精品解析：山东淄博市张店区重庆路中学2025-2026学年下学期自主成果展示（4.2）初三数学试题

张店区重庆路中学2025-2026-2自主成果展示（4.2） 初三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时长90分钟； 2．答卷前，准确填写姓名、准考证号、座位号等相关信息； 3．客观题用2B铅笔规范填涂答题卡；主观题使用0.5mm黑色碳素笔作答． 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＞﹣2且m≠1 C. m≥﹣2 D. m≥﹣2且m≠1 4. 已知y=+-3，那么yx的值是（　　） A. -6 B. -9 C. -6 D. 9 5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 9. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题5分） 11. 实数的整数部分为________． 12. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 13. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 14. 将一元二次方程化成的形式，则b的值为___________． 15. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2． 三．解答题（共7小题） 17. 二次根式计算． （1） （2） 18. 选择合适的方法解一元二次方程． （1） （2） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 20. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．设的长是． AI （1）填空：______； （2）若羊圈的面积是，求的值． 22. 先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ． （2）根据上述思路，试将予以化简． 23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张店区重庆路中学2025-2026-2自主成果展示（4.2） 初三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时长90分钟； 2．答卷前，准确填写姓名、准考证号、座位号等相关信息； 3．客观题用2B铅笔规范填涂答题卡；主观题使用0.5mm黑色碳素笔作答． 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式； ②：被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ③：根指数为2，，，满足被开方数非负，是二次根式； ④：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； ⑤：根指数为2，被开方数，是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个，故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．∵二次根式中被开方数必须为非负数，与无意义，∴A错误； B．∵，∴ B错误； C．∵，∴C错误； D．∵，∴D正确． 3. 若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＞﹣2且m≠1 C. m≥﹣2 D. m≥﹣2且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ∴m≥﹣2且m≠1， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件. 4. 已知y=+-3，那么yx的值是（　　） A. -6 B. -9 C. -6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由于和中的被开方数互为相反数，根据二次根式的性质可以得到x﹣2=0，由此即可分别求出x、y的值，然后再求出yx的值． 【详解】∵x﹣2与2﹣x互为相反数，而y3，∴x﹣2≥0且2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=－3，∴yx==9． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的非负性确定x、y的值是解题的关键，然后代入数值计算即可解决问题． 5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 9. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目给出的新运算规则整理得到关于的方程，再根据一元二次方程二次项系数不为和列式运算即可； 【详解】解：∵， 展开计算， ∴， 整理得：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程，因此二次项系数，且根的判别式， ∵，，， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为 且． 10. 形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形的面积为； 故选：D． 二．填空题（共6小题，每题5分） 11. 实数的整数部分为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 12. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴得出的取值范围，判断与的符号，然后利用二次根式的性质及绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ ． 13. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 14. 将一元二次方程化成的形式，则b的值为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】先移项，再在方程的两边都加上 配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， 移项得： ， ， ， ． 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键. 15. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，）， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故方程的解为． 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2． 【答案】6 【解析】 【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高， ∴AD=BD=CD=cm． 又∵AP=， ∴． ∵PE//BC， ∴△APE∽△ADC． ∴，即． ∴ ∴PE=AP=． ∴． ∵S1=2S2， ∴， 解得：t=6或t=0（舍去）． 故答案为：6 三．解答题（共7小题） 17. 二次根式计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质进行二次根式的除法计算即可； （2）先进行二次根式的乘法、绝对值、零次幂的计算，再进行实数的混合计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 选择合适的方法解一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． 【小问1详解】 解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； 【小问2详解】 ∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：①． ∵②， 联立①②解得： ∴， 解得：． 20. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】（1）1152元 （2）75元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价后的每件利润和销售量计算总利润； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【小问1详解】 解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； 【小问2详解】 解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．设的长是． AI （1）填空：______； （2）若羊圈的面积是，求的值． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及列代数式，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． （1）根据栅栏总长列式即可； （2）利用矩形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：设的长是，则 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， ∴的值为或． 22. 先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ． （2）根据上述思路，试将予以化简． 【答案】（1）、、、、 （2），过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可； （2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为：、、、、． 【小问2详解】 解：原式 23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【小问1详解】 解：当，，时勾系一元二次方程为； 【小问2详解】 证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； 【小问3详解】 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $