精品解析： 山东省德州市齐河县刘桥乡中学2024-2025学年下学期第一次月考九年级数学试题

2024-2025学年第二学期第1次月考试题（九年级）（数学科目） 考试时间：120分钟 分值：150 第I卷（选择题） 一、单选题（共48分） 1. 绝对值的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 9 2. 某零件由两长方体组合而成如图所示，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月份以来，济南市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 6. 若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得利润为3000元，每件需降价的钱数为（　　） A. 12元 B. 10元 C. 8元 D. 5元 9. 关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　） A. m≤ B. m≤且m≠0 C. m＜1 D. m＜1且m≠0 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 12. 把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点仍在原抛物线上，则（ ） A. 2 B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 13 分解因式：___________. 14. 数轴上的两个点如图所示，则式子的值为_____． 15. 已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则___________． 16. 已知代数式-3xm-1y3与2xnym+n是同类项，则-3xm-1y3与2xnym+n的积是______． 17. 如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____． 18. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有___________． 三、解答题（共78分） 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：． 20. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 21. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 22. 某学校图书馆典范项目为学校配置了甲、乙两种经典读本各若干本，项目第一批购进甲、乙两种读本分别花费了12000元和9000元，甲种经典读本的单价是乙种经典读本单价的倍，并且甲种经典读本的数量比乙种经典读本的数量多100本． （1）求购进这两种经典读本分别是多少本； （2）若图书馆项目第二批购进这两种经典读本共1300本，其中购进甲种经典读本的数量不低于600本，且购进两种读本的总费用不超过14500元，求购进这两种经典读本的最低总费用． 23. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点，点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，连接，过点作交轴于点，连接，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是直线上一点，若满足时，求点的坐标． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第1次月考试题（九年级）（数学科目） 考试时间：120分钟 分值：150 第I卷（选择题） 一、单选题（共48分） 1. 绝对值的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，先求出的绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【详解】解：的绝对值是，的相反数是， 故选：A． 2. 某零件由两长方体组合而成如图所示，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从左面看，视图是一个矩形，由于物体正面看有上下两层，从左边看不到凹槽的棱，用虚线表示， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3. 2025年1月份以来，济南市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法的概念，即把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：27亿． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、完全平方公式、合并同类项、积的乘方等运算法则，据此相关运算性质进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 5. 有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 【详解】解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：B． 6. 若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴该直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 7. 若关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】当时可得是一次函数，函数图象与x轴有交点；当时，根据二次函数图象与x轴有交点列式求解即可． 【详解】解：当，即时， 函数关系式为， 此时是一次函数，函数图象与x轴有交点； 当，即时， 由函数图象与x轴有交点可得关于x一元二次方程的根的判别式， 解得：， ∴此时m的取值范围是且； 综上可得， m的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数与x轴的交点问题，易错点是容易忽略的情况，当函数关系不确定时，注意分类讨论． 8. 一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（　　） A. 12元 B. 10元 C. 8元 D. 5元 【答案】B 【解析】 【分析】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据每日的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件， 根据题意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000， 整理得：x2﹣10x＝0， 解得：x1＝0，x2＝10． ∵要减少库存量， ∴x＝10． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　） A. m≤ B. m≤且m≠0 C. m＜1 D. m＜1且m≠0 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0， ∴m≤， ∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0 ∴m＜1，m≠0 ∴m≤且m≠0． 故选B． 考点：1、根的判别式；2、根与系数的关系 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解， 本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点、在反比例函数上， ∴，即：，即， ∴，即：， ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， ∴， 故选：． 12. 把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点仍在原抛物线上，则是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向平移的直线分解为水平方向和竖直方向的平移． 根据一次函数解析式，利用勾股定理求出，然后求出抛物线的顶点坐标，可知顶点沿直线方向平移个单位，当于把顶点向右平移2个单位再向上平移1个单位或者是把顶点向左平移2各单位再向下平移1个单位，得出平移后抛物线的顶点坐标，再根据平移后的顶点原抛物线上，求出a的值． 【详解】解：直线 令，则； 令，则， 直线经过点，如图所示， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把抛物线的顶点沿直线平移个单位，相当于把顶点向右平移2个单位再向上平移1个单位或者是把顶点向左平移2各单位再向下平移1个单位， 平移后的顶点坐标为或， 平移后的顶点在抛物线上， 把代入得： ， 解得：， 把代入得： ， 解得：， ， ， 故选：C 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 13. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案：． 14. 数轴上的两个点如图所示，则式子的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得的符号，再根据绝对值，二次根式的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据数轴上数的位置确定数的符号，绝对值的性质，二次根式的性质化简的知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 15. 已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标．根据点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 根据题意得： ， 所以， 解得（舍去）或． 故答案为：． 16. 已知代数式-3xm-1y3与2xnym+n是同类项，则-3xm-1y3与2xnym+n的积是______． 【答案】-6x2y6 【解析】 【分析】先根据同类项是字母相同且相同的字母的指数也相同，可得m、n的值，然后再根据单项式的乘法法则计算即可. 【详解】解：因为代数式-3xm-1y3与2xnym+n是同类项， 可得：m-1=n，m+n=3， 解得：m=2，n=1， 所以-3xm-1y3与2xnym+n的积是:-3xy3×2xy3 =-6x2y6， 故答案为-6x2y6 【点睛】本题考查了同类项的定义及单项式的乘法，熟练掌握同类项的定义及单项式的乘法法则是解答本题的关键. 单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 17. 如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，接着推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出两直角边的长，再依据正切值的意义可求解． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，可知AF经过点C，BE经过点F， 设网格中的小正方形的边长为1， 则AE=AB＝， ∵F是BE的中点， ∴AF⊥BE． 由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°． ∴CD∥BE， ∴∠AOC＝∠ABF． ∴tan∠AOC＝tan∠ABF． ∵BF＝， AF＝， ∴tan∠ABF＝． ∴tan∠AOC＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了网格中的边和角的计算问题，涉及到了等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识，要求学生能挖掘出图中的隐含条件，构造直角三角形，利用正切公式求出角的正切值，本题蕴含了数形结合的思想方法． 18. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴的交点可得，进而判断①，根据抛物线的对称性可得当与时的函数值相等，进而可知时，函数值小于0，进而判断②，根据抛物线的对称性可得与时的函数值相等，进而根据在对称轴右侧时，随的增大而增大，即判断③，根据直线经过二次函数图象的顶点，可得，进而可得，即可判断④． 【详解】解：根据抛物线开口向上可得，对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点可得， ，故①正确； 对称轴是直线， 当与时的函数值相等， 即 又 故②正确； 对称轴是直线， 与时函数值相等， 由 ∴在二次函数图象上， 对称轴右侧时，随的增大而增大， 又 ，故③不正确； 直线经过二次函数图象的顶点， 即时，两函数值相等 即 当时，方程，即 是方程的一个根，故④正确 故正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算---化简求值和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的基本性质和不等式的性质． （1）先通分算括号内的，把除法化为乘法，再分解因式约分得最简结果，再求出的值，代入化简结果中进行计算即可； （2）解出每个不等式，再求公共解集即可． 【详解】解：（1） ； ∵， ∴原式； （2） 解不等式①得：； 解不等式②得： 所以，不等式组的解集为． 20. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），补全表格见解析 （2）的取值范围为或； 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 【小问2详解】 由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 21. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 22. 某学校图书馆典范项目为学校配置了甲、乙两种经典读本各若干本，项目第一批购进甲、乙两种读本分别花费了12000元和9000元，甲种经典读本的单价是乙种经典读本单价的倍，并且甲种经典读本的数量比乙种经典读本的数量多100本． （1）求购进这两种经典读本分别是多少本； （2）若图书馆项目第二批购进这两种经典读本共1300本，其中购进甲种经典读本的数量不低于600本，且购进两种读本的总费用不超过14500元，求购进这两种经典读本的最低总费用． 【答案】（1）甲种经典读本1000本，乙种经典读本900本 （2）14200元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式组，一次函数的增减性，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）设购进乙种经典读本x本，则购进甲种经典读本本，根据题目数量关系列分式方程求解即可； （2）根据题意分别求出甲、乙的单价，设购进甲种经典读本a本，则购进乙种经典读本本，根据题意列一元一次不等式组求解，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设购进乙种经典读本x本，则购进甲种经典读本本， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴甲种经典读本为（本）， 答：购进甲种经典读本1000本，乙种经典读本900本． 【小问2详解】 解：由（1）可知，购进甲种经典读本1000本费用为12000元，乙种经典读本900本费用为9000元， ∴甲的单价为：（元），乙的单价为（元）， 设购进甲种经典读本a本，则购进乙种经典读本本， 由题意得， 解得， 设购进这两种经典读本总费用为w元， 由题意，得 ∵， ∴w随a的增大而增大． ∴当时，w有最小值，为， 答：购进这两种经典读本的最低总费用为元． 23. 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①；②0.075；③当时，；当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【小问1详解】 解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． 【小问2详解】 张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 24. 在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点，点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，连接，过点作交轴于点，连接，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是直线上一点，若满足时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出点，点，即可求出反比例函数的解析式； （2）求出点C的坐标为，得到直线的解析式为，直线的解析式为，求出，则，即可求出； （3）分三种情况：点在线段上时，点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上时，分别进行讨论解答即可． 【小问1详解】 解：把，点代入得到， ，， 解得，， ∴点，点， 把代入得到，，解得， ∴ 【小问2详解】 ∵，过点作轴于点， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ∴， ∴ 【小问3详解】 如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点P作轴交y轴于点E，则， ∴， 即，解得 ∴此时 如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵点在直线上，直线的解析式为， ∴可设点的坐标为， ∵点，点， ∴， ∴ 整理得到 解得（不合题意，舍去）， ∴此时， 当点在线段的延长线上时，，不符合题意， 综上可知，点的坐标为或 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②2 （2） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①先求出时的函数解析式并化成顶点式，据此确定顶点坐标；假设顶点坐标在第三象限列出关于的不等式组，根据不等式组的解集情况即可证明结论； ②由二次函数与一元二次方程的关系结合题意可得，进而得到，从而确定函数解析式．最后求出、，然后作差即可解答； （2）先根据一次函数的性质得到，解得：；则，解得；抛物线解析式可化为，然后将点的坐标代入直线和抛物线解析式求得、，即可确定抛物线解析式，再确定对称轴，最后分三种情况分别根据二次函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 ①证明：当时，代入抛物线并化为顶点式得： ， 顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， 该不等式组无解， 抛物线的顶点不在第三象限； ②解：为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和， ． ， ， 抛物线为， 当时，，．则； 【小问2详解】 解：，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和， ． 解得：． ． ， ． ， 直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线为． 的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， 当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， 当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， 当时，取最小值为． 综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $