精品解析：宁夏石嘴山市第一中学2026届高三下学期高考第二次模拟数学试题

石嘴山市第一中学2026届高三年级高考第二次模拟 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有1个正确答案. 1. 设命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则原命题的否定为. 故选：A 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 3. 已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据夹角公式可求余弦值. 【详解】因为，所以， 从而，所以即， 故， 故选：A. 4. 已知函数()在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. . D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，解出零点的值，根据题意在区间上有且仅有3个零点，那么在第三个和第四个零点之间，注意端点处是否可取，列出不等式求解. 【详解】因为，所以，即，， 又因为在区间［0，2π］上有且仅有3个零点， 所以前三个零点为， 第四个零点为， 所以有， 解得. 5. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出底面内接正三角形外接圆的半径及的面积，设圆柱的母线长为，根据圆锥的体积公式求出，则圆柱外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】解：如图，因为是边长为的正三角形，则其外接圆的半径，解得， 又， 设圆柱的母线长为，则，解得， 所以圆柱的外接球的半径， 所以外接球的表面积为. 故选：B 6. 已知函数，若对 恒成立，则（ ） A. B. 16 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别代入解析式，求出即可. 【详解】当，则， ， 由于，则，则；经检验适合题意. 故. 故选：B 7. 由点射出的两条光线与分别相切于点，，称两射线，上切点右侧部分的射线和优弧右侧所夹的平面区域为的“背面”．若处于的“背面”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设过点的切线方程为，进而可得切线方程，利用新定义可求的最值，进而可求实数的取值范围． 【详解】解：设过点的切线方程为， ，， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 处于的“背面”， 与相切时取最小值，由，解得或， 结合图形可得的最小值为， 同理与相切时可得的最大值为， ． 故选：D． 8. 已知等差数列的首项，且，．若，且对任意的，均有，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件得到，可得到等数列的公差，进而得到数列的通项，再得到，并利用作差法得到数列的增减性，即可得到的范围，根据题意即可得到的最小值. 【详解】，， ，是方程的两根. 易知函数是上单调递增的奇函数， 方程有且仅有一个根， 故，即， 等差数列的公差. 又， ， ， 易知当时，， ， 当时，， ， 而，，，，， 且当时，， ， . 若最小，则，， . 故选：C. 【点睛】本题要考查方程的根、函数的性质、等差数列的通项、数列的增减性，考查考生的逻辑思维能力及分析问题，解决本题的关键是得到. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 一组样本数据的平均数为，方差为，将其中的替换为，得到新样本数据，其平均数为，方差为，则不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】平均数：原样本和为，新样本和为，故，A正确，B错误； 方差：方差反映数据的波动程度，将替换为，数据的偏离程度无法确定， C错误，D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 在上是增函数 C. 有极小值 D. 若， 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，得到出方程解的个数，然后判断A选项；对函数求导，然后得到函数的递增区间，判断B选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断C选项；构造函数，由导函数得到函数的单调性，从而求出当时，的最小值，即能判断D选项. 【详解】令，即，∵，∴只有一个解，即函数有一个零点，A选项错误; ，令，，∵，∴，∴在上是增函数，B选项正确； 在上单调减，在上单调递增，∴函数有极小值，C选项正确； 令，，， 令，则，，， ∴当时，，即在单调递增，∴， 即，在单调递增，∴，即，D选项正确. 故选：BCD. 11. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 三、填空题：本题共15分. 12. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________. 【答案】 ①. 8 ②. 112 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可. 【详解】由于所有项的二项式系数之和为，， 故的二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得含x项的系数等于， 故答案为：8；112． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题． 13. 存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点，转化为，再构造函数，，利用导数求函数的值域. 【详解】设直线与曲线相切于点，， 所以在点处的切线方程为， 若切线过点，则， 则， 设，， ，，得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的值域是，则的取值范围是. 故答案为： 14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的所有可能取值，然后计算出现的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望． 【详解】由题意正方体中两条平行的棱间的距离为1或． 正方体共12条棱中任取两条，共有种取法， 其中相交的有，平行且距离为的有种， 其余的是异面或距离为1的平行线，共有36种， ∴，，， 分布列为： 0 1 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查随机变量的期望，考查空间直线的位置关系，考查古典概型概率．综合度较大，属于难题． 四、解答题：本题共77分. 15. 如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，. （1）若，证明：平面OCE； （2）若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】（1） 取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 16. 设数列的前项和为，，且，. （1）求； （2）求最小的正整数，使得. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）利用分组求和求得数列的前项和，再根据的递增性质和、的取值进行判断. 【小问1详解】 由题意，， 用累加法可得 利用等比数列求和公式得 而当时，，满足上式. 故，化简得 故. 【小问2详解】 因为，所以. 利用等比数列求和公式得 . 由于，因此随着的增大，也增大. 当时，. 当时，. 因此当时，.所以整数的最小值为，使得. 17. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． （1）试求频率分布直方图中的值； （2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 ，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图频率和为1计算求参； （2）应用条件概率公式计算求解； （3）先写出对应概率，再得出随机变量的分布列，进而计算数学期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 【小问2详解】 设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A， “该学生是‘运动爱好者’”为事件B， 则， ， 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为 . 【小问3详解】 由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人， 所以． ，，． 则的分布列为 0 1 2 则． 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，用数学归纳法证明：. 【答案】（1）. （2）由（1）可得：. 下面用数学归纳法证明：. ①当时，左边， ， 右边左边， 命题成立． ②假设当时命题成立，即， 则当时，， 要证， 只要证， 只要证， 即证， 考查函数的单调性． ， . 函数在上为减函数． ，即. . 故当时命题也成立． 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）因为，可得，故是首项为，公差为的等差数列，即可求得答案； （2）由（1）可得：，用数学归纳法证明：，即可求得答案.； 【详解】（1）， ， ， 是首项为，公差为的等差数列． ， . （2）略 【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明不等式，考查了构造思想及转化思想，解题关键是掌握利用导数证明不等式恒成立问题，考查计算能力及化归能力，属于难题。 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i） 设，， 设直线，， 由可得：，解得， 同理联立和椭圆方程，可得， 所以直线的斜率为， 所以直线， 同理可得的斜率为，所以直线， 由可得， 又，所以； （ii）假设存在点，使得为定值， 即， 所以恒成立， 则，解得， 所以存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）由条件得到在椭圆上，代入椭圆方程，结合即可求解； （2）（i）分别设，，，，通过联立椭圆方程，得到坐标，确定方程，进而得到坐标，即可求证，（ii）设，通过，得到恒成立，进而可求解. 【小问1详解】 依题意， 所以， 由直线交于，两点，， 可知点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2026届高三年级高考第二次模拟 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有1个正确答案. 1. 设命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 1 3. 已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数()在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. . D. 5. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对 恒成立，则（ ） A. B. 16 C. D. 4 7. 由点射出的两条光线与分别相切于点，，称两射线，上切点右侧部分的射线和优弧右侧所夹的平面区域为的“背面”．若处于的“背面”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的首项，且，．若，且对任意的，均有，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 一组样本数据的平均数为，方差为，将其中的替换为，得到新样本数据，其平均数为，方差为，则不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 在上是增函数 C. 有极小值 D. 若， 11. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 三、填空题：本题共15分. 12. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________. 13. 存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是______． 14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________. 四、解答题：本题共77分. 15. 如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，. （1）若，证明：平面OCE； （2）若，平面平面PBC，求λ的值． 16. 设数列的前项和为，，且，. （1）求； （2）求最小的正整数，使得. 17. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． （1）试求频率分布直方图中的值； （2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望． 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，用数学归纳法证明：. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $