精品解析：天津市第一中学2026届高三下学期数学统练试题（1）

天津一中2025-2026-2高三数学统练1 一､选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ） A. 112.5 B. 115 C. 142.5 D. 145 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （ ） A. B. C. D. 9. 已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图像的一条对称轴 B. 点是函数图像的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 二､填空题 10. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 11. 已知的展开式中常数项为，则的展开式中的系数为__________. 12. 已知直线关于对称的直线与圆相离，则的范围为是__________ 13. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星､小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件A：“选中奇数编号目标”（对应具有稀有金属开采价值的天体） 事件B：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件C：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有__________. ① ② ③ ④ 14. 在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________ 15. 定义在上的函数满足,且当时，.若关于的方程在至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是__________. 三､解答题 16. 在中，角所对的边分别是.已知的面积为. （1）求角； （2）若， （i）求边的大小： （ii）求 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，. （1）求证：平面PAD： （2）设点G是的重心. （i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值； （ii）设平面，求. 18. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． （1）求数列、的通项公式； （2）将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 19. 离心率为椭圆的左、右焦点分别为、，过作垂直于x轴的直线被圆所截的弦长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）P是圆O上任意一点，过P作椭圆C的两条切线PM、PN，M、N为切点. （ⅰ）证明：PM⊥PN； （ⅱ）作PQ⊥MN于Q，判断是否为定值？若是求出其定值，若不是请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）设，且. （i）证明：数列是递减数列； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-2高三数学统练1 一､选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先列举法求出集合，再根据并集的定义求即可. 【详解】解方程得， 所以. 又，所以. 故选：C. 2. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ） A. 112.5 B. 115 C. 142.5 D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解. 【详解】将数据从小到大排列：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150， 因为，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第25百分位数，即115. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题干和对数函数单调性可以判断A；根据和基本不等式可以判断B；结合同底的对数运算可以判断C；结合选项B和基本不等式可以判断D. 【详解】根据题意，可得，且. 选项A：由，得，即，故错误； 选项C：，不满足，故错误; 选项B：且，由和基本不等式可得， 即，故正确； 选项D：， 由得，，即，故错误. 4. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式展开结合三角形的内角特点可得充分性成立，通过举反例说明必要性不成立即得结论. 【详解】因，， 由可得， 因为是三角形的内角，所以，所以， 则可得或（不合题意，舍去），故为等腰三角形， 即由“”可得“为等腰三角形，故充分性成立； 若为等腰三角形，可能有，不一定有， 例如，为等腰三角形，但是， 所以必要性不成立.故“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件. 故选：A 5. “心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的对称性，结合“心形”图形横坐标的取值范围、函数的最大值逐一判断即可. 【详解】因为由图象可知“心形”在轴上方部分是关于纵轴对称的， 所以“心形”在轴上方部分对应的函数是偶函数, 且定义域为，且值域为. A：由，所以本选项函数的定义域为， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意； B：令， 因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； C：由， 所以本选项函数的定义域符合题意， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， 又， 当时，即当时，该函数有最大值，因此该函数的值域为， 因此本选项函数解析式符合题意； D：，不符合题意， 故选：C 6. 已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定球心的位置，在正四棱锥中，球心在高线上，再利用等体积法，求解内切球的半径； 【详解】 ； 其中，， 由于 ； 则，； 故选：B. 7. 如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则可表示出，进而可得，可求得，进而求得的范围即可求得答案. 【详解】由题意得双曲线的焦距，实轴长, 设， ，， ，则， 在△与△中：， 即：， ， 假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为， 则，则， 在△中：，则可得； 假设直线l的斜率为0，此时， 由此结合题意可得，则，. 故选：B. 8. 已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出的通项公式，再根据，利用累乘法求出时的表达式，验证，即可确定的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知是公比为的等比数列，， 则； 故当时，， 则， 当时，也适合上式， 故，则. 故选：A 9. 已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图像的一条对称轴 B. 点是函数图像的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 【答案】D 【解析】 【分析】求出的周期，即可求出的解析式，根据三角函数的图象变换性质求出的解析式，判断是否等于即可判断选项A；判断是否等于0即可判断选项B；由求出的范围，结合原正弦函数的单调性即可判断C；由，求出的范围，结合原正弦函数的值域即可判断D. 【详解】因为的图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以的周期为， 所以，解得，故， 现将函数的图象向左平移个单位长度得， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 对于A，， 所以直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，因为，所以，所以函数在上不单调递增，故C错误; 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以函数在上的值域是，故D正确. 故选：D. 二､填空题 10. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长、复数除法公式、复数的虚部的概念即可得结论. 【详解】由可得：， 故复数z的虚部为. 故答案为：. 11. 已知的展开式中常数项为，则的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，结合题意根据二项式定理计算求解. 【详解】的展开式为， 令，得， 由题意可得，解得， 令，得，则 所以的展开式中的系数为. 12. 已知直线关于对称的直线与圆相离，则的范围为是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对称求出直线的方程，利用直线与圆相离求范围. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ，，且， ，即， 直线， 圆，即， 圆心，半径，， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离， ，即，又，解得. 故答案为：. 13. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星､小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件A：“选中奇数编号目标”（对应具有稀有金属开采价值的天体） 事件B：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件C：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有__________. ① ② ③ ④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意求解每个事件包含的样本点，进而求解对应事件的概率，根据独立事件概率公式、条件概率公式逐项计算分析即可求解. 【详解】总共有12个等可能的样本点， 事件的样本点有，共6个，所以， 事件的样本点有，共6个，所以， 事件的样本点有，共4个，所以. 对于①：事件，共3个样本点，所以， 所以，等式成立，①正确； 对于②：由题，， ，等式成立，②正确； 对于③：事件，共8个样本点，则事件，有个样本点， 因此； 所以，等式不成立，③错误； 对于④：事件，则； 又，等式成立，④正确. 14. 在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号， 而，所以． 故答案为：①；②． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，，满足， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：①；②． 15. 定义在上的函数满足,且当时，.若关于的方程在至多有三个不同的解，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】该题要通过数形结合来解决，通过观察函数解析式和画函数图象来发现规律，如注意到二次函数过定点,并在图象上发现该二次函数与至少有两个交点，再去研究什么情况下至多再有一交点，即可得出结论. 【详解】 设, 因为, 根据零点存在定理，存在,使得 同理，, 根据零点存在定理，存在,使得. 因此，要使与至多有三个交点，结合图象可知，当时,与的函数图象应相切或没有公共点， 即在上恒成立. 当时，则 恒成立, 因为,因此可参变分离得恒成立,下求的最大值. 因为, 考虑的情况即可.令,则 当且仅当时，取到等号. 因此， 故答案为：. 三､解答题 16. 在中，角所对的边分别是.已知的面积为. （1）求角； （2）若， （i）求边的大小： （ii）求 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式计算求解； （2）（i）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解；（ii）根据正弦定理、同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和余弦公式计算求解. 【小问1详解】 在中，， 所以，故， 所以，即， 因为，所以，； 【小问2详解】 （i）因为，所以， 由余弦定理可得，解得； （ii）由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，， 所以， ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，. （1）求证：平面PAD： （2）设点G是的重心. （i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值； （ii）设平面，求. 【答案】（1） 在中，由余弦定理得， 即，则，可知， 因为平面ABCD，平面ABCD，则， 且，平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD. （2）（i）（ii）6 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，进而证明线面垂直； （2）（ⅰ）建系标点，求平面PBD的法向量，利用空间向量求线面夹角；（ii）设，法一：根据向量共线列式求解即可；法二：根据线面关系结合空间向量运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 因为G是的重心，则， 可得，， 设平面PBD的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）设，则， 法一：因为平面PBD，且，不共线， 所以存在实数m，n，使得， 可得，解得，所以； 法二：由（ⅰ）知平面PBD的法向量为， 则，解得， 所以. 18. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． （1）求数列、的通项公式； （2）将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②， ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. 【小问2详解】 因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 19. 离心率为椭圆的左、右焦点分别为、，过作垂直于x轴的直线被圆所截的弦长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）P是圆O上任意一点，过P作椭圆C的两条切线PM、PN，M、N为切点. （ⅰ）证明：PM⊥PN； （ⅱ）作PQ⊥MN于Q，判断是否为定值？若是求出其定值，若不是请说明理由. 【答案】（1） （2） （ⅰ）设，则，过点P的直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程，消去y得：，展开并整理得. 因为直线与椭圆相切，所以，化简得. 设直线PM、PN的斜率分别为，，则，是上述方程的两个根，根据韦达定理 ，所以. 当直线PM、PN中有一条直线的斜率不存在时，不妨设直线PM的斜率不存在，则PM的方程为. 当时，代入圆的方程得，此时或. 若，则直线PN的斜率为0，满足； 若，同理可得. 当时，同理可证. 综上，得证. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式求出，结合离心率求出，可得椭圆标准方程； （2）（i）设，切线，联立切线方程与椭圆方程，消元后由 得，从而得PM⊥PN；当切线的斜率有一个不存在时，求出此时的点以及直线，同样得证； （ii）先求得切线方程为，利用切线都过得直线的方程，由垂直得直线方程，从而可得点坐标，再利用在圆上，可得点轨迹方程，判断其为椭圆，焦点也是，得定值．当切线的斜率有一个不存在时，求出点坐标后也在上述椭圆上，从而证得结论． 【小问1详解】 由题意，弦长为，则 由于，则. . 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）当切线的斜率都存在时，设 ， 切线方程为 ， 由（i）得， 又点在椭圆上，得 ， 代入得 ， 即， 切线方程为 ， 又过点，则， 所以直线方程为， 由 得直线方程为， 联立直线方程与直线方程，， 解得， 代入直线方程得， 由得Q点轨迹方程为， 则Q点恰好在以为焦点，半长轴长为的椭圆上， 当切线的斜率有一个不存在时， 如斜率不存在，则， 直线方程为 方程为 ， 可解得点也在椭圆上， 若，同理， 故. 20. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）设，且. （i）证明：数列是递减数列； （ii）证明：. 【答案】（1） （2） 因为，由（1）知，当时，. （i）证明：因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 以此类推，. 因为， 令，则，当时，， 所以在单减，即，即， 所以，所以. 所以，所以，故数列是递减数列. （ii）证明：由题意， 下证： 因为，只需证，即证. 令， 则， 由（i）知，当时，，所以，所以在上单调递增， 又，故对任意的. 所以，即， 所以，原题得证. 【解析】 【分析】（1）将题设等价转化为当时，构造函数，则题设等价于，利用导数工具分、、三种情况分析函数的函数值情况即可求解； （2）先由（1）知，，若时，.（i）进而证明，接着作差得到，利用导数工具证明得到即可求证.（ii）先由题意得到，接着证明，再逐步放缩即可求证原题. 【小问1详解】 当时，，即， 令，则， 当时，因为，所以，即在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 则，不合题意； 当时，令，解得，此时在上恒成立， 所以在上单调递增，所以恒成立，符合题意. 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $