精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年高二下学期4月学习能力摸底数学试题

重庆市第十八中学2025—2026学年（下）4月学习能力摸底 高二数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 2. 若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值，无极小值 B. 函数有极小值，无极大值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图像分析出导函数的增减区间，进而分析出极值即可选出答案. 【详解】由函数的图象可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数有极大值，和极小值，C正确. 3. 若函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， ，其中是常数， 所以 ，整理得：， 所以， 所以. 4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24 B. 32 C. 52 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，分这个三位数的末尾数字为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【详解】当这个三位数的末尾数字为0时，只需从1，2，3，4，5，这5个数字选两个数字排到百位与十位上，有个没有重复的三位数； 当这个三位数的末尾数字不为0时，先从2，4，这两个数字中选一个排在个位，有种情况； 再排百位，由于百位不能为0且不能与个位数字重复，有种情况； 最后排十位，从剩下的4个数字中任选一个，有种情况； 所以，根据分步乘法计数原理，共有个没有重复的三位数， 综上，满足题意的偶数有52个. 5. 若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，求出切线方程并化简，令判别式大于0，即可求得结果. 【详解】对函数求导得，设切点坐标为 ， 则切线方程为 .因为切线经过原点， 将  代入得 ，即 . 而，那么，化简得， 由于曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线， 所以判别式，解得或. 6. 已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ） A. 36种 B. 52种 C. 88种 D. 92种 【答案】D 【解析】 【分析】有2名演员既会京剧也会豫剧，分既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中讨论，结合组合知识可得答案. 【详解】分析可得：有2名演员既会京剧也会豫剧，称为能手 （1）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中， 此时只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择3人，共种选择； （2）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人，有种选择， 此人去进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择3人， 有种选择， 此人去进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择2人， 有种选择， 此时共有种选择； （3）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中， 2人均进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择1人，只会唱豫剧的4人选择3人， 有种选择， 2人均进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人选择3人，只会唱豫剧的4人选择1人， 有种选择， 2人有1人进行唱京剧，1人进行唱豫剧，有种选择， 再从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择2人，有种选择， 此时有种选择， 所以若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，有种选择， 综上：共有种选择. 故选：D. 7. 已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据的取值分成，和三类情况，讨论函数的单调性，根据极值情况分析判断即得. 【详解】因的定义域为， 求导得， 若，则，由可得，由，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在处取得极小值，符合题意； 若，则由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意； 若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 若，则由可得或，由，可得， 即此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，所以A正确； 是常数，所以，所以B不正确； ，所以C不正确； ，所以D正确. 10. 已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中二项式系数最大项为 D. 展开式中系数最大的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项AB，利用通项公式求解；选项C，由可知展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项，利用通项公式求解；选项D，设项为展开式中系数最大的项，则的系数的系数，且的系数的系数，利用通项公式求解. 【详解】选项A，的展开式中的第5项为 ， 此二项式的展开式中的第5项的系数为， 的展开式中的第4项为 ， 此二项式的展开式中的第4项的系数为， 第5项与第4项的系数之比为， ，，， ，故选项A正确； 选项B，展开式的通项， 令，解得， 则，故选项B正确； 选项C，，展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项， 第5项为， 第6项为， 故展开式中二项式系数最大项为或，故选项C错误； 选项D，设项为展开式中系数最大的项， 则的系数的系数，且的系数的系数， ， 的系数为， ， 的系数为， ， 的系数为，， ，， ， ，，，， ， 展开式中系数最大的项为， 故选项D正确. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的展开式，从而求出的展开式中的系数. 【详解】因为二项式的展开式为： ， 又， 所以的展开式中的项是， 所以的展开式中的系数是. 故答案为：. 13. 设，当x∈[﹣1，2]时，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】（7，+∞） 【解析】 【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围． 【详解】解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝1或 当x∈时，f'（x）＞0， 当x∈时，f'（x）＜0， 当x∈（1，2）时，f'（x）＞0， ∴f（x）max＝{f（），f（2）}max＝7 由f（x）＜m恒成立，所以m＞f（x）max＝7． 故答案为（7，+∞） 【点睛】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题． 14. 组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______． 【答案】 【解析】 【分析】结合所给信息，构造，利用系数相等可求. 【详解】因为，则两个展开式中的系数也相等，在中的系数为，而在 中的系数为， 所以可得. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是求解关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求的极值． 【答案】（1）， （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）利用导数法求出单调性，利用单调性得到极值. 【小问1详解】 ，，， 在处的切线方程为，， ，，，， 处的切线方程为，，， ，故，. 【小问2详解】 ，， 当，即，解得或， 则在，上是单调递增函数， 当，即，解得， 则在上是单调递减函数， 故当时，取极大值，且极大值为， 当时，取极小值，且极小值为. 故的极大值为，极小值为. 16. 已知，其中，且展开式中仅有第4项的二项式系数最大． （1）求n的值； （2）求的值（用数值作答）； （3）若，求被7除的余数． 【答案】（1）6 （2）2916 （3）1 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质可得； （2）对两边求导，再令，可得的值； （3）由题可知，分析其展开式中的项，即可得其被7除的余数. 【小问1详解】 展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以展开式中共有项，所以； 【小问2详解】 对两边求导， 得. 令，得. 由（1）得，所以. 【小问3详解】 若，则. 因为在的展开式中，除末项外的其余各项均含有因数84，故其余各项的和能被7整除. 所以被7除的余数为. 17. 2026重庆市女子半程马拉松比赛于3月29日在两江新区北滨路举行，1.5万名国内外女性跑者齐聚重庆，我校教师也有多名马拉松爱好者参加．为了更好地服务运动员及国内外游客，组委会设置了司机、翻译、导游、礼仪四项志愿者服务项目．现有甲、乙、丙、丁等6名中学生志愿者，通过培训后，拟安排到四个项目进行志愿者活动，要求每个同学都要参加一个项目，且每个项目都要有人参加． （1）共有多少种不同的分配方案； （2）若甲不能担任司机，共有多少种不同的分配方案； （3）活动结束后安排6名同学站成一排拍照留念，要求甲乙相邻，且丙不站左端，丁不站右端，共有多少种不同的安排方案． 【答案】（1）1560 （2）1170 （3）156 【解析】 【分析】（1）根据题意，按3,1,1,1和2,2,1,1分组，再分配到4个项目即可； （2）根据题意，分甲单独一组，或甲和其他人同组，再按不同的分组进行分组分配求解即可； （3）根据间接法，先求甲乙相邻时的安排方式，再减去丙站左端，丁站右端，最后加上丙站左端且丁站右端即可. 【小问1详解】 6名志愿者分到4个项目，每个项目都有人参加，分组方式只有两种： 按3,1,1,1分组：先从6人中选3人作为一组，再分配到4个项目，有种不同的分配方案， 按2,2,1,1分组：先从6人中选2人，再选2人，再除以重复的分组，再分配到4个项目， 有种不同的分配方案， 所以，总的不同的分配方案为. 【小问2详解】 分两种情况讨论：甲单独一组，或甲和其他人同组。 情况1：甲单独一组（1人） 此时剩余5人分为3组，分组方式：3,1,1或2,2,1， 且甲不能去司机项目，甲有3个项目可选，再安排剩余3组到剩下3个项目； 按3,1,1分组，有种不同的分配方案； 按2,2,1分组，有种不同的分配方案； 情况2：甲和他人同组（组内人数为2或3） 甲所在组人数为2：先选1人和甲同组，剩余4人分为2,1,1，再分配项目（司机项目不安排甲）， 有种不同的分配方案； 甲所在组人数为3：先选2人和甲同组，剩余3人分为1,1,1，再分配项目（司机项目不安排甲）， 有种不同的分配方案； 所以，总的分配方案为：种不同的分配方案. 【小问3详解】 先把甲乙看作一个整体，共5个元素（甲乙整体、丙、丁、另外两人）， 相邻排列有种不同的安排方案， 减去不符合条件的情况： 丙站左端：甲乙整体+丁+另外2人，共4个元素，有种不同的安排方案； 丁站右端：甲乙整体+丙+另外2人，共4个元素，有种不同的安排方案； 丙站左端且丁站右端：甲乙整体+另外2人，共3个元素，有种不同的安排方案； 所以，满足题意的安排方案有种. 18. 已知函数，． （1）判断的单调性； （2）若，求的值； （3）已知，．若，证明：． 【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； 【小问3详解】 令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 19. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，记的极小值点为． （ⅰ）证明：存在唯一零点； （ⅱ）求证：． （参考数据：） 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设，，利用导数说明的单调性，即可得到恒成立，从而得到恒成立，即可得到的单调性； （2）（ⅰ）设，则可借助导数得到的单调性，结合零点存在性定理得到存在，使得，再借助零点存在性定理得到存在存在唯一零点；（ⅱ）要证，结合函数单调性，即只需证，即证，将用表示后消去，构造对应函数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 设，，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 当时，取得极大值，即最大值， 所以恒成立，即恒成立， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 又，设，，则， 当时，，所以单调递增， ，， 所以存在，使得， 当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增， 又且时，，， 所以存在唯一，使得，即存在唯一零点. （ⅱ）要证， 只需证， 即证， 因为， 所以， 所以 ， 设，则， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 当时，取得极大值， 所以，即成立，命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查借助导数研究函数的零点问题，其中零点不可求，关键点在于借助零点存在性定理确定存在零点，然后虚设零点，借助所得等式消去变量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2025—2026学年（下）4月学习能力摸底 高二数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 2. 若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值，无极小值 B. 函数有极小值，无极大值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 3. 若函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A. 24 B. 32 C. 52 D. 60 5. 若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ） A. 36种 B. 52种 C. 88种 D. 92种 7. 已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中二项式系数最大项为 D. 展开式中系数最大的项为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是__________. 13. 设，当x∈[﹣1，2]时，恒成立，则实数的取值范围为 . 14. 组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求的极值． 16. 已知，其中，且展开式中仅有第4项的二项式系数最大． （1）求n的值； （2）求的值（用数值作答）； （3）若，求被7除的余数． 17. 2026重庆市女子半程马拉松比赛于3月29日在两江新区北滨路举行，1.5万名国内外女性跑者齐聚重庆，我校教师也有多名马拉松爱好者参加．为了更好地服务运动员及国内外游客，组委会设置了司机、翻译、导游、礼仪四项志愿者服务项目．现有甲、乙、丙、丁等6名中学生志愿者，通过培训后，拟安排到四个项目进行志愿者活动，要求每个同学都要参加一个项目，且每个项目都要有人参加． （1）共有多少种不同的分配方案； （2）若甲不能担任司机，共有多少种不同的分配方案； （3）活动结束后安排6名同学站成一排拍照留念，要求甲乙相邻，且丙不站左端，丁不站右端，共有多少种不同的安排方案． 18. 已知函数，． （1）判断的单调性； （2）若，求的值； （3）已知，．若，证明：． 19. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，记的极小值点为． （ⅰ）证明：存在唯一零点； （ⅱ）求证：． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $