（两边相等 三边相等，三角相等，都是60。 ①点拨：按角分类时，根据最大 ©发现：一个三角形中，最少有2个镜角， 1等边三角形（三边相等 角利断三角形的类型 最多有1个直角或纯角。 ①注意：等边三角形一定是等 腰三角形，等腰三角形不 一定是等边三角形 分别量一量等腰三角形和等边三角形的各个角。你发现了什么？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形有2个角相等，等垃三角形3个角都相等 3个镜角 1个直角，2个锐角 1个纯角，2个镜角 把所有三角形作为一个整体， 锐角三角形 上面每种三角形作为这个整体的一 三类三角形彼此独 等硬三角形 等腰三角形 等边三角 直角 钝角 立，互不包客 部分，可以用右图来表示它们之间 三角形 三角形 找一找：哪里有这两 种特殊的三角形？ 的关系。 三角形 441中小学A1教辅引领者 2课堂·任务学习 3课后·对照练习 任务 1理知识 三角形的分类： 1.把下面三角形的序号填在相应的框里。①根摇“5爹一练 按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角 的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形：有 ⑦ 一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 按边分类，分为不等边三角形和等腰三角形。有两条边相等的三角形叫作 按角分 按边分 等腰三角形；三条边都相等的三角形叫作等边三角形。等边三角形是特殊 锐角三角形直角三角形钝角三角形 等腰三角形不等边三角形 的等腰三角形。 任务2学方法 2.下面图形各露出了一部分，你能根据露出的部分猜猜它们各是什么三 ©运用假设法解决等腰三角形的边长问题 角形吗？（按角分）①根据“啊”慈一 萌萌想做一个等腰三角形的风筝。已知风筝的两条边分别为64cm和 28cm,第三条边长多少厘米？ 思路分析解决关于等腰三角形的边长问题时，要注意两，点：(1)等腰 三角形两腰的长度相等；(2)三角形任意两边的和大于第三边。 3.动手操作。0振据“时蝽一练 由题可知，风筝的第三条边长可能是64cm,也可能是 (1)画一个钝角三角形。(2)画一个直角三角形，同时又是等腰三角形。 28cm,再根据“三角形任意两边的和大于第三边”进行推理。 。。。。。 。。，。” 假设第三条 能围成 边长64cm ◆64+28>64◆三角形 第三条边 :假设第三条 不能围成 长64cm 边长28cm ◆28+28<64◆三角形 4.用一根铁丝刚好围成了一个边长是20cm的正方形，这根铁丝能围 成一个底边长36cm的等腰三角形吗？如果能，这个等腰三角形的 正确解答 当第三条边长64cm时，64+28>64，符合； 一条腰长多少厘米？①根器“学方法”练一练 当第三条边长28cm时，28+28<64，不符合。 答：第三条边长64cm。 ©总结：通到此美月题，要分情况进行讨论。先假设第三条边的长度，再判断能否围成 三角形。 (对冠单参考答案：P巧5)】 中小学A1教辅引领者丨45 Q新学期对题学数学四年级下册 可四边形的内角和是多少度？ 第3课时三角形的内角和 对应教材P65P66 阅读与理解 平行四边形和不规则的四边形 我们学过哪些四边形？长方形、正方形、梯形… 课前·预习例题 这些图形的内角和是不是一样的呢？ 6 画几个不同类型的三角形。量一量，算一算，三角形3个内角的和各是 多少度。 分析与解答 三角形的内角就是三角朋 长方形和正方形的4 里面的3个角，三角形的 我画的这个直角三角形 我画的是锐角三 内角和就是遮3个角的度 个角都是直角，它们 的内角和大约是180°。 角形，也是… 数之和。 的内角和是360°。 用什么办法求出其他四边形的内角和呢？ 方法一：用量角器分别 我把这个四边形 我把这个四 量出3个内角的度载 的4个角剪下来， 边形分成了 再相如。 拼成了一个周角。 2个三角形。 方法一法 方法二：分制法 两个三角形的3个 你发现了什么？用实验来验证一下。 内角合是来正好是 四边形的4个内角 先把一个三角形的3个角剪下来，再拼一拼。看一看，拼成了一个什么角。 3 方法三：∠1间右折，∠2 180°+180°=360° 拼成了一个平角。 向下拆，∠3向左折，∠1， ∠2、∠3拼在一起也形成 四边形的内角和是360°。 ①注意：在将多边形分成三角形时，由同 个顶点出发画线来分。线不能文又。 一个平角. 方法二：把3个角 回顾与反思 剪下来，精在一起 形成一个平角。 我们大家共同发现 了四边形的内角和 是360° 三角形的内角和是180° 答：四边形的内角和是360。 461中小学A1教辅引领者 6】 3课后·对照练习 2课堂·任务学习的 任务1理知识 1.算出下面各个未知角的度数。0根据“附蛛一蛛 1.三角形的内角和是180°。 55 2.四边形的内角和是360°。 3.多边形的内角和=180°×（边数-2）。 53°？d 23°℃ 65°430 (任务(2学方法 2.找规律，填一填，算一算。（可以画图分析）0根撂“例7蝽一练 ⊙运用分类讨论法求等腰三角形纳角的度数 一个等腰三角形，其中一个角的度数是80°，求另外两个角的度数。 图形 思路分析在等腰三角形中，当已知角的度数小于90°时，这个角可能是顶角， 也可能是底角；当已知角的度数大于或等于90°时，这个角只能是 边数 3 顶角。此题已知角为80°，小于90°，因此分为两种情况。 内角和 180° 情况一：若已知角为顶角，也就是顶角为80°，每个底角的度数 (1)我发现：每增加一条边，图形内角和就增加（)。 (180°-顶角的度数)÷2=(180°-80°)÷2=50°，所以另外 (2)如果一个多边形有n(n大于或等于3)条边，那么可以将它 两个角的度数都是50°。 分成()个三角形，n(n大于或等于3)边形的内角和 情况二：若已知角为底角，则等腰三角形的两个底角的度数都是 为()。 80°，顶角的度数=180°-80°×2=20°，所以另外两个角的度数 (3)按这样的规律，十边形的内角和是()。。 分别是80°、20°。 3.斜拉桥中相对应的两条拉索和部分桥面可以看成一个等腰三角形，某 正确解答顶角为80时：(180°-80°)÷2=50° 斜拉桥的拉索和部分桥面构成的等腰三角形中，底角最大的是75°， 底角为80时：180°-80°×2=20° 最小的是25°，那么顶角的度数范围是多少？ 答：另外两个角的度数都是50°或分别是80°、20°。 ©总结：已知等腰三角形的一个角，求另外两个角时，若这个角小于90，要考龙已知的这个角 可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角：若这个角大于或等于90，越个角只能是顶角： (对温单参考答案：P5P6) 中小学A1教辅引领者丨47 Q新学期对题学数学四年级下册) 第5单元 核心知识梳理 知识点 易错点1：未掌握三角形的三边关系 三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相 在长度分别是6cm、8cm、11cm、14cm的4根小棒中任取3 连)叫作三角形。 根摆成三角形，你能摆出几种三角形？ 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶 错解：6cm、8cm、11cm; 正解：6cm、8cm、11cm;6cm、 6cm、8cm、14cm6cm、 11cm、14cm;8cm、11cm、 点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。 11cm、14cm;8cm、11cm、14cm,共3种三角形。 三角形的特性： 14cm,共4种三角形。 (1)三角形有3条边，3个顶点，3个角。 两边之和等于第三边 (2)三角形具有稳定性。 不能保成三角形 (3)三角形任意两边的和大于第三边。 核 三角形的分类 易错点2：求等腰三角形的边长问题时忽略三角形的三边关系 知 按角分： 错 有一块广告牌是等腰三角形，已知其中两条边分别长55cm和 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 示 27cm。第三条边长多少厘米？ 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 错解：第三条边长27cm 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。 27+27▣54(cm),54<55,不能组成三角形 按边分： 正解：第三条边长55cm。 不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫作不等边三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 易错点3：记错三角形的内角和 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫作正三角形。等边三 一个三角形的两个内角分别为60°、30°，你能算出这个三角形第 角形是特殊的等腰三角形。 三个内角的度数吗？ 三角形和四边形的内角和 错解：150°-60°-30°=60°正解：180°-60°-30°=90° 三角形的内角和是180°；四边形的内角和是360°。 →三角形的内角和错记为150° 多边形的内角和=（边数-2)×180°。 481中小学AI教辅引领者对照学参考答案 2.（1)3.5万205.9万41.5万 (4)4 (2)0.23亿119.01亿3.96亿 4.近似数为4：3.607、3.706、 3.（1)1、2、3、4 3.760、3.670 (2)0、1、2、3、4 近似数小于1：0.367、0.376 (3)5、6、7、8、9 5三角形 第1课时三角形的特性 2.不能确定钝角三角形 1.(V)(V)()(V) 直角三角形 3.（画法不唯一) 底 底 底 3.有3种走法，第②种走法最近， 因为两点之间线段最短。 4.一共有7种摆法。 (2) ①5cm、9cm、9cm ②5cm、13cm、13cm ③9cm、13cm、13cm 4.20×4=80(cm) ④19cm、13cm、13cm 80-36=44(cm) ⑤9cm、13cm、19cm 44>36,能围成一个底边长36cm ⑥5cm、9cm、13cm 的等腰三角形。 ⑦13cm、9cm、9cm 一条腰长：44÷2=22（cm) 第2课时三角形的分类 第3课时三角形的内角和 1.②③⑥①④⑤⑦ 1.180°-55°-53°=72° ②3④⑤⑥ ①⑦ 180°-90°-23°=67° -5- Q新学期对照学数学四年级下册RJ 180°-(180°-65°)-43°=22° (3)1440 2.457360°540°900° 3.180°-75°×2=30° (1)180° 180°-25°×2=130° (2)n-2 (n-2)×180° 顶角的度数范围是30°~130°。 6小数的加法和减法 第1课时 小数加减法 (2)1.59 1.1.129.560.89.64 2.1.9622.457 2.73 4.320.22.71 3.20.25+20.25=40.5(元) 2.（竖式、验算略)》 100-40.5-2.7-39.5=17.3(元) 9.8442.446.79 4.丙：10.43-6.18=4.25 3.情况一： 乙：10.43-6.75=3.68 1.39km 3.9km 甲：10.43-4.25-3.68=2.5 糖糖家游乐场 豆豆家 第3课时整数加法运算律 1.39+3.9=5.29（km) 情况二： 推广到小数 1.7.448.2+11.8 3.9km 1.39km 3.296.71+13.66 豆豆家糖糖家游乐场 18.321.7-9.24 3.9-1.39=2.51（km) +0.76 4.95-49.5=45.5(kg) 2.22.4531.16 12 苹果重：45.5+45.5=91(kg) 119.65 2221 筐重：95-91=4(kg) 3.13.78+15.36-1.78-1.36= 第2课时 小数加减混合运算 26(cm) 1.（1)加减 -6-