专题2 教考衔接3 三角形中的特征线问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习讲义

教考衔接3三角形中的 特征线问题 》热点分类·考向探究《 考向1三角形的中线 教材母题证明：设∠AMB=a, 则∠AMC=180°一a. 在△ABM中，由余弦定理，得 AB2 AM BM2-2AM.BMcos a. 在△ACM中，由余弦定理，得AC2 AMP+MC2-2AM·MCcos(180°-a). 因为cos(180°-a)=一c0sa,BM= MC 1BC. 所以Ag+AC=2AM+专BC. 从而AM=方V2CAB+AC)-C. 链接真题解：(1)因为D为BC的中点， 所以S△AC=2S△ADC=2X 2 AD X DCsin∠ADC=2X ×1× DCX -，解得DC=2,所以 BD DC=2,a=4. 因为∠ADC=子，所以∠ADB 2π 31 在△ABD中，由余弦定理，得c2= AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB 1十4十2=7，所以c=7. 在△ABD中，由正弦定理，得 C AD sin∠ADB sin B' ADsin∠ADB 21 所以sinB 14 又B∈ (0,),所以 cos B V1-sin2B 5√7 ,所以 tan B 14 sin B √5 cos B 5 (2)因为D为BC的中点，所以 BD= DC. 因为∠ADB 十∠ADC=π，所以 cos∠ADB=-cos∠ADC, 则在△ABD与△ADC中，由余弦定 理，得 AD:+BD2-c2 2AD·BD AD2+DC2-62 ,得1+BD2 2AD·DC c2=-(1+BD2-b2), 所以2BD2=b2 十c2一2=6，所以 BD=3,所以a=23. 又S△ADC= 2XVBX1Xsin∠ADC 1 3 2 ,得sin∠ADC=1,所以∠ADC= 2 所以b=c=/AD2+CD2=2. 跟踪训练1解：(1)设c=1,则a=√7， b=2, 利用余弦定理可得 cos A b2+c2-a2 4+1-7 1 2bc 2×2×1 2 286 1对闪讲与练·高三二轮数学 又因为A∈0m.所以A= (2)设c=1,则a=√7，b=2,因为点 D为BC的中点，所以AD= + AC). 两边平方可得A市=二(A店+A), 4 即41AD1?=|AB12+|AC12+ 2AB1AC|cos∠BAC,所以4AD12= 1+4+2×1×2×(号)=3可得 市-复所以AD:C的值为 考向2三角形的高线 教材母题证明：(1：cosC=a2十b一c 2ab ∴S= 2 absin C= 2 b I-cos C 2b1-a+6-cy 1 4a2b2 √406-(a2+6-c2了 4 1 √/(2ab+a2+6-c2)(2ab-a2-b2+c2) 4 1 /(a+b)2-c2]c2-(a-b)2T= √@+b+0a+b=ca=6+c-a+b+0. . (a+b+c): 2 -a= (-a+b+c: 2 p-b=。(a-b+c), 1 p-c=2(a+b-c), ,S= /(a十b十c)a十b-c)a-b+c)-a+b+c) 16 √p(p -a)(p-b)(-c) ·三角形的面积S= /p(p-a)(p-b)(p-c). (2)过内切圆的圆心，作三角形三条边 的垂线，则内切圆圆心到三边的距离相 等，都等于r. 则三角形的面积可以表示为S 2ar+2br+7r=2ra+6+e). 1 结合第一问的结论可以得出r /(p-a)(p-b)(p-c) (3),边BC,CA,AB上的高分别记为 h。h6h:,三角形的面积 S=p(p-a)(p-b)(p-c), ∴.S=√p(p-a)(p-b)(p-c)= 2aha三2bhh三2chr· 可解得h。= 2 p(p-a)(p-b)(p-c). 2 h6= b /p(p-a)(p-b)(p-c), h。= 2 √p(p-a)(p-b)(p-c). 链接真题解：方法一(1)在△ABC 中，A+B=x一C, 因为A十B=3C,所以3C=π-C,所 以C= 4 因为2sin(A一C)=sinB,所以 2sin(A-)=sm(-A） 展开并整理得√2(sinA一cosA)= 2 cosA十sinA),得sinA= 2 3c05A, 又sin2A+cos2A=1,且sinA>0,所 以sinA= 3√10 10 BC AB (2)由正弦定理 sin C' 得 sin A AB BC= sin C ·sinA= 5 3√/10 √2 10 2 35. 由余弦定理AB2=AC2十BC2 2AC·BCcos C, 得52=AC2+(3√5)2-2AC·3√5· os元整理得AC2-310AC+20=0 解得AC=10或AC=2√10. 由1)得anA=3>5,所以等< A<受，又A+B=3所以B>子： 2 即CB, 所以AB<AC,所以AC=2√10. 设AB边上的高为h,则)·AB,h= 2·AC·BCsin C,即5h=210☒ ② 35× 2 解得h=6,所以AB边上的高为6. 方法二 (1)在△ABC中，A+B π一C, 因为A十B=3C,所以3C=π一C,所 以C= π 4 因为2sin(A-C)=sinB,所以 2sin(A-C)=sin[-(A+C)] sin(A+C), 所以2 sin Acos C-2 cos Asin C= sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C=3 cos Asin C,易得 cos Acos C≠0，所以tanA=3tanC= an-3， 又sinA>0,tanA= sin A sin2A+ cos A cosA=1,所以sinA= 3√/10 10 (2)由(1)知sinA= 3√10 tan A 10 3>0,所以A为锐角，所以cOsA √/10 10 所以sinB=sin(③-A） 2 msA+snA)=竖×( 3）- 2W5 5 由正弦定理 AC AB sin B sinC,得AC 5× 25 AB·sinB 5 =210,故 sin C 2 2 AB边上的高为AC·sinA=2/10× 310 6. 10 跟踪训练2 解：)由2=2sn(c+ ) 及正弦定理，得 V3 sin A sin B √3cosC+sinC, 所以√3sinA=W3 sin Bcos C+ sin Bsin C,sin A sin(B++C), 则√5 sin Bcos C +3 cos Bsin C= V3 sin Bcos C+sin Bsin C. 化简可得√3 cos Bsin C=sin Bsin C, 又C∈(0，π)，sinC≠0， 所以√3cosB=sinB,所以tanB= √3，又B∈(0，π)，所以B= 3 (2)设BD=h,由三角形的面积公式 得S△ABC= 1 -左sAB, 解得h= 3 ac. 4 因为b2=a2+c2-2 ac cos.∠ABC= a2十c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅 当a=c时，等号成立， 又b=2,所以ac≤4，当且仅当a= c=2时，等号成立， 放h8 X4=√3，即BD的 最大值为√5」 考向3三角形的角平分线 教材母题解：在△ABC中，由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB·AC· cos∠BAC=9+4-12X 2=7, ∴.BC=√7（负值舍去）， ..cos B AB2+BC2-AC2 2AB·BC 9+7-4 2√7 2X3X7 CD AC 2 由角平分线定理可得 BD AB 3 ..BD 3√7 5 ∴.AD2 AB2+BD2-2AB·BD·cosB=9+ 63 37 25 -2×3× 2W7 108 7 25 ..AD 6V3 (负值舍去). 5 链接真题2 解析：由余弦定理的推论得cos60°= AC2+4-6 2×2AC ,整理得AC2-2AC 2=0,解得AC=1+√3（负值舍去）. 由角平分线长公式得AD= 2AB·AC·cos ∠BAC 2 AB+AC 2×2×1+3)×0s30=2. 3+√3 跟踪训练3解：1)由2c=6-acos C 和正弦定理，可得2sinC=inB sin Acos C, 因为sinB=sin(π-A-C)=sin(A十 C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以2sinC=sin Acos C+sinC. cos A sin Acos C,即2sinC sin Ccos A. 因为smC≠0，所以c0sA=号 因为0<A<x,所以A=系 (2)因为AD是∠CAB的平分线，所以 AB=BD=2.解得AB=6, AC CD 又Sae=SAAID十SaD,则号· π 1 AB·AC·sin3=2·AB·AD· sn若+：ACAD:sm6, 1 π 即6X3×=6:AD:合+3：AD: 2 号解得AD=25. 培优课4三角函数中的最值、 范围问题 》热点分类·考向探究《 例1解：D因为f)=sin(-) 由f(xo)= 1 得到sm(,一)=· 1 解得1。-晋=看+2kx货∈2或 即x。= 5西+2kx(k∈D或x0 132kx(k∈D,义x∈[0,2]，所 5π 13π 以x。=2或x。=12 (2)因为g(x)=f(x)·cosx cosx-cos2x）= g2)=(2-）- 令1=2x-年 由e,]e]， 则me竖： 所以e)e[号 1 所以g(x)在区间 】 上的最大值 为-，最小值为 4 2 跟踪训练1解：(1)由题知f(x)的定 义域为{x女≠x+受k∈Z f(x)= ·cosxcos(x-） cos T 5=sincos(女-3）-5 snr(号os+m）- 2 sin xcos 1 2 sin'x -3 1 sin (1-cos2x)-√3= 4 2+③ 1 √ s1 2.x 4 4c0s2、 33 i(2x-）- 1 33 4 令2k-≤2x-号≤2k+ T T 2 k∈Z→kπ- ≤x≤kπ十 5π 12 12 k∈Z, 所以∫(x)的单调递增区间为 (2由x∈[牙]得2x-答€ 6 若]所以-1≤sm(2z 5π 5) 当sin(2x-）=-1时，函数fx) 取得最小值 - 2+33 4 当sm2-)=2 时，函数f(x) 取得最大值 1-3√3 4 B 例2解：(1)由acos 2 =bsin A及正弦 定理，得sin Acos 2 =sin Asin B,又 sinA≠0， 所以cos B B 2 sinB,则cos 2 B 2sin 29 s 2 B B 1 又cos 2 ≠0，所以sin 2 2 因为0< B 2< 2,所以 π ,解得 B = 3 (2)因为△ABC是锐角三角形，B 所以<A<,若<C< 21 所以Sa=uesin B= 1 -c2.a 参考答案287教考衔接3三角形中的特征线问题 》考情分析 与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质 为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中档或偏下. 热点分类》考向探究 考向1三角形的中线 [教材母题]（苏教版必修第 二册P94例6)如图，AM是 △ABC的边BC上的中线， 求证：AM= 2√2(AB2十AC)BC☑ 。听课记录 4反思感悟… 1.中线长定理：如图，在△ABC中，AD是边BC 上的中线，则AB2+AC2=2(BD2十AD). 推导过程：在△ABD 中，cosB AB:+BD*-AD? 2AB·BD，在△ABC中，CoSB AB2+BC2-AC2 2AB·BC ,联立两个方程可得AB AC2=2(BD2+AD2). 2.中线的向量表不，心-子（花+店 [链接真题](2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的 2|AC IAB|cos∠BAC). 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 △ABC面积为√5，D为BC的中点，且 推导过程：易知市-防+A心.则市 AD=1」 a+a0=+c+2A1c1 4 ①若∠ADC=哥求anB时 BAC,.所以AD=子(aC+aB+2AC: |AB|cos∠BAC). (2)若b2+c2=8,求b,c. 3.解决三角形中线问题的常用方法 心听课记录 (1)利用角互补及余弦定理求解. (2)利用中线长定理求解，但要书写其证明 过程， (3)利用向量法求解. 048 亿对勾讲与练·高三二轮数学 跟踪训练①已知△ABC中，内角A,B,C所对的 ⑦听课记录 边分别为a,b,c,且满足a:b:c=√7：2：1 (1)求角A的值； (2)若点D为BC的中点，求AD:BC的值. [链接真题](2023·新课标I卷)已知在 △ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高. 考向2三角形的高线 心听课记录 [教材母题]（人教A版必修第二册P54习题 6.4T20)已知△ABC的三个角A,B,C的对 边分别为a,0c,设力=a十么十c,求证： (1)三角形的面积S= √p(p-a)(p-b)(饣-c); (2)若r为三角形的内切圆半径，则r= (p-a)(p-b)(p-c) (3)把边BC,AC,AB上的高分别记为ha,h6, h。,则 2 h.=avp(p-a)(p-b)(p-c). =6pp-a)(b-b)(p-c), h=2/p(p-a)(p-b)(p-0). 第一部分专题二三角函数与平面向量 049 4反思感悟……………… 心听课记录 1.h1,h2,ha分别为△ABC边a,b,c上的高，则 h,:h2:hg=1:1:1=1 1 1 a:方c=sinA:sin B'sin C 2.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三 角形的面积相关. 3.解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定 理求得三角形的某些边和角来表示三角形的面 积S,然后解S= 2absin C= 2acsin B=. bc. 1 sin A= 1 2 ,×边长×h,求高h. 跟踪训练②(2025·河南周口二模)在△ABC 中，角A,B,C的对边分别是a,,c,且Ba b 2sinc+g》 1)求B: (2)若b=2,过点B作BD⊥AC,D为垂足，求 BD的最大值. [链接真题](2023·全国甲卷理)在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的 平分线交BC于D,则AD= 心听课记录 考向3三角形的角平分线 [教材母题]（人教B版必修第四册P20复习题 T7)已知AD是△ABC的角平分线，且AC= 2,AB=3,A=60°，求AD的长. 050 2对勾讲与练·高三二轮数学 4反思感悟，一 跟踪训练③(2025·吉林长春二模)在△ABC 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠BAC 中a6,e分别为角A,B,C所对的边，且0 ∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. b一acos C,角A的平分线交BC于D,且BD= 2DC. (1)求角A; (2)若AC=3,求AD的长. (1)角平分线定理： AB BD AC DC 2)因为SAn十SAAn三Sc,所以b AD·sin ∠BAC ·ADsin ∠BAC 2 2 csin∠BAC,所以(b+c)AD=2ccos∠BAC 1 2bccos ∠BAC 2,整 2 理得AD -(角平分线长公式). b+c 2.解决与三角形的角平分线有关问题的方法 (1)利用角平分线定理找边之间的关系. (2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可 利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面 积求解. 馨提示》请完成教考衔接练③ 培优课4三角函数中的最值、范围问题 》考情分析 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有函数的性质（如有界性、单 调性)、基本不等式、数形结合等 热点分类》考向探究 考向1三角函数式的最值、范围 [例1(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数 fx)=sime-》: 若f)=7∈[0,2]，求，的值： (2)设g(x)=f(x)·cosx,求g(x)在区间 口，哥上的最大值和最小值 心听课记录 第一部分专题二三角函数与平面向量 051