精品解析：天津市第一中学2026届高三下学期数学统练5试题

天津一中2025-2026-2高三数学统练5 一、选择题： 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】求集合： ， 由，得，即， 又，，故. 求集合： ， 由，得，故. 所以. 2. 已知直线，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先验证充分性，即代入判断两直线是否平行；再求解必要性，通过两直线平行的系数关系求出所有满足的值，验证是否为唯一解，从而判断条件关系. 【详解】当时，直线，即；直线， 即，两直线斜率均为0且不重合，故. 若，则，展开得， 整理得，解得或. 当时，，即；， 即，两直线平行且不重合，满足条件. 因此，可推出，但不能仅推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知 是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性直接计算得到答案. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 4. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可构造函数，利用导数求得单调性，取 ，得到大小关系；再根据对数函数单调性和临界值得到大小关系即可. 【详解】设，则， 在上单调递减，，， 在上单调递减，，，； ，，； 综上所述：. 6. 已知抛物线 ：的焦点为，.若 上存在点，使得，且 的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，则，从而. 又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为， 由抛物线定义可得，则， 从而. 7. 已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定函数的解析式，再利用正弦函数单调性求解即可. 【详解】由题可得，令， 整理得，结合，得时，. 此时. ， 令，解得， 当时，的一个单调递增区间为. 8. 已知空间四边形 的各边长均为6，且 ，平面平面，点 在边上，且，过 作四边形 外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合球的性质分析可得 平面， 平面，求出即可得球的半径，根据球的截面性质可得，结合题意分析运算. 【详解】由题意知和 为等边三角形，取 中点E， 连接，，则，因为平面平面， 平面 平面，平面， 所以平面，同理可证：平面， 设 外接球的球心为O，半径为R， 分别取、 的中心、，连接， 则 平面， 平面， 所以，，则为平行四边形， 由题意可得：， 又因为 平面， 平面，所以， 故， 连接，因为，即， ，则H，O，M三点共线， 所以， 设过M作四边形 外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d， 则，即， 因为， 所以当时， 取到最小值，截面的面积最小为. 故选：C. 9. 已知双曲线（， ）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则 OMN的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率结合四边形ABCD的面积为，可得，将直线与渐近线方程联立可得M，N两点坐标，由可得直线l与x轴交点Q的坐标，最后由结合为双曲线C上任意一点得答案. 【详解】因，则. 将 代入双曲线方程，则. 则，则由对称性可得，则，. 由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为. 从而.则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立， 可得或， 则，. 令，可得直线l与x轴交点为. 则. 因为双曲线C上任意一点，则. 则. 故选：D 二、填空题： 10. 已知复数 在复平面内对应的点为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合，利用周期性即可求解． 【详解】由题意可知，又因为， 所以． 11. 展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项，然后赋值求得，即可求解常数项. 【详解】展开式的通式为， 令，得，所以常数项为． 故答案为： 12. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式即可求解. 【详解】记事件“第次取到红球”， 则， ， 所以， 即第2次取到红球的概率为； ， 所以， 即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为. 故答案为：；. 13. 已知首项为1的数列的前 项和为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由数列的递推公式求得数列特征，再求和即可. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，为公比的等比数列；其偶数项是以为首项，为公比的等比数列. 所以 ， 故答案为：. 14. 在中，点是上的点，平分面积是 面积的2倍，且，则实数 的取值范围为________；若的面积为1，当最短时，______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过作 交延长线于，由题设易得、 、，在△中应用三边关系求 的取值范围，若，由三角形面积公式得，且得，进而可得，应用余弦定理得到关于 的表达式，结合其范围求最小时 对应值即可. 【详解】由面积是 面积的2倍，即， 如上图，过作 交延长线于，又平分， 所以，即 ，且，故， 若，又，则且，， △中，，可得，故； 由角平分线性质知：，则， 若，则， 又，即，则，故， 所以，可得， 由， 令，则， 所以时，即，此时，即. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：注意过作 交延长线于，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到关于 的表达式是求最值的关键. 15. 已知方程恰有4个不同的实数解，则正实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将方程解的个数问题转化为函数图象交点个数求解，结合 的对称性，根据单调性变化分类讨论确定分段函数各段解析式，再结合图象求解可得. 【详解】令， ，图象关于对称， 其中，. 如图作出函数的图象. 图象关于直线 对称， 其中. 当时， ， 又当时，由可知， 在单调递增， 由 关于直线 对称，则 在单调递减， 故. 当时，令， 解得， 故函数的图象必与直线有个交点， 当时，，令， 解得，. ， . 由及，均解得. ①当时，， 故此时函数 的图象在上与的图象有两个交点； 再令， 得方程，由， 由时，，方程无解； 且， 故此时函数 的图象在上与的图象无交点； 因此，当时，方程有2个不同的实数解，不满足题意； ②当时，，又， 故此时函数 的图象在上与的图象只有一个交点； 要使方程恰有4个不同的实数解， 则需函数 的图象在上与的图象恰有个交点， 又 在上单调递减， 令， 方程在上至多个交点， 所以方程在上至少有个交点， 则，解得，不满足条件， 故当时，不满足题意； ③当时，， 分别作出图象可知，两函数图象此时有两个交点，不满足题意； ④当时，， 此时 在上单调递增，且在上也单调递增， 故 在 上单调递增； 由对称性可知 在上单调递减； 又， 结合图象可知，两函数图象有个交点，不满足题意； 若，则， 故 在上单调递减；在上单调递增； 在上单调递减； 在上单调递增；在上单调递减， 在上单调递增. 当时，； 由 关于直线 对称可知， 则当时，， 其中，， 由解得. 由解得. ⑤当时，，， 当时，即； 由 关于直线 对称可知， 则当时，； 结合 的单调性，由的图象可知， 此时 与的图象有个交点，不满足题意； ⑥当时，此时， 当时，令 得，解得，且， 故 在内无解； 又， 结合函数单调性作出 与图象，可两图象有个交点，不合题意； ⑦当时，当时，由，，且， 故的图象在内有个交点， 当时， 令，化简得， 解得，又由，， 故 ，在内无交点； 结合函数 单调性与图象， 可知 在与内各有个交点； 综上可知 与的图象有个交点，满足题意； ⑧当时，， 且， 又， 且，， 分别作出函数图象， 与图象有个交点，不合题意； ⑨当时，， ， 令，可得，， 由上同理可知， 故 与的图象在与内各有一个交点； 又， 故结合 单调性与图象可知， 故 与的图象在与内都没有交点， 故当时，的图象有个交点，不合题意； 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题： 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S， . （1）证明： ； （2）若 ，求内角A的大小. 【答案】（1）在中， ， 因为 ，即 ， 且 ，则 ， 则，即 ， 又因为 ，则 ，即 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 ，则，且 ， 由余弦定理可得， 且 ，所以 . 17. 如图，已知平行六面体，底面 为菱形，，， ，点在底面 内的射影为的中点. （1）求证： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连结 ，因为底面 为菱形，所以与 交于点，且 ， 因为点在底面 内的射影为的中点，所以 底面 . 因为 底面 ，所以 ， 又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又平面 ，所以 . 由平行六面体易知，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）连结 ，可得 ， 底面 ，进而得到 ，可得 平面 ，可得 ，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以 、、所在直线分别为轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 因为底面 为菱形，， ，易知 ，， 在 中，由勾股定理，得 ， 易知 ， ， ， ， ， ， ， 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则即 令 ，则， ，所以 ， 设直线与平面 所成角为 ， 则. 18. 已知椭圆E：（）的左、右顶点为， ，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． （1）求椭圆E的方程； （2）求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，确定椭圆的参数，求出标准方程. （2）设出直线方程和点的坐标，根据韦达定理得出两点横纵坐标的关系，根据点到直线的距离公式，求出四边形的高，在使用弦长公式求出底边长，表示出四边形的面积，求出面积的最大值. 【小问1详解】 由已知得 ，，则， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S， 利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半． 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：， 代入E：，整理得，显然， 设 ，，则， 于是， ， 点到直线l：的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 当时，等号成立，此时． 19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列 满足． （1）求，的值． （2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【答案】（1）， （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，，利用给定的定义即可求出，； （2）①按，分段讨论的取值，即可求出；②利用①的结论，结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证． 【小问1详解】 由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以． 【小问2详解】 ①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而， 则当时，，设，， 此时，即，； 当时，，设，， 此时，即，， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以． ②由，得，则为递增数列，且， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有． 20. 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且 ，证明： . 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2）证明：. 令，，设 ，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边： . 证明：设 ，. 则， 因为，设 于是 . 所以 在上单调递增，故 ，从而在上单调递减，所以 ，即 . 又 ，且，所以. 又因为 ， ，且 在上单调递增， 所以，故 . 再证明右边不等式：. 证明：有 ，可得，，所以. 令 ，， ，其中 ， . 当 时，显然有. 下面讨论 的情形. 因为 ，易知当 时，；当时，. 所以在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 . 记， ，则. 记 ，则 . 记 ，则 ， 所以 在 上单调递增，得 ，所以 ，故 在 上单调递减， 所以 ，即 ，所以在 上单调递减，故 ，得证. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中 ，根据所设函数 ，，证明 ，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【小问1详解】 因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当 时， 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-2高三数学统练5 一、选择题： 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线 ：的焦点为，.若 上存在点，使得，且 的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间四边形的各边长均为6，且 ，平面平面，点在边上，且，过作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线（， ）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则 OMN的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题： 10. 已知复数 在复平面内对应的点为，则__________． 11. 展开式中的常数项为______． 12. 盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____. 13. 已知首项为1的数列的前项和为，若，则__________． 14. 在中，点 是上的点，平分面积是面积的2倍，且，则实数 的取值范围为________；若的面积为1，当最短时，______. 15. 已知方程恰有4个不同的实数解，则正实数的取值范围是_____． 三、解答题： 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S， . （1）证明： ； （2）若 ，求内角A的大小. 17. 如图，已知平行六面体，底面为菱形，，， ，点在底面内的射影为的中点. （1）求证： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知椭圆E：（）的左、右顶点为， ，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q． （1）求椭圆E的方程； （2）求四边形的面积的最大值． 19. 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列 满足． （1）求，的值． （2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 20. 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且 ，证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $