精品解析：陕西榆林市靖边中学2025-2026学年第二学期第一次月考试卷高一数学

靖边中学2025级2025~2026学年度第二学期第一次月考试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 3. 在中，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知向量与不共线，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，下列说法错误的有（ ） A. 温度、海拔、角度都是向量 B. 零向量没有方向 C. 若是等边三角形，则与的夹角为 D. 若向量与共线，且，则 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 13. 已知为虚数单位，且，则______. 14. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 17. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为. （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2025级2025~2026学年度第二学期第一次月考试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 3. 在中，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设外接圆的半径为，则，则外接圆的面积为. 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 5. 已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】用坐标表示合力，再结合向量数量积坐标运算求解即可. 【详解】依题意，， 所以合力对质点所做的功为. 6. 已知向量与不共线，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故A错误； 对于B，因为，所以，又， 所以，且点为公共点，故三点共线，故B正确； 对于C，因为，所以，又， 所以不存在常数，使得，即三点不共线，故C错误； 对于D，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故D错误. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 8. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则由题意可设，，有，再利用向量夹角公式与基本不等式计算即可得解. 【详解】设，则由，，可设，， 则，即，则 ， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，下列说法错误的有（ ） A. 温度、海拔、角度都是向量 B. 零向量没有方向 C. 若是等边三角形，则与的夹角为 D. 若向量与共线，且，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误； 选项B：零向量的方向是任意的，故B错误； 选项C：等边三角形的角均为，则与的夹角为， 故C正确； 选项D：向量不能比较大小，故D错误． 10. 记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】在中，已知角和边，利用正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形内角和定理与正弦函数的值域，逐一分析不同值对应的角的解的个数，从而判断三角形解的情况. 【详解】对于A：由正弦定理，得，所以，当时，， 又，所以，或，当时，，不合题意， 此时有且只有一个，A正确； 对于B：当时，，又，所以，或， 当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确； 对于C：当时，，又，所以，或， 此时有两个，C错误； 对于D：当，，此时不存在，D错误. 11. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出，根据“与共线的单位向量为”可求得结果. 【详解】与共线的单位向量为，且， 所以与共线的单位向量为或. 13. 已知为虚数单位，且，则______. 【答案】-1 【解析】 【详解】由得，即， 所以解得，所以. 14. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的对称性得出，再应用共线时周长最小，再应用余弦定理计算即可求值. 【详解】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接， 由图形的对称性知， 则， 的周长，当且仅当四点共线时取等号， ， 的周长的最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再解一元二次不等式组即可； （2）将复数代入方程即可. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得， 即的值为，的值为. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 【答案】（1） （2） 由及正弦定理得， 由（1）知，所以，即， 所以是等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理可得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 略 17. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为. （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算和，再代入夹角公式求解； （2）将展开，代入、和的值，得到关于的方程，进而求解 【小问1详解】 因为，且在上的投影向量为， 则，所以. 因为 ， 设向量与的夹角为，则， 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，则， 解得. 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可； （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解. 【小问1详解】 依题意，， ∴， ∴ 【小问2详解】 由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有， ， 在上递增， 所以，，，， 故的取值范围是． 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $