精品解析：河北沧州市第一中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

沧州市第一中学2026届高三年级第三次模拟考试 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定. 【详解】：，. 故选：D 2. 双曲线的实轴长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接确定实轴长. 【详解】由双曲线方程知，则实轴长为. 故选：C 3. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得出 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，可得，解得， 当时，可得， 因为函数在上单调，则， 所以 ，其中，解得， 所以，解得， 又因为，则，所以，所以， 因此的取值范围是． 故选：D． 4. 已知，则（ ） A. B. 28 C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】令，整理得： 与分别是展开式中与的系数，展开式的通项公式为， ， 故选:B. 5. 已知等比数列满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解. 【详解】设的公比为， 因为，解得， 所以. 故选：B. 6. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 7. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 8. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线可得，进而由抛物线定义可得，即可由余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】过分别作， 则是梯形的中位线，故, 由于, 所以, 故, , 当且仅当时取等号， 故，故的夹角最大值为， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可. 【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为， 新数据为， 则新数据的极差为， 因此新数据与原数据的极差相同，故A正确； 原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确； 原数据的方差为， 新数据的方差为， ， 则新数据与原数据的方差相同，故C错误； 不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数， 新数据为，则新数据的中位数为2， 则新数据与原数据的中位数不同，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 【答案】BCD 【解析】 【分析】先把函数有且只有两个极值点转化为有且只有两不等实根，进而得出有两个根，再构造函数应用导函数得出函数的单调性进而分别判断各个选项. 【详解】由函数有且只有两个极值点，得导函数有且只有两个不同变号零点，函数的定义域为， 令，可得，因为函数有两个零点，即有两个根， 设，此时直线与函数的图象有两个交点，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值， 当时，；当时，，当时，， 因为直线与函数的图象有两个交点，所以，故A错误； 因为函数有两个零点，此时， 当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，而随之减小，也趋近于1， 则减小，所以随的增大而减小，故B正确； 由，可得，，两式相减得 设，则，，，所以. 令，对其求导得. 设，对其求导得， 所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增. 因为随的增大而增加，而B选项知道随的增大而减小， 则根据复合函数单调性,知道随的增大而减小成立，故C正确； 因为，所以①， 不妨令，则②，联立①②，解得， 所以，不妨设，函数定义域为， 可得，不妨设， 函数定义域为，可得，在，函数定义域为，可得， 所以函数在上单调递减，此时，即函数在上单调递减，此时，即， 所以函数在上单调递减，则随着的增大而减小，知随着的增大而减小，所以随着的增大而增大，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线的图象关于轴对称 B. 曲线上任意一点横坐标的最小值为 C. 曲线与轴围成封闭图形的面积大于 D. 直线与曲线有三个交点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，点代入即可判断；对于B，求得判断函数单调性，画出图象即可判断；对于C，说明当相同时有即可；对于D，只需判断函数的零点个数即可. 【详解】对于A，点代入，，则关于轴对称，故A错误； 对于B，令，则， 令， 在递增，由，及对称性可得图象，故B正确； 对于C，联立：和， 令，，且， 所以当相同时，， 而曲线是半圆，它与轴围成封闭图形的面积等于，所以C正确. 对于D，联立和， 令，，且，，有一个零点.所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的定义可得可取，即可得到的取值范围. 【详解】由题知：可取， 若.则， 即集合，得，即的取值范围为. 故答案为： 13. 设复数，则_______________； 【答案】-3 【解析】 【分析】首先把变形为，然后利用复数的乘法进行运算化简，则可求结果． 【详解】由，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．复数问题在高考中常见的考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模的计算. 14. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为______；若点为圆上一点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据圆与圆外切得，得圆：，，又，即可求得直线被圆所截的弦长；再根据即可解决. 【详解】由题知，圆：与圆：， 所以，， 因为圆与圆外切， 所以，解得， 所以圆：，， 因为直线为：， 所以， 所以直线被圆所截的弦长为， 因为点为圆上一点，， 所以 所以的最小值为4 故答案为：；4 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. （1）若点为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示：连接， 点、分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ，， 又平面，且平面， 面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，代入空间向量的线面角公式求出，再求出平面的一个法向量，代入空间向量的二面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 设，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以，解得（负值舍去） 故，则平面的一个法向量是 ，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若为的极值点，求的单调区间和最大值； （2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；最大值为 （2）存在使得的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用为的极值点求得的值，进而可得函数的单调区间和最大值； （2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值． 【小问1详解】 ，， ， 若为的极值点， 则，得． ， 当时，，当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 的极大值为，也即的最大值为． 【小问2详解】 ，， ①当时，在上单调递增， 的最大值是， 解得，舍去； ②当时，由，得， 当，即时， 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又在上的最大值为， ， ； 当，即时，在上单调递增， ， 解得，舍去． 综上，存在使得的最大值为． 17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 （1）用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； （2）年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 【答案】（1） 0 1 2 3 4 . （2）15 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样特点求出，的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出的所有可能取值的概率，进而得到分布列和期望； （2）根据题意设抽取到的乡村旅游者年龄在内的人数为，则，判断的单调性，求出的最大值，从而求得. 【小问1详解】 由题意得，这15人中，年龄在C组内的有（人）， 年龄在E组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 样本中“主流客群”的频率为. 从所有“目标客群”中随机抽取20人， 设“主流客群”中被抽到的人数为，则 所以. 由于， 故当时，， 则. 当时，， 则. 所以当时，最大， 即从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能抽到15人. 18. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，上顶点为A，O为坐标原点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求椭圆上的点到直线距离的最大值. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由得，再由、求出可得答案； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令得，结合图形可得答案. 【小问1详解】 在Rt中，， ， ， ， ， 又， ， 联立，解得或， 椭圆的标准方程为或； 【小问2详解】 ， 椭圆的标准方程为， 直线的方程为，即， 设直线的方程为， 联立， 得， 令得或， 结合图形可知，当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最大， 此时直线的方程为． 距离的最大值为. 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简即可； （2）结合同角三角函数关系式及两角差的正弦公式化简可得解； （3）根据函数解析式可得，再由正弦定理及三角函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 由，， 则函数； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 即， 又，所以， 所以， 则； 【小问3详解】 由（1），即， 又，， 所以，即， 又在中，由正弦定理可知， 即，， 则三角形的周长为， 又，即， 所以， 则， 即， 即周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州市第一中学2026届高三年级第三次模拟考试 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 双曲线的实轴长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 3. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. 28 C. 14 D. 5. 已知等比数列满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 15 6. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 10. 已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线的图象关于轴对称 B. 曲线上任意一点横坐标的最小值为 C. 曲线与轴围成封闭图形的面积大于 D. 直线与曲线有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为__________. 13. 设复数，则_______________； 14. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为______；若点为圆上一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. （1）若点为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）若为的极值点，求的单调区间和最大值； （2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 （1）用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； （2）年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 18. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，上顶点为A，O为坐标原点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求椭圆上的点到直线距离的最大值. 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $