精品解析：河北望都中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

数 学 试 题 试卷满分：150 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 3. 下列图形可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 4. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称量词的否定为存在量词可得结果. 【详解】因为全称量词的否定为存在量词， 所以命题“”的否定是“”. 故选：C 6. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得或， 故解集为. 故选：A 8. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 11. 已知，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由作差法可判断；对于B，由特殊值法可进行排除判断；对于C，由分析即可判断；对于D，将化为，再由解出的范围即可. 【详解】对于A：，，， 故，即，故A正确； 对于B：若，此时，故B错误； 对于C：，，，故的最小值不可能是，故C错误； 对于D：由，可得，若，有，则无解， 故且，因此可化为，得. ，， 因此即，两边同除以， 得，解得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 13. 某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【解析】 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的定义域进行求解. 【详解】因为原函数的定义域为，所以，即. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为正数，. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【小问1详解】 因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； 【小问2详解】 由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 16. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，因为或， 所以， 故； 【小问2详解】 由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 17. 已知函数. （1）用定义证明函数在定义域上为增函数； （2）求解不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【小问1详解】 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； 【小问2详解】 是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 【小问2详解】 解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 19. 蜀南竹海位于宜宾市长宁县，是一个以竹景为主的风景名胜区，也是融自然景观和文物古迹为一体的避暑地.区内500多座峰峦竹林密布，碧浪连天.蜀南竹海内有竹海博物馆､花溪十三桥､海中海等自然景观和古刹等人文景观.某开发商计划2024年在蜀南竹海景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元. （1）求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）游客为40万人时利润最大，最大利润为370万元 【解析】 【小问1详解】 由题意可得， 即. 【小问2详解】 当时，， 则； 当时，， 因，当且仅当，即时取等， 此时，. 综上，游客为40万人时利润最大，最大利润为370万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 题 试卷满分：150 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11. 已知，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 13. 某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为正数，. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 16. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数. （1）用定义证明函数在定义域上为增函数； （2）求解不等式. 18. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 19. 蜀南竹海位于宜宾市长宁县，是一个以竹景为主的风景名胜区，也是融自然景观和文物古迹为一体的避暑地.区内500多座峰峦竹林密布，碧浪连天.蜀南竹海内有竹海博物馆､花溪十三桥､海中海等自然景观和古刹等人文景观.某开发商计划2024年在蜀南竹海景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元. （1）求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $