解三角形：爪形三角形与四边形中的解三角形问题复习讲义——2026届高三数学二轮复习

解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 考点目录 爪形三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 知识点解析 1.爪形三角形解三角形 (1)核心特征：共顶点的多个三角形拼接，顶点为“爪尖”，各边为“爪爪”，含公共边/公共角/互补角，条件 分散在不同三角形中。 (2)解题思路：定公共元素，跨形建联系，分步求解 ①找核心公共元素：锁定公共边、公共角或互补角（核心桥梁）： ②选适用定理：单个三角形内，角边已知情况匹配正余弦定理（知角对边用正弦，知两边及夹角/三边用余 弦)； ③跨形递推：先解条件充分的三角形，求出公共元素，再代入相邻三角形求解未知量； ④验角边合理性：结合三角形内角和、大边对大角验证结果。 (3)方法技能：①公共边优先设元（设为x,列方程求解）；②互补角记 ina=sin(180°-a)' 余弦变号：③ 多三角形嵌套时，从“已知条件最集中”的三角形切入。 2.四边形中的解三角形 (1)核心特征：任意四边形（含凸四边形、圆内接四边形)，无直接内角和/边的定理，需拆分转化为三角形。 (2)解题思路：作辅助线拆分，补全三角形条件，结合四边形性质求解 ①定拆分方式：常规连对角线（一条对角线拆为2个三角形，优先拆出含已知条件的三角形）： ②用四边形性质补条件：①任意四边形内角和360°：②圆内接四边形对角互补、外角等于内对角： 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 ③分步解三角形：先解对角线所在的“条件充分三角形”，求出对角线长度，再解另一个三角形： ④整合结果：根据问题求边长/角度/面积（四边形面积=两个拆分三角形面积和）。 (3)方法技能：①对角线优先选“能关联已知角/边”的那条；②圆内接四边形必用“对角互补”化角，简化 正弦定理应用：③不规则四边形可补形为直角三角形/特殊三角形（如正三角形）辅助求解：④面积计算用 2 absin C,避免复杂计算。 3.两类题型共性技巧 (1)均以正余弦定理为核心工具，关键是找桥梁元素（爪形的公共边/角、四边形的对角线）： (2)条件分散时，设未知元列方程（方程思想）是通用解法： (3)优先处理已知条件最集中的三角形，由易到难递推。 考点一 爪形三角形中的解三角形问题 【例题分析】 例1.（25-26高三下江苏扬州开学考试)己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 3c tan 4+tan B acos B (1)求角A的大小： (2)若边b=1,C=2,边BC上存在一点D,满足BD=2DC,求AD的长. 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 例2.(2026四川模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos24-2v2cos(B+C)=2 (1)求A: 2)若b=3V5,c0sC=5 ,求AB边上中线的长. 例3.（2026山东模拟预测)在△1BC中，B6C- -AC 3 ,点D在AB延长线上， sin∠ACD=V3sin∠BCD AD (①)求BD: (2)若ABC 的面积为35，求线段CD的长度。 3 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 例4.(25-26高三上：黑龙江月考)己知△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB,且△ACD面积是△BCD 面积的2倍 sin A (I)求sinB的值； 2若8D=1,CD=5,求4D和BC的长. 【变式训练】 变式1，(2025四川自贡一模)在A48C中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,若osC=7,csn4=22 (1)求a: 5v2 (2)若△ABC的面积为2，求AB上的高CD. 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 变式2.(25-26高三上四川南充月考》在△18C中，内角么BC 的对边分别为4，“，记△1BC a,b,c 面积为S,己 知5=56+2-，且角的平分战AD交Bc边于点D 4 B (I)求A ②若B=21C,D=4W5,求△48C的面积. .A,B,C 变式3.(25-26高三上重庆月考)在△1C中，角4B, a,b,c 知=10.c=6,且 所对的边长分别为，已知” b=acosC-c 2 (I)求∠A; (2)若D是BC中点，求AD的长度. 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 变式.（2s-26商三上照龙江开学考试)在A1BC中，内角AaC所对边分别为ahc,∠B4C- 3 =2,C=4 (1)若 ,求“的值. (2)若∠BAC的角平分线AD交BC于点D. (i)若b+4c=1,求AD的最大值： (i)若e=,CD=V6,求△ABC的面积 6 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 考点二 四边形中的解三角形问题 【例题分析】 例1.(2026·安徽安庆·一模)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC-180°，∠BAC=∠DAC. D (1)证明：CB=CD; 2已知4C=2,△8C的外接圆半径为5，求△BCD 积的最大值. 例2.(2026-山东日照一模)在△1BC中，角4B,C的对边分别为ab,c若a=cosC+3csinB=a+2c B (1)求∠B的大小 2如图所示，D为△MBC外一点，∠DCB=∠B,CD=V5,AC=D,求△ACD外接圆的半径， > 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 例3.（25：26商三上广东深圳期末)如图，在平面四边形ABCD中，已知1B=1AC=V5,∠ABC= 4 B A D (I)求△ABC的面积； 2若∠CAD=2∠BAC,且∠D=,求HD的长. 例4.(2026吉林白山模拟预测)如图，在平面四边形MBCD中，A=3,E在边AB上，BE=3,AB=CE: 35 ∠Bc=e0<0< DE⊥CE,△BEC的面积为2，记 D E (1)诺0= 3,求线段BC的长度： (2)当8为何值时，线段DE的长度最小？求出该最小值. 8 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 【变式训练】 BCD中，已知 AC,BD、 变式1.(2026河北沧州一模)如图，四边形 0交于点0， 40-oG=5.BD=240B-. O B (0)若1o6克，求40-18C的值： (2)证明：当∠OAB= 6时，D位于△ABC外接圆的内部. 变式2.（24-25高一下-江苏常州期末)如图，在平面四边形1CD中，∠4CB= 2,若E是AB上一点， BC=CE.记∠ABC=u,∠ACE-B. cos 2a+sin B=0 (1)证明： (C=3AE.CD-3.4D=2 (I)求F的值： (Ⅱ)求线段BD长度的取值范围. 9 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 变式3.(2025陕西成阳模拟预测)如图，在四边形CD丰，A=石48=34D=35,CD=5,∠C=2∠CD A B (I)求BD的长； (2)求四边形ABCD的面积. 变式4.(2425高三上重庆月考)如图，在平面四边形AC0中，4CD-子，若万是AD上一点， CD=CE,AC=mAE B D (I)证明：cos2∠ADC+sin∠ACE=0: (2)若AB=1,BC=3,∠ACE=T 61 ①求m的值： ②求BD的最大值. o解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 解三角形：爪形三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 考点目录 爪形三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 知识点解析 1.爪形三角形解三角形 （1）核心特征：共顶点的多个三角形拼接，顶点为“爪尖”，各边为“爪爪”，含公共边/公共角/互补角，条件分散在不同三角形中。 （2）解题思路：定公共元素，跨形建联系，分步求解 ①找核心公共元素：锁定公共边、公共角或互补角（核心桥梁）； ②选适用定理：单个三角形内，角边已知情况匹配正余弦定理（知角对边用正弦，知两边及夹角/三边用余弦）； ③跨形递推：先解条件充分的三角形，求出公共元素，再代入相邻三角形求解未知量； ④ 验角边合理性：结合三角形内角和、大边对大角验证结果。 （3）方法技能：① 公共边优先设元（设为x，列方程求解）；② 互补角记，余弦变号；③ 多三角形嵌套时，从“已知条件最集中”的三角形切入。 2. 四边形中的解三角形 （1）核心特征：任意四边形（含凸四边形、圆内接四边形），无直接内角和/边的定理，需拆分转化为三角形。 （2）解题思路：作辅助线拆分，补全三角形条件，结合四边形性质求解 ①定拆分方式：常规连对角线（一条对角线拆为2个三角形，优先拆出含已知条件的三角形）； ②用四边形性质补条件：① 任意四边形内角和；② 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角； ③分步解三角形：先解对角线所在的“条件充分三角形”，求出对角线长度，再解另一个三角形； ④整合结果：根据问题求边长/角度/面积（四边形面积=两个拆分三角形面积和）。 （3）方法技能：① 对角线优先选“能关联已知角/边”的那条；② 圆内接四边形必用“对角互补”化角，简化正弦定理应用；③ 不规则四边形可补形为直角三角形/特殊三角形（如正三角形）辅助求解；④ 面积计算用，避免复杂计算。 3.两类题型共性技巧 （1）均以正余弦定理为核心工具，关键是找桥梁元素（爪形的公共边/角、四边形的对角线）； （2）条件分散时，设未知元列方程（方程思想）是通用解法； （3）优先处理已知条件最集中的三角形，由易到难递推。 考点一 爪形三角形中的解三角形问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 例2．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 例3．（2026·山东·模拟预测）在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，如下图： 设，则，可得， 所以，. 设，则， 在中，由正弦定理得，，则， 因为，所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，，则，所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以． 方法二： 由（1）知，，则，所以，. 所以，在中，由勾股定理得． 例4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知△中，点在边上，平分，且△面积是△面积的倍． (1)求的值； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为，， 因为， 所以，则，所以由正弦定理得； （2）设到的距离为， 因为，， 因为， 所以，则， 因为，平方得， 因为，平方得， 整理得． 又因为， 所以． 【变式训练】 变式1．（2025·四川自贡·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB上的高CD． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）根据,，可知： 因为，即， 所以，即; （2），解得， 则，解得， 则，代入，解得 变式2．（25-26高三上·四川南充·月考）在中，内角的对边分别为，记面积为，已知，且角的平分线交边于点．    (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由三角形面积公式，，因，可得 ， 由余弦定理，，代入得：， 即，因，故； （2）由图知，，因是的角平分线，且， 则，化简得， 又，联立解得， 故的面积为. 变式3．（25-26高三上·重庆·月考）在中，角所对的边长分别为，已知，且. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理,得：. 因为在中，，所以， 所以. 因为，所以，所以. 因为,所以. （2）方法一：在中，由余弦定理，得,所以. 因为，是的中点，所以. 在中，；在中，. 因为，所以， 所以，即. 因为，所以,所以. 方法二：如图，是边上的中线，所以， 所以， 由题知，，所以，所以.    变式4．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为， (1)若，求的值. (2)若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由余弦定理得： 所以的值； （2）    （ⅰ）∵ ∴ ，而， 当时，取“=” ∴ ，即AD的最大值为 （ⅱ）由三角形角平分线定理有， ∴ ，设 在中，由正弦定理有 ∴ 化简得：，解得：或（舍去） ∴ ，∴， 所以 考点二 四边形中的解三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，所以，且， 所以. （2）在中，设 ，. 所以，. 所以 设，， 设，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以. 例2．（2026·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由和正弦定理，得， 因，则， 代入化简得 ，即， 则， ，解得. （2）令，， 在中，由正弦定理得，， 因，则①. 在中，由正弦定理得，, 因,则②, 由①②得，,即， 因为，则得，解得， ， 设外接圆的半径， 由正弦定理，. 例3．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理知， 即， 解得， ； （2）在中，由正弦定理知，解得， 又在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，由正弦定理得， 解得. 例4．（2026·吉林白山·模拟预测）如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. （2）设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 【变式训练】 变式1．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 变式2．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. 变式3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)求的长； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，所以. （2）在中，由正弦定理，得，则. 而，于是， 又，则，，， 因此， 所以四边形的面积 . 变式4．（24-25高三上·重庆·月考）如图，在平面四边形中，，若是上一点，． (1)证明：； (2)若． ①求的值； ②求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【详解】（1）证明：在中，∵， ∴，故. 又，∴， 即， 故. （2）①， 由，可知：是等边三角形， 所以， 故在中，由正弦定理可得：，故. 所以. ②设， 在中，由余弦定理得：， 由是等边三角形，是的中点， ，所以， 在中，由余弦定理得： 在中，由正弦定理得： ，所以， 所以， 所以当时，即时，    . 2 学科网（北京）股份有限公司 $