三角形中的特殊线段问题讲义-2026届高三数学二轮复习

三角形中的特殊线段问题 知识梳理 1.中线：如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长． （1）两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 （或者利用角相等） （2）向量法，,等式两边再进行平方 2、角平分线 （1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. （2）内角平分线定理：＝. （3）等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin ＋b·AD sin ＝bc sin A 3.高线线相关计算 （1）等面积法： （2） （3） 例题：（24-25高三上·广西南宁·月考）已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． ③为的高线． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由正弦定理知， 所以， 又，所以， ， 又， ， 化简得，即， 又，所以． （2）选①，为的角平分线， 由得：， 即，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以. 选②，为的中线， 则，平方得， 所以，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以. 选 ③为的高线，所以. 练习： 1.（24-25高三上·福建福州·月考）的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若D为中点，，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），由正弦定理得，, 即，因为，所以， 所以， 化简得，又， 可得，，. （2）因为是的中点，所以， 则， 即，整理得，解得或（舍去）， 在中，由余弦定理可得， ，所以的周长为. 2.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为， (1)若，求的值. (2)若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【分析】（1）由余弦定理代入数据即可求解； （2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得： 所以的值； （2）    （ⅰ）∵ ∴ ，而， 当时，取“=” ∴ ，即AD的最大值为 （ⅱ）由三角形角平分线定理有， ∴ ，设 在中，由正弦定理有 ∴ 化简得：，解得：或（舍去） ∴ ，∴， 所以 3.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 课后作业 基础题组练 1.（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为． (1)求的外接圆面积； (2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解； （2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解； 法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解； 若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解； 法2：由，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得， 又由的周长为，可得，即， 由余弦定理得，解得， 设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，所以的外接圆面积为． （2）解：若选择①： 法1：由（1）知，及， 由，可得 ，所以，即． 法2：不妨设，由及，解得， 在和中，可得， 由余弦定理得，解得． 若选择②，不妨设，由及，解得， 由，可得，解得． 2.（2025·江苏·三模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 【答案】(1) (2)①的周长为,② 【难度】0.65 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角. （2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得，可得为等边三角形，进而求得周长； ②根据余弦定理求. 【详解】（1）由，可得，，即， 即，又，则，即. （2）①因为，所以.由余弦定理：， 则，即，则，所以，即为等边三角形， 则的周长为. ②由，所以，在中，由余弦定理得， ，所以. 3.（2020·辽宁·一模）的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求及； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得，结合三角形内角的性质求，再应用二倍角公式有，进而确定大小； （2）应用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求边上的高. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，又，则. 因为，即，又，所以，因为，所以. （2）由（1）及余弦定理，得. 将，代入，得，解得或（舍去），则. 因为，所以， 设边上的高为，则. 综合提升练 4．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解. （2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，. 因为,，所以，所以，即， 又，，则，所以. （2）由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得：， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 故. 5.（高考真题）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求； （2）若AD＝1，DC，求BD和AC的长． 【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵2， ∴BD＝2DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD中，，∴sin∠B， 在△ADC中，，∴sin∠C；∴． （2）由（1）知，BD＝2DC＝2．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∴2，∴AB＝2AC， 令AC＝x，则AB＝2x，∵∠BAD＝∠DAC，∴cos∠BAD＝cos∠DAC， ∴由余弦定理可得：， ∴x＝1，∴AC＝1，∴BD的长为，AC的长为1． 6.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得， 因为，所以，即．又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形中的特殊线段问题 知识梳理 1.中线：如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长． （1）两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 （或者利用角相等） （2）向量法，,等式两边再进行平方 2、角平分线 （1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. （2）内角平分线定理：＝. （3）等面积法：因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以c·AD sin ＋b·AD sin ＝bc sin A 3.高线线相关计算 （1）等面积法： （2） （3） 例（24-25高三上·广西南宁·月考）已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． ③为的高线． 练习： 1.（24-25高三上·福建福州·月考）的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若D为中点，，，求的周长． 2.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为， (1)若，求的值. (2)若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 3.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 课后作业 基础题组练 1.（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为． (1)求的外接圆面积； (2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长． 2.（2025·江苏·三模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长；②求的长. 3.（2020·辽宁·一模）的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求及； (2)若，求边上的高. 综合提升练 4.（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 5.（高考真题）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求； （2）若AD＝1，DC，求BD和AC的长． 6.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $