精品解析：陕西宝鸡中学2026届高三下学期冲刺(一) 数学试题

高三冲刺（一） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以,由， 所以，所以， 解不等式，可得，所以， 所以. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断． 【详解】解：， ， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 3. 现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查经验回归方程及残差的计算，先根据已知条件求出，再将第个月的预测收益求出，最后根据残差定义求出残差即可. 【详解】解：由，知样本中心为，其必在回归直线上， 则，解得，因此回归方程为. 当时，万元，根据残差定义可得， 第个月收益的残差为万元. 4. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5. 已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间. 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 6. 已知，，，则，，的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，选取特殊值进行判断. 【详解】由，得．由，得，所以． 因为，所以，，所以． 又因为，，所以，，故， 所以． 故选： 7. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 8. 已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先对不等式进行变形，构造函数，通过分析函数的单调性，结合不等式有且仅有3个整数解可得实数的取值范围. 【详解】由已知有意义，所以， 将不等式化简，，即，整理得， 若时，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，当，， 此时不等式有无穷多个整数解 ，不符合题意； 当，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递增， 因为，，，， 且不等式有且仅有3个整数解， 结合单调性可知这三个整数解为1,2,3，所以， 所以实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】， ，解得， 指数函数单调递增， ，即，故A正确； 由基本不等式得， 两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； ， ， 当且仅当时取等号， ，故C正确； ，则， ， 由于函数的图象开口向上，对称轴， 故的最小值为，则，故D正确． 10. 已知长方体中，，，分别是的中点，点在上运动（含端点），则（ ） A. 该长方体外接球的表面积为 B. 点到平面的距离的最大值为 C. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为 D. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用长方体的体对角线得其外接球的半径，求得表面积判断选项A；向量法求点到平面的距离判断选项B；作出过三点的平面截长方体所得截面，求出相关线段的长，计算截面图形周长和面积判断选项CD； 【详解】对于A，长方体的体对角线是其外接球的直径， 则， ， 可得外接球的表面积，所以选项A正确； 对于B，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 点P到平面的距离为： ， 因为，所以当时，取得最大值，，选项B正确； 对于C，延长相交于点，连接与相交于，延长相交于点， 连接与相交于，则截面是五边形， 已知，，分别是的中点， 则，，， ，， ，， 利用勾股定理可得， 五边形的周长为，C选项错误； 对于D，，， 中，， 则， . 同理，中，，，； 中，，则，. 所以截面是五边形的面积为： ，D选项正确. 11. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，其中，点在上，则（ ） A. 的准线方程为 B. 的面积为 C. 已知以为直径的圆与的准线有且只有一个交点，则 D. 已知上一点，过点作，垂足为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据结合弦长公式计算得.根据抛物线定义可判断A；根据点到直线的距离及三角形面积公式计算可判断B；求得点，计算斜率，根据斜率之积为可判断C；根据数量积的坐标运算结合导数计算可判断D. 【详解】抛物线 ，焦点 ， 过且倾斜角为的直线方程为 ， 联立 ，得 ， 设，则， 弦长， 由，得， 对于A，抛物线方程为，焦点，准线方程，故A正确； 对于B，点在抛物线上，，即， 直线（即）， 点到直线的距离： ， 所以的面积为，故B错误； 对于C，的中点坐标：， 即圆心，半径 4， 圆方程为， 代入准线，得，故切点， 直线的斜率为，直线的斜率为，斜率乘积为，故，故C正确； 对于D，点在抛物线上，，即， 设，，， 由，为垂足，得， ， 令，求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处有最大值，即， 所以成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 13. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为的中点．若直线为线段的垂直平分线，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】首先确定，，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示点的坐标，根据垂直关系，列式求解. 【详解】因为双曲线的离心率，所以，， 设过点，倾斜角为的直线为，由题意知显然不为0， 设，， 联立，得， 由条件可知，，解得：， ，则， 又，所以， 解得：，所以或 14. 装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有____种不同的铺设方法． 【答案】 【解析】 【分析】设出使用红色，黄色，绿色地砖的块数，根据题意列出方程组，从而求得所用每种颜色地砖的块数，再根据红色地砖所在位置分类讨论即可求解. 【详解】设使用红色地砖块，黄色地砖块，绿色地砖块， 由题意得，，解得 ， 即使用红色地砖3块，黄色地砖2块，绿色地砖1块． 下面分四种情形讨论： ①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第4，5块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法； ④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第2，3块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法. 综上，共有 种不同的铺设方法． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）性别与使用AI工具的熟练度无关； （2） 0 1 2 3 数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. 【小问2详解】 男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【小问1详解】 ，则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ，故． 17. 如图1，平面五边形由等边三角形与矩形拼接而成，且，现沿进行翻折，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，其中为棱的中点，点分别在棱上（含端点），且平面． （1）求的值； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过设参数表示点的坐标，再利用线面平行时直线方向向量与平面法向量垂直列方程求解，得到的比值； （2）以第一问的空间直角坐标系为基础，用参数表示点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，再利用两平面夹角的向量表示列方程求解参数，进而得到的长度. 【小问1详解】 由题意，，，为等边三角形，为中点，故， 又平面平面，平面平面，所以底面. 以为原点，所在直线为轴，过平行的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设，则， ，，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量，由∥平面得， 即，解得​ 故； 【小问2详解】 由(1)得，设，，因为， 所以，所以 则，则， ， 设平面的法向量，则，即，令，则， 所以平面的法向量，. 设平面的法向量，则，即， 令，则， 所以平面的法向量，​. 设平面与平面所成角为，则，化简得， 解得或（舍），故. 18. 已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”． （1）已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由； （2）已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”； （3）已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定函数的单调性，结合给定的定义列式，再利用不等式性质判断即可. （2）利用给定定义，借助换元法及不等式性质推理得证. （3）由已知及给定定义，结合不等式性质及取等号的条件可得或，再利用定义，结合不等式性质求出. 【小问1详解】 函数在上单调递增，，则， ， 因此没有最大值，曲线不是“上界斜率曲线”. 【小问2详解】 令，， 由函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”， 得，恒成立， 且存在，使得，函数定义域内任意两个不同值， 使得，而，则， 函数在两点连线的斜率， 则 恒成立，且存在，使得， 所以曲线是“上界斜率曲线”. 【小问3详解】 由函数的定义域与值域均为，得存在，使得， 而曲线为“上界斜率曲线”，且，则， 因此，又，则，，必有或， 当时，且，即且， 因此且，则； 当时，且，即且， 因此且，则， 所以. 19. 已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． （1）求曲线的方程； （2）若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 【答案】（1）曲线的方程：，曲线的方程：; （2）（ⅰ）证明：设，则直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以， 设，由， 即， 由，得 ， 那么， 化简得 ， 即曲线的方程，经过定点； （ⅱ）面积的最大值为 【解析】 【分析】小问1运用椭圆的几何性质即可求解； 小问2的第1问设好点，利用点M计算出轨迹方程，从而得到定点的坐标； 小问2第2问先运用圆的性质表示出面积，再利用椭圆的性质进行求解. 【小问1详解】 解：因为2是的等比中项， 所以 解得， 所以曲线的方程：，曲线的方程：. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为曲线的方程是圆心在，半径， 所以，，由于，故当时，取最小值， 此时，曲线的方程为即， 设圆心，那么 ， 设，则，那么， 即单调递增，当取最大值时，取最大值. 又，故取最大值时，t取最大值； ，又， 所以， ， 根据二次函数性质可知 ， 所以，， 所以，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三冲刺（一） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 现统计了某品牌新店开业前个月每个月的成本（万元）和收益（万元）的情况，计算可得：，，且与的经验回归方程为．已知第个月的成本为万元，实际收益为万元，则第个月收益的残差为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 4. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 5. 已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 8. 已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知长方体中，，，分别是的中点，点在上运动（含端点），则（ ） A. 该长方体外接球的表面积为 B. 点到平面的距离的最大值为 C. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为 D. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为 11. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，其中，点在上，则（ ） A. 的准线方程为 B. 的面积为 C. 已知以为直径的圆与的准线有且只有一个交点，则 D. 已知上一点，过点作，垂足为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 13. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为的中点．若直线为线段的垂直平分线，则______． 14. 装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有____种不同的铺设方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求证：． 17. 如图1，平面五边形由等边三角形与矩形拼接而成，且，现沿进行翻折，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，其中为棱的中点，点分别在棱上（含端点），且平面． （1）求的值； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求的长． 18. 已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”． （1）已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由； （2）已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”； （3）已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值． 19. 已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． （1）求曲线的方程； （2）若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $