7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 复习引入 1.古人打猎，1人打了6只野兔，随之产生了自然数； 3人打了2头野猪，便产生了有理数； 为求等腰直角三角形的斜边长，于是诞生了无理数； 为解判别式△＜0的一元二次方程，如+1=0，瑞士数学家欧拉引入了虚数单位i，于是数系扩充到复数范围. 2.数系扩充的原则是什么？ 3.方程+1=0在实数系范围内无法求解，因为-1在实数范围内不能开平方，那在复数范围内如何解呢？ 2. 数系扩充的原则是什么？ ①增加新元素； ②原有运算性质仍成立； ③新的数可以解决旧数不能解决的问题. 3.方程+1=0在实数系范围内无法求解，因为-1在实数范围内不能开平方，那在复数范围内如何解呢？ 矛盾冲突到一定的阶段，就有必要引入新的数集了，为了解决方程+1=0没有实根的矛盾，引入一个新数i，使得=-1.那么，这个数有哪些特征呢？ 教材导学 阅读教材： 1.虚数单位 i 的运算性质是什么？ 2.复数，复数集，复数的实部与虚部，虚数，纯虚数的概念是什么？ 3.什么叫做两个复数相等？ 4.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间的相互关系如何？ 1.虚数单位 i 的运算性质是什么？ 2.复数，复数集，复数的实部与虚部，虚数，纯虚数的概念是什么？ ① ② i 与实数可进行四则运算，且原运算律都成立. ①复数： ②复数集： ③实部与虚部： ④虚数与纯虚数： 形如+bi（,b∈R)，i是虚数单位 全体复数构成的集合C=+bi ∣ ,b 复数Z+bi（,b∈R)，与b分别叫做Z的实部与虚部. 对于复数+bi（,b∈R)，b≠0时，它叫做虚数，当且b≠0时，它叫做纯虚数. 注：当且仅当b=0时，它是实数， 当且仅当时，它是实数0. 3.什么叫做两个复数相等？ +bi与c+di相等当且仅当=c且b=d,即 4.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间的相互关系如何？（复数Z= +bi） 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 拓展探究 1.虚数能比较大小吗？ 2.∈R,＞0，方程+=0的解是什么? 3. (n∈N)的周期性是什么？ X=i 虚数不能比较大小，两个虚数只有相等和不相等两种关系. 1, , -1,=-i,=1. 巩固应用 例1 当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 解：(1)当，即时，复数是实数. (2)当，即时，复数是虚数. (3)当，且时，即时，复数是纯虚数. 例2 已知复数＝4－＋（m－2）i， ＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若为纯虚数，求实数m的值； （2）若＝，求实数λ的取值范围. 解：(1)∵z1为纯虚数，∴,解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2；当sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 例3 当为何实数时，复数. (1)是虚数； (2)是纯虚数. (2)当即或时，是纯虚数. 解：(1)当即时，是虚数. 例4 已知为虚数单位，则______. ① ②的幂具有周期性，周期为4 -1-i 小结 1. 将实数集扩充到复数集是源于解方程的需要，到19世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，并形成一个独立的数学分支. 2. 复数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成+bi（ b∈R）的形式. 3. 复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如≥0.在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题. 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 复数用字母表示，即. 当时，它是实数； 当时，它叫虚数； 当且时，它叫做纯虚数. 若复数，则且. 为的实部，为的虚部. 自然数集 整数 集 有理 数集 实数 集 复数 集 实数 虚数 纯虚数 复数C R 作业 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 $