精品解析：广东江门市鹤山市第一中学2025-2026学年高一下学期第一阶段考试数学试题

鹤山一中2025-2026学年度第二学期第一阶段考试 高一数学试卷 2026.04 一、单选题．（每小题5分，共40分） 1. sincos＝（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：A. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题. 2. 在中，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量和表示即得. 【详解】 如图所示，由题意， . 故选：C. 3. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】由等式，两边平方得：， 则，且，所以. ，即. 故选：B. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 5. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 6. 设向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行得到与的关系，进一步利用二倍角公式可得结果. 【详解】因为向量，， ， 所以存在使得， 所以，所以， 所以， 故选：C 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的内角和可求出，再由余弦定理结合题意化简即可得出答案. 【详解】因为，而，所以， 则， 得． 根据余弦定理可得，故． 故选：B. 8. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，由结合两角差的正切公式可得，从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案. 【详解】由题可得，又， 所以. 即第二次的“晷影长”是“表高”的. 二、多选题（每小题6分，共18分；漏选部分给分，错选得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 11. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论． 【详解】由图知，则， ，所以，则， 即 因为，所以，，即， 因为，得，所以 所以 对于选项A：当时，，故A对 对于选项B： 的单调递增区间为， 解得， 当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错 对于选项C：，故C错 对于选项D：， 所以是偶函数，故D对， 故选：AD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 函数的最小正周期是______． 【答案】 【解析】 【详解】 ， 所以函数的最小正周期. 14. 在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 四、解答题（共77分） 15. 已知向量与的夹角为，且，求 （1） （2） （3）设向量与的夹角为，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，结合数量积的运算律以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）得， . 【小问3详解】 由（1）（2）得， . 16. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. （1）求和的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】 （1）根据对称轴和周期可求和的值． （2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值． 【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为， 所以，故． 又图象关于直线，故， 所以，因为，故． （2）由（1）得， 因为，故， 因为，故，故． 又 ． 【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 17. 如图，中，，D是边上一点，，，． （1）求的值； （2）求的长； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）由（1）得，从而得到，再利用正弦定理求解即可. （3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 在中，， 由正弦定理，得. 【小问3详解】 在中，，，所以， 在中，由正弦定理， 得， 所以， 所以. 18. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 【答案】（1）26 （2） （3）在处时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解. 【小问1详解】 ∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段， ∴ ； 【小问2详解】 设， 又， 根据平面向量基本定理解得； 【小问3详解】 设，， ∴， 又， ∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题） 19. 如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于该扇形，其中点分别在半径和上，点在上，，记矩形的面积为S. （1）当点分别为半径和的中点时，求S的值； （2）设，当为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：为等边三角形，进而可得，，根据可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）由（1）可得，结合正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 如图，连接， 则，所以， 又因为矩形ABCD，，所以， 从而可得，所以， 因为，且，则为等边三角形，即， 又因为矩形ABCD，，则， 过点D作的垂线，垂足为E，设， 则，，， 在中，则，， 可得， 若点分别为半径和的中点， 则，即， 且，则，则， 可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得： ， 又因为，则， 可知当，即时，矩形面积S取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：根据几何知识分析可知，，进而结合题意运算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2025-2026学年度第二学期第一阶段考试 高一数学试卷 2026.04 一、单选题．（每小题5分，共40分） 1. sincos＝（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在中，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 5. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A. B. C. D. 6. 设向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 8. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 二、多选题（每小题6分，共18分；漏选部分给分，错选得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 函数的最小正周期是______． 14. 在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量与的夹角为，且，求 （1） （2） （3）设向量与的夹角为，求的值. 16. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为. （1）求和的值； （2）若，求的值. 17. 如图，中，，D是边上一点，，，． （1）求的值； （2）求的长； （3）求的面积． 18. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 19. 如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于该扇形，其中点分别在半径和上，点在上，，记矩形的面积为S. （1）当点分别为半径和的中点时，求S的值； （2）设，当为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $