精品解析：山东德州市齐河县刘桥乡中学2025-2026学年第二学期九年级数学第一次学情自测试题

2025-2026学年第二学期九年级数学第一次月考试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有米，约是A4纸厚度的六分之一，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的领奖台是由三个长方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆内接四边形ABCD，BD是⊙O 的直径，且AC⊥BD，若∠ACD＝28°，则∠CBD 的度数为（ ） A. 28° B. 30° C. 36° D. 45° 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 8. 如图（1），已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O→A→B→O以的速度运动．设点P的运动时间为x s．OP的长为y cm，y随x变化的关系图象如图（2）所示，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，四边形是边长为的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，则长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，连接，作轴于点，为的中线，若的面积为，则的值为______． 13. 一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 14. 若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 17. “校园安全”越来越受到人们的关注，近日市教育局印发了《学校日常安全教育基本内容》的通知，某中学就学生对安全教育基本内容的了解程度，随机调查了本校的部分学生．根据调查统计后，绘制成如图所示的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有_____________人，其中“了解较多”的占________%； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1000名学生，根据上述调查，估计此校对安全教育基本内容“非常了解”和“了解较多”的学生共有___________人； （4）“校园安全无小事，安全知识学起来”．某校宣传小组为了进一步宣传学习《学校日常安全教育基本内容》，收集到如下相应的图片，将其制成卡片（除内容外，其余完全相同，将防溺水安全、交通安全、消防安全、食品安全图片分别记为A，B，C，D）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的概率． 18. 如图，为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：，，，，，） 19. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 20. 如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD． （1）求k的值； （2）求COD的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 21. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 23. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学第一次月考试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，化简多重符号，绝对值，立方根，逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A. ，结果为正，不合题意； B. ，结果为正，不合题意； C. ，结果为正，不合题意； D. ，结果为负，符合题意； 故选D． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有米，约是A4纸厚度的六分之一，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原数表示成形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此即可解答． 【详解】解：将一个小于1的正数表示为（其中，n为正整数），指数n的值等于为得到a而将原数小数点向右移动的位数．对于，小数点需向右移动5位才能得到，故，即，故选项B符合题意． 4. 如图所示的领奖台是由三个长方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案． 【详解】解：A是俯视图，B、D不是该几何体的三视图，C是左视图． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式的应用，根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式逐一计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意；   故选：B ． 6. 如图，圆内接四边形ABCD，BD是⊙O 的直径，且AC⊥BD，若∠ACD＝28°，则∠CBD 的度数为（ ） A. 28° B. 30° C. 36° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理和圆周角定理进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵BD是⊙O 的直径，且AC⊥BD， ∴BD垂直平分AC， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握所学的知识进行计算． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 8. 如图（1），已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O→A→B→O以的速度运动．设点P的运动时间为x s．OP的长为y cm，y随x变化的关系图象如图（2）所示，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由图象可知：扇形的半径为3，弧长为2π 设扇形的圆心角为n，根据弧长公式可得： ，解得n=120° 由扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为cm2． 故选A． 【点睛】本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，属于中考常考题型．设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 由作图可知：，平分， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴． 故选：B． 10. 如图，四边形是边长为的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，则长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接交于点，连接，，可证，得，再证，得，当取得最小值时，的值最小，点在以点为圆心，以为半径得圆弧上运动，当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，，，即， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小， 如图所示， ∵， ∴点在以点为圆心，以为半径得圆弧上运动，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴长的最小值为， 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，理解图示，合理作出辅助线是关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得：， 即， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，连接，作轴于点，为的中线，若的面积为，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中线的性质，得到，根据，计算即可． 【详解】解：为的中线， ∴， 的面积为， ∴=3， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形中线的性质，熟练掌握k的几何意义是解题的关键． 13. 一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若实数a、b是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由根与系数的关系得到，再把所求式子通分后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵实数a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、 ∴点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）0；（2）， 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，代入特殊角的三角函数，计算算术平方根，零次幂，再合并即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解：（1） ； （2） ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，算术平方根的含义，分式的化简求值，熟记运算法则是解本题的关键. 17. “校园安全”越来越受到人们的关注，近日市教育局印发了《学校日常安全教育基本内容》的通知，某中学就学生对安全教育基本内容的了解程度，随机调查了本校的部分学生．根据调查统计后，绘制成如图所示的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有_____________人，其中“了解较多”的占________%； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1000名学生，根据上述调查，估计此校对安全教育基本内容“非常了解”和“了解较多”的学生共有___________人； （4）“校园安全无小事，安全知识学起来”．某校宣传小组为了进一步宣传学习《学校日常安全教育基本内容》，收集到如下相应的图片，将其制成卡片（除内容外，其余完全相同，将防溺水安全、交通安全、消防安全、食品安全图片分别记为A，B，C，D）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的概率． 【答案】（1）50 ； 30 （2）作图见解析． （3）780． （4）． 【解析】 【分析】（1）用“了解较少”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用“了解较多”的人数除以调查的总人数． （2）“基本了解”的人数=调查的总人数-“非常了解”-“了解较多”-“了解较少”，补全条形图即可． （3）用总人数1000乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可． （4）用列表展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到A和B的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 调查总人数为：（人）， 了解较多占： 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 【小问4详解】 （4）根据题意，列表如下： 由表格可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“C”的结果有2种． 所以，P（抽到“A”和 “C”）=． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】观光船从C处航行到D处的距离为米 【解析】 【分析】过点C作于点F，根据题意利用正切函数可得，由矩形的判定和性质得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可． 【详解】解：过点C作于点F， 由题意得，， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形 ∴． 在中， ∵ ∴ 答：观光船从C处航行到D处的距离为米． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，找准各角之间的关系，利用锐角三角函数解三角形是解题关键． 19. 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；（2）当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元． 【解析】 【分析】（1）根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元， ，得， 答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元； （2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60-m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元， 则w=（20-10）m+（50-30）（60-m）=-10m+1200， ∵m≥4（60-m）， 解得：m≥48， ∴当m=48时，w取得最大值，最大利润为：-10×48+1200=720元， ∴60-m=12， 答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 20. 如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD． （1）求k的值； （2）求COD的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2）4；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A点坐标代入中，即求出b的值，即可得出一次函数的表达式．再把C(1，m)、D(n，-1)代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入，求出k即可； （2）直接利用，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果． 【详解】解：（1）∵点在直线上， ∴，即， ∴直线的解析式为． ∵点和点在直线上， ∴，， 解得：，， ∴，， 又∵在反比例函数上， ∴， 解得：． （2）∵， ∴， ∴． （3）要使，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可，即或时． 【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键． 21. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据角平分线的定义结合等边对等角，推出，进而得到，推出，即可得出结论； （2）连接，圆周角定理，得到，勾股定理求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式求出的长即可． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵为的半径， ∴与相切于点； 【小问2详解】 连接， 由题意，得：为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） （3）面积的最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； 【小问3详解】 解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 23. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，作于点N，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $