精品解析：河北省石家庄市新华区石家庄市第四十二中学2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题

河北省石家庄市新华区石家庄市第四十二中学2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题 注意事项：本试卷分卷I和II两部分，卷I为选择题，卷II为非选择题．本试卷共100分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷I（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共12个小题，共32分．其中1-8题每小题3分，9-12题每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下面的四个图形中， 与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5. 若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若x，y满足方程组，则的值为（ ） A. 17 B. 9 C. 21 D. 7 7. 如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 9. 如图，直线与交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，线段AB交，于D，B两点，过点A作交直线于点C，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（ ） A. 设有x辆车，则人数为 B. 设有x辆车，则可列方程为 C. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 12. 在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 卷II（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____． 14. 已知两个角的两边分别平行，其中一个角的度数是，则另一个角的度数是________． 15. 已知方程组的解是，则的解是_______． 16. 在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8个题，共56分） 17. 解方程组和计算 （1） （2） 18. 完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； （2）在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 19. （1）规定，求： ①求的值； ②若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 20. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． （1）的面积为 ； （2）将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全； （3）连接，则这两条线段之间的关系是 ； （4）点为格点，且（点与点不重合），满足这样条件的点 个． 21. 如图，点在上，点在上，点在上．已知于点，于点，求证：． 证明：（__________）， ，（__________）， __________，（同位角相等，两直线平行）， ，（__________）， ，（已知）， __________，（__________）， ，（__________）， ，（__________）． 22. 如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． （1）求证：； （2）若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 23. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 24. 小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图①，已知，，则______； （2）如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市新华区石家庄市第四十二中学2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题 注意事项：本试卷分卷I和II两部分，卷I为选择题，卷II为非选择题．本试卷共100分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷I（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共12个小题，共32分．其中1-8题每小题3分，9-12题每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下面的四个图形中， 与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】A、有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； B、有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； C、有公共顶点，且满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与是对顶角，符合题意； D、没有公共顶点，且不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 3. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行的判定定理，结合已知，分析得出需满足的角度关系，从而确定两条钢轨平行的条件． 【详解】解：根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行， ， 只需要确保，此时， 两条钢轨平行． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 直线外一点到已知直线引垂线，这个点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面几何相关基础概念，根据平行线的性质、点到直线的距离定义、垂线的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 只有两直线平行时，同位角才相等，∴A错误； ∵ 只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，选项未说明两直线平行，∴B错误； ∵ 直线外一点到这条直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，∴C错误； ∵ 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，∴D正确. 5. 若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 【详解】解：，，， ∵ ∴， 故选：D 6. 若x，y满足方程组，则的值为（ ） A. 17 B. 9 C. 21 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的加减消元法是解题的关键． 将两个方程组相加即可求解． 【详解】解： ①+②得： 故选：A． 7. 如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得，，，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移（）得到， ∴，，， ∴阴影部分的周长为 ， 故选：． 8. 某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】D 【解析】 【分析】设两种产品的定制数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解个数，得到方案数． 【详解】解：设定制书签张，定制笔记本本，，均为正整数． 根据题意列方程得， 方程两边同时除以3，得， 整理得， ∵，均为正整数， ∴或或或或， ∴共有种定制方案． 9. 如图，直线与交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求得，结合，即可求得答案． 【详解】因为，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 10. 如图，直线，线段AB交，于D，B两点，过点A作交直线于点C，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义、平行线的性质等知识点．利用三角形的外角性质可得的度数，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 11. 《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（ ） A. 设有x辆车，则人数为 B. 设有x辆车，则可列方程为 C. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，根据题意，设车有x辆，人有y人． 当两人坐一车时，有九人步行，总人数y等于坐车人数加步行人数，即；当三人坐一车时，有两辆空车，坐车人数为，等于总人数y，即． 【详解】解：设车数为x，人数为y． ∵ 两人坐一车，九人步行， ∴． ∵ 三人坐一车，两辆空车， ∴ 实际用车辆，则． ∴ 可列方程组为 ． 故选：C． 12. 在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，为它们的完美点，，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据的不同位置分情况讨论，计算得到的度数． 【详解】根据完美交线定义，可知直线与交于，其中一个夹角为，结合，分两种情况讨论： ①当与点在直线同侧时， 设， ， ， ； ②当与点在直线两侧时， 设， ， ， ； 因此的度数为或． 卷II（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式是：____． 【答案】 【解析】 【分析】要把方程5x-2y=3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1； 【详解】5x-2y=3， 移项得：-2y=3-5x， 系数化1得： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可． 14. 已知两个角的两边分别平行，其中一个角的度数是，则另一个角的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和补角的定义，正确分类，熟练掌握平行线的性质是关键．由两角的两边互相平行可得这两个角相等或互补，再由其中一个角为 ，即可得出答案． 【详解】解：因为两个角的两边互相平行， 所以这两个角相等或互补， 若这两个角相等，因为其中一个角为，所以另一个角的度数为； 若这两个角互补，则另一个角的度数为 ； 故答案为∶ 或 ． 15. 已知方程组的解是，则的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考査了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 16. 在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可．熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ， 当时，如图，则， ； 当时，如图，则， 由折叠性质得：， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个题，共56分） 17. 解方程组和计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ①×②得， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解是； 【小问2详解】 解：原式． 18. 完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程 如图，已知与相交于点，与相交于点，与相交于点． （1）找出的一个内错角_________，与这个内错角__________（填“相等”或“不相等”），所以该命题是：________（填“真命题”或“假命题”）； （2）在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 【答案】（1）或，不相等，假命题 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据内错角的定义求解，然后判断即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：找出的一个内错角：或，与这个内错角不相等，所以该命题是：假命题； 【小问2详解】 解：改变的条件为：若 ∴； 或改变的条件为：若 ∴． 19. （1）规定，求： ①求的值； ②若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）①8， ②2， （2）32 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）①按照新规定计算即可； ②按照新规定列出方程即可求解； （2）把原式转化为，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得； ②由题意得，即， ∴， 解得； （2）∵， ∴． 20. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． （1）的面积为 ； （2）将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全； （3）连接，则这两条线段之间的关系是 ； （4）点为格点，且（点与点不重合），满足这样条件的点 个． 【答案】（1）8 （2）见解析 （3）平行且相等 （4）4 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点结合三角形面积公式即可求解； （2）根据题意找到平移后点的对应点，顺次连接即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据网格的特点，找到过点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解． 【小问1详解】 解：的面积为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 【小问3详解】 解：根据平移的特点，可知：，， 故答案为：平行且相等． 【小问4详解】 解：如图，符合题意的点有个 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质是解题的关键． 21. 如图，点在上，点在上，点在上．已知于点，于点，求证：． 证明：（__________）， ，（__________）， __________，（同位角相等，两直线平行）， ，（__________）， ，（已知）， __________，（__________）， ，（__________）， ，（__________）． 【答案】已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】利用平行的性质和判定进行填空即可． 【详解】证明：（已知）， ，（垂直的定义）， ，（同位角相等，两直线平行）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， ，（已知）， ，（同角的补角相等）， ，（内错角相等，两直线平行）， ，（两直线平行，同位角相等）． 22. 如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． （1）求证：； （2）若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合邻补角定义求出，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； （2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】（1）甲队修路的天数；乙队修路的天数；； （2）乙队修建了8天 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）根据方程组等式的意义进行判断即可； （2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是， 故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；； 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，， ∴乙队修建的天数（天）． 答：乙队修建了8天． 24. 小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图①，已知，，则______； （2）如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； ②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【小问1详解】 解：过点E作， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； ②设，，则由题意得，， 过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $