精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高三下学期数学统练4

2026高三下天津一中统练4 一、选择题（9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知且，则函数的图象不可能是（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 5. 已知正实数 满足，则 的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 6. （多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 7. 记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 8. 已知函数，，若，满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点 满足：，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每小题5分，共30分） 10. 若，则的值为__________. 11. 若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 12. 已知实数满足，则的最大值为__________. 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为___________.在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率是___________. 14. 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则 的取值范围是__________，的最小值是__________． 15. 已知，若函数在区间上有且只有一个零点，则的取值范围为___________. 三、解答题（5大题，共75分） 16. 记的内角，， 的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点， ，，求的周长. 17. 如图，在三棱锥 中，平面平面 是边长为2的等边三角形，． （1）证明： ； （2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 18. 已知椭圆，是椭圆 的左右焦点，为椭圆上的一点.以为圆心，半径为2的圆与轴相切于，并与轴交于 两点，为等边三角形． （1）求椭圆 的方程； （2）已知圆，为圆上的一点，过点的切线交椭圆 于两点，请问是否为定值，并给出理由. 19. 已知，集合其中. （1）求中最小的元素； （2）设，，且，求的值； （3）记，，若集合中的元素个数为，求. 20. 已知曲线在点处的切线为． （1）求直线的方程； （2）证明：除点外，曲线 在直线的下方； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高三下天津一中统练4 一、选择题（9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由子集和补集定义结合交集定义即可分析求解. 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A 2. 已知且，则函数的图象不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性和极小值的范围即可确定结果. 【详解】当时，，又因为，所以， 而，那么. 对函数求导得，令， 对求导得，因为 ，所以 ，即在上单调递增. 又因为，所以由零点存在定理可知， 存在，使得，即此时，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极小值，也是最小值. 将代入上式可得. 令，求导得. 当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递增，在上单调递减，所以.. 当时，，所以选项A的图象不可能，B图象可能. 当时，，所以D图象可能. 当时，，所以C图象可能. 3. 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是奇函数时， 因为， 所以是偶函数. 当是偶函数时， ，而， 所以， 当是偶函数时，显然成立， 所以是偶函数成立，不一定能推出是奇函数， 所以“是奇函数”是“是偶函数”的充分不必要条件， 故选：A 4. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D: 因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 5. 已知正实数 满足，则 的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合法求解. 【详解】由， 令， 在同一坐标系中作出其图象，如图所示： 由上图可知，选项ABC都成立，D不成立. 故选：D 6. （多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（ ） A. 以频率估计概率，有 B. 以频率估计概率，有 C. 若取，可以认为疗效与疗法独立 D. 若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：ABD 7. 记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 当 时，，所以不成立，故 不符合题意； 当 时， ， 因为，所以，或舍去， ， 因为，所以，且， 所以，所以， 因为且， 所以. 故选：B 8. 已知函数，，若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意与二倍角公式求出，即，再结合与图象的对称性求解即可. 【详解】令 ，得， 即，解得或． 若，则， ， 与矛盾，故舍去，则， 结合，得，即， 由于，的最小正周期均为，故只需考虑区间即可，如图作出图象， 由于图象的一条对称轴为，则， 又由于图象的一个对称中心为，得到． 故选：D 9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题设条件得到，，再利用在椭圆上，得到，即可求出结果. 【详解】如图，设，，则直线的方程为， 令，得到，所以， ，因为， 所以，得到，故， 又，所以，得到， 又，所以，得到①， 又因为在双曲线上，所以②，又③， 由①②③得到，所以， 解得或，又，所以，得到， 故选：D. 二、填空题（6小题，每小题5分，共30分） 10. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 11. 若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，用含的表达式表示，用代数的方法求出其最小值即可. 【详解】由题意，圆的半径 ， 由直线与圆相切，故连接,有， 即，当 时取等号， 故. 12. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造向量，根据数量积的定义和性质可求最大值. 【详解】， 设向量，则， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为, 故答案为：. 13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为___________.在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分步计数原理求出取出四个球的总情况数，利用排列组合公式先选再排求出恰有3个不同整数的情况数即可；分取到两个3和取到一个3两种情况求出在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的情况数，利用古典概型求解即可. 【详解】放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，所有可能的结果共有种， 其中这列数中恰有3个不同整数有种，从而这列数中恰有3个不同整数的概率为， 在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3共有种情况， 从而在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率. 14. 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则 的取值范围是__________，的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定 的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解． 【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径， ，即， 解得， ， 为的角平分线， ， ， ，即； 设， 则， ， ， ， ， ，， 故当，即时，取得最小值． 故答案为：；． 15. 已知，若函数在区间上有且只有一个零点，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数在区间上有且只有一个零点转化为方程在上有且只有一个解，然后分别分析函数与的性质，通过图象的交点情况来确定的取值范围. 【详解】函数在区间上有且只有一个零点， 在区间上有且只有一个解， 在区间上有且只有一个解， 设，， 则问题转化为与的图象在上有且只有一个交点， 的最小正周期为， 在内，的图象为一个周期内的图象， ，， 当时，即时，是单调递增函数； 当时，即时，是单调递减函数； 当时，即时，是单调递增函数； ，. 的图象是将函数的图象向右平移个单位，再向上平移 个单位得到的， 与的图象在上有且只有一个交点， 或或或， 其中（无解舍去）； 由，可得，又，则得； 由，可得，又，解得， 由，结合，解得， 综上可得，. 三、解答题（5大题，共75分） 16. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点， ，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. 【小问2详解】 如图： ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 17. 如图，在三棱锥 中，平面平面 是边长为2的等边三角形，． （1）证明： ； （2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 【答案】（1）在中， ， 由余弦定理可得： ， 则 ，所以有，则 由平面平面，平面 平面， 且， 平面，则 平面 ， 又 平面 ，则 . （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，据此可得线线垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点分别为 ，连接 由为正三角形知， ， 结合（1）中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 ， 可得 设 ，则 ，且 ， 可得 由，解得或（舍去）， 则 ，且 故点到直线的距离 18. 已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点.以为圆心，半径为2的圆与轴相切于，并与轴交于 两点，为等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知圆，为圆上的一点，过点的切线交椭圆于两点，请问是否为定值，并给出理由. 【答案】（1） （2）为定值，该定值是 【解析】 【分析】（1）根据题意可得轴，，再结合的边长为2，得到一个关于的方程组，解方程组即可； （2）首先考虑切线斜率不存在时可得到，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线和椭圆，根据韦达定理得到，进而得到 ，. 【小问1详解】 由题意可知轴，则， 由，得正的边长为2， 得，即，，，， 解得，，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 当过点且与圆相切的切线斜率不存在时， 不妨设切线方程为， 代入椭圆的方程得，， 所以，， 可得， ， 此时； 同理可得，切线方程为时，； 当过点且与圆相切的切线斜率存在时， 可设切线方程为，再设 ， ， 联立切线和椭圆的方程，得， 其中，，，， 因为，， 所以 ， 再根据圆心到切线的距离等于半径可得，即， 所以， 因此 ，, 综上，为定值，该定值是. 19. 已知，集合其中. （1）求中最小的元素； （2）设，，且，求的值； （3）记，，若集合中的元素个数为，求. 【答案】（1）7 （2）或10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义，确定中最小的元素即可； （2）根据集合中的元素可得，设，，分别讨论当时，当时，当时，的取值情况，即可得结论； （3）设，则，其中，，所以，根据组合数的运算性质确定与的关系，即可求得的值. 【小问1详解】 中的最小元素为. 【小问2详解】 由题得，设，. ①当时，或或或或或. 经检验，当 时，，符合题意， 所以 . ②当时，或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ③当时，不符合题意. 因此，或10. 【小问3详解】 设，则，其中， ，所以， 设，则. 因为， 所以 . 因为， 所以，所以， 又因为，所以. 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点： （1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合中的元素性质； （2）确定集合中的元素个数为时，结合组合数的运算性质确定与的关系. 20. 已知曲线在点处的切线为． （1）求直线的方程； （2）证明：除点外，曲线在直线的下方； （3）设，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：令，则， 令，则， 由，解得 ，由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当等号成立， 所以除切点之外，曲线在直线的下方． （3）证明：由，解得，解得 ， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，． 因为，则 ，不妨令． 因为曲线在点的切线方程为， 设点在切线上，有，故， 由（1）知时，， 则，即， 要证：， 只要证：， 只要证：， 又， 只要证：， 令， 则， 易证在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减，所以成立， 所以原命题成立． 【解析】 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义写出切线方程； （2）令，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以，当且仅当等号成立，得到证明； （3）求导得到的单调性，结合函数图象得到 ，不妨令，结合曲线在点的切线方程为，得到，转化为证明，又，只要证，令，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以直线的方程为：，即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到，且，从而只需证明，再勾股函数进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $