精品解析：河北沧州市第一中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

沧州市第一中学2026届高三年级第二次模拟考试 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据除法法则计算得到，从而得到. 【详解】因为，所以，所以 故选：A 2. 若集合，集合，则的非空真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别确定集合，，再根据交集的定义求，再根据中元素的个数确定其非空真子集的个数. 【详解】因为集合 ， 集合， 则，所以的非空真子集个数为：个． 故选：B 3. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 则. 4. （ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可运算求解. 【详解】 . 故选：D. 5. 已知向量，且，则（ ） A. -2 B. C. -2或 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义和向量平行的坐标公式求解即可得出答案. 【详解】， 又且反向， 所以或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，所以， 故选：B. 6. 设函数，直线分别交函数和的图象于点P，Q，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设P点的横坐标为a，由题设可得关于与的关系，故可求其最小值. 【详解】设P点的横坐标为a，Q点的横坐标为b，则， 于是． 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 于是当时该函数取得极小值，亦为最小值，即， 因此所求的最小值为1． 故选：A 7. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 8. 在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，， 所以,所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，， 则， 所以， 所以的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 的最大值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，服从二项分布，使用二项分布求解即可；对于B，服从“几何分布”，即表示进行了次，前次未发生，故；对于C，服从“几何分布”，即，通过导数判断单调性即可求出最大值；对于D，根据“几何分布”求数学期望，再根据公式计算数学期望即可. 【详解】对A项，因为，所以，故A错误； 对B项，表示进行了次，前次未发生， 所以，故B正确； 对C项，， 令，， 所以， 解得或（舍） 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以， 即的最大值为，故C正确； 对D项， 所以① 用代换得： ② 由①②得 ， 故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. 有最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】由得.举例说明判断A；利用导数证明即可判断B；易知，结合二次函数的图象与性质即可判断C；，结合其几何意义和点线距公式计算即可判断D. 【详解】由，得或，即或. 又函数的图象恒在的图象上方， 所以无解，故，即. A：当时，成立，所以，使得，故A正确； B：易知函数的图象恒在的图象上方，则； 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，即， 所以不存在，使得，故B错误； C：设， 由，得， 对于二次函数， 其对称轴为，且， 所以，都有不成立，故C错误； D：， 其几何意义为点到点的距离的平方减去1. 又点到直线，即的距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 11. 若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确； 因为当时，，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理求出，再由椭圆定义求出即可得解. 【详解】由题意知， 所以，即， 又，即， 所以， 故答案为： 13. 已知幂函数满足，若函数，在区间上是减函数，则非负实数的取值范围是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】先表示出函数的表达式，结合函数的单调性通过讨论的范围，从而得到答案． 【详解】依题意可知，，解得：， 又，所以或1，则， 所以：． ， 当时，在单调递减成立； 当时，开口向下，对称轴右侧单调递减， 所以，解得； 综上所述，， 故答案为：． 14. 为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案. 【详解】由题意可知，, , 故在中，， 故 ，， 在中，， 故 ，， 所以在中，，则 , 故答案为：2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出首项和公比代入等比数列通项求解即可. （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，用分组求和的方法代入求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为， 根据已知条件，可列出方程组，化简得：， 将代入，解得， 因此通项公式为； 【小问2详解】 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和． ． 16. 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点． （1）证明：AC⊥SB； （2）求二面角N-CM-B的正切值大小； （3）求点B到平面CMN的距离． 【答案】（1）取AC中点O，连结OS、OB ∵平面平面ABC，平面SAC平面ABC=AC ∴SO⊥平面ABC， SO⊥BO 如图建立空间直角坐标系O—xyz： 则 （2）2 （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由⑴得 设为平面CMN的一个法向量，则，取 则 又为平面ABC的一个法向量 【小问3详解】 由⑴⑵得为平面CMN的一个法向量 ∴点B到平面CMN的距离 【点睛】本题的关键是由已知条件找到建立空间直角坐标系的合适位置，进而找到相关点，向量的坐标，代入线面角点面距的向量计算公式求解，有一定的难度 17. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】（1） （2）（i），，证明： 第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）， 能提高. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【小问1详解】 每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 18. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在唯一一对关于原点对称的点. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断导函数的单调性和零点，即可求解和的解集； （2）（ⅰ）首先根据指对函数的性质确定不成立，讨论的情况，令，利用导数分析函数的单调性和零点，根据不等式求的值；（ⅱ）首先假设函数图象上存在关于原点对称的点，转化为判断函数是否有零点. 【小问1详解】 当时，，， 则为增函数，又， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 （ⅰ）即， 当时，若，则，，且，不等式不成立， ， 当时，令，， 令，则，在上为增函数，， ，，， ，又且， 则在上有且仅有一个零点， 当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 则函数在处取得最小值，， 又，则此时必有，所以，解得； （ⅱ）由（ⅰ）知，，假设存在关于原点对称的点， 设点为函数图象上的点，则关于原点对称的点为， ， 设函数， ，为偶函数， 当时，， ， ，则，所以函数为增函数，， ， 即方程在上有唯一解， 综上可知函数图象上存在唯一一对关于原点对称的点. 19. 已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质求解； （2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解. 【小问1详解】 双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州市第一中学2026届高三年级第二次模拟考试 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，集合，则的非空真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. （ ） A. 1 B. C. -1 D. 5. 已知向量，且，则（ ） A. -2 B. C. -2或 D. 2或 6. 设函数，直线分别交函数和的图象于点P，Q，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，我们称从“几何分布”，经过计算，由此推广在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，那么下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 的最大值为 D. 10. 已知，则（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. 有最小值 11. 若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为______ 13. 已知幂函数满足，若函数，在区间上是减函数，则非负实数的取值范围是___________． 14. 为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点． （1）证明：AC⊥SB； （2）求二面角N-CM-B的正切值大小； （3）求点B到平面CMN的距离． 17. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 18. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $