第四单元 长方体（二）（高频常考易错题单元提升一）（单元自检）-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（北师大版）

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为北师大版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第四单元 长方体（二）（高频常考易错题单元提升一） 一、填空题（共20分） 1．填上合适的单位。 （1）一个标准游泳池的容积为2200（ ）； （2）一瓶矿泉水的净含量是500（ ）。 2．用一根52厘米长的铁丝正好可以焊成一个长是6cm、宽是4cm、高是（ ）cm的长方体，这个长方体的体积是（ ）。 3．把一根长4米的长方体木棒截成3段，表面积比原来增加4.8平方分米，这根木棒原来的体积是（ ）立方分米。 4．把棱长为的正方体分割成棱长为的正方体可以分割成（ ）个。 5．如图是一个无盖长方体收纳盒子里面的展开图，收纳盒的容积是（ ）。 6．一根长方体木料正好可以截成3个正方体，且表面积会增加36平方分米，这根木料原来的体积是（ ）。 7．如图，一个长为10cm的长方体截成3段后表面积增加了32cm2。原来长方体的体积是（ ）cm3。 8．680立方分米＝（ ）立方米              升＝（ ）毫升 9．秦始皇陵是我国历史上第一座规模庞大，设计完善的帝王陵寝。其中，一号俑坑长230m，宽62m，深5m。一号俑坑占地面积是（ ）m2，容积是（ ）m3。 10．如图，用8个1cm3的小正方体测量玻璃盒的容积，玻璃盒的容积是（ ）cm3。 二、判断题（共10分） 11．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的表面积和体积都扩大到原来的4倍。（ ） 12．一块橡皮的体积大约有0.8m3。（ ） 13．一个长方体纸箱，从里面量长为31厘米，宽为12厘米，高为8厘米，最多可以放48个棱长为4厘米的小正方体。（ ） 14．棱长1分米的正方体最多可以截成5个棱长2厘米的小正方体。（ ） 15．棱长为1厘米的正方体，表面积和体积都是1cm2。（ ） 三、选择题（共10分） 16．用一根52米长的铁丝，正好可以焊成一个底面长6米，宽4米的长方体教具，这个长方体教具的体积是（    ）立方米。 A．36 B．3 C．72 D．48 17．以下说法正确的是（    ）。 A．表示2个相加的和是多少 B．“九折”是指原价是现价的 C．表示 D．和为1的两个数互为倒数。 18．数学课上，张老师把一个土豆依次放入下面4个玻璃容器中（浸没且水未溢出），放入（    ）容器中时水面升高得最多。（单位：分米） A． B． C． D． 19．一个正方体的棱长是2cm，根据下面提供的不同长方体信息，一定能与它搭成一个新长方体的是（    ）。 A．棱长和为：（3cm＋2cm＋5cm）×4的长方体 B．体积为：2cm×3cm×4cm的长方体 C．相邻两个面面积分别是：2cm×2cm和2cm×6cm的长方体 D．体积为8cm3的长方体 20．一个正方体容器，从里面量棱长为5dm，先注入60L的水，又投入6dm3的石块（完全浸没），这时水面距离容器口（    ）dm。 A．2.4 B．2.36 C．2.64 D．0.24 四、计算题（共6分） 21．计算下面各图形的表面积和体积。（单位：m） （1）    （2） 五、解答题（共54分） 22．某市进行了一个环保招标，主要是制作长方体太阳能支架坑，其中一家中标的公司标书给出的方案是：每个太阳能板支架坑长4米，宽2米，深0.6米，每立方米填沙费用50元。按这个方案制作2000个这样的太阳能板支架坑需要的总费用是多少？ 23．如图，一个长方体的玻璃缸，缸内有一些水，水深为5.4分米。在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，假山石的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 24．有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。将容器A中的一部分水倒入容器B，使得两个容器内水面高度相同。这时容器A和容器B中各有多少升水？ 25．在一个长3分米，宽24厘米，高22厘米的玻璃缸中，水深15厘米，小明将一块铁块完全浸入水中，水面上升3厘米，铁块的体积是多少？ 26．请结合生活中的实际情况想一想，电视机包装箱的长是60米，60分米还是60厘米？宽和高呢？箱子的体积是多少？ 27．如图，将一根长48分米的长方体木料截成两段，表面积比原来增加了45平方分米，原来这根木料的体积是多少立方米？ 28．在一个长方形四个角上剪去一个小正方形（如下图），然后围成一个长方体容器，这个容器的表面积和容积各是多少？ 29．一个游泳池长50米，宽20米，高1.8米，在游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？如果在池中注水到120厘米高，应注水多少升？ 30．乌鸦受伤了，飞不高，它想喝水，于是来到一个正方体的水槽边，里面装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿，在水槽的旁边有大小不一的三块石头。你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？请用计算解释你的做法。 做法： 计算过程： 参考答案 1．立方米/ 毫升/ 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米；常用的容积单位有升和毫升。根据一个单位的大小和单位前面的数字，结合生活实际经验进行解答。 棱长是1米的正方体的体积是1立方米，其可容纳液体的体积是1升，结合数据2200，所以计量一个标准游泳池的容积用“立方米”作单位比较合适； 几十滴水的容积是1毫升，结合数据500，所以计量一瓶矿泉水的净含量用“毫升”作单位比较合适。 【详解】（1）一个标准游泳池的容积约为2200立方米； （2）一瓶矿泉水的净含量是500毫升。 2．3 72立方厘米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用52除以4，求出长、宽、高的和，再减去长与宽的就是高；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这个长方体的体积。 【详解】52÷4＝13（厘米） 13－6－4 ＝7－4 ＝3（厘米） 6×4×3 ＝24×3 ＝72（立方厘米） 所以这个长方体的高是3厘米，体积是72立方厘米。 3．48 【分析】根据题意，把长方体木棒截成3段，要截2次；每截一次增加2个截面，截2次增加4个截面，表面积会增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原来木棒的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 【详解】4米＝40分米 4.8÷4＝1.2（平方分米） 1.2×40＝48（立方分米） 这根木棒原来的体积是48立方分米。 4．64 【分析】先求出大正方体的每条棱长切割成小正方体的棱长的个数，大正方体的每条棱长切割8÷2＝4个小正方体，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出小正方体的个块数，据此解答。 【详解】8÷2＝4（个） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（个） 把棱长为8cm的正方体分割成棱长为2cm的正方体可以分割成64个。 5．2560 【分析】观察图形可知，长方体收纳盒子的长是20cm，宽是16cm，高＝（32cm－宽）÷2，据此求出高，再根据长方体容积＝长×宽×高，据此求出长方体收纳盒子的容积。 【详解】（32－16）÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 20×16×8 ＝320×8 ＝2560（cm3） 一个无盖长方体收纳盒子里面的展开图，收纳盒的容积是2560cm3。 6．81立方分米/81dm3 【分析】每截一次，会多两个截面的面积。题中要截成3个正方体，需要截2次，则多了4个截面的面积，则一个截面的面积是36÷4＝9平方分米，3×3＝9平方分米，所以每个小正方体的棱长是3分米。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据算出一个小正方体的体积，再乘3即可解答。 【详解】36÷4＝9（平方分米） 3×3＝9（平方分米） 3×3×3＝27（立方分米） 27×3＝81（立方分米） 所以这根木料原来的体积是81立方分米。 7．80 【分析】根据题意可知，把这个长方体横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，计算原来长方体的体积。 【详解】32÷4×10 ＝8×10 ＝80（cm3） 故原来长方体的体积是80cm3。 8．0.68/ 600 【分析】1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升。大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率。据此解题。 【详解】680÷1000＝0.68（立方米） ×1000＝600（毫升） 所以，680立方分米＝0.68立方米，升＝600毫升。 9．14260 71300 【分析】求一号蛹坑的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出一号俑坑的占地面积；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】230×62＝14260（m2） 230×62×5 ＝14260×5 ＝71300（m3） 秦始皇陵是我国历史上第一座规模庞大，设计完善的帝王陵寝。其中，一号俑坑长230m，宽62m，深5m。一号俑坑占地面积是14260m2，容积是71300m3。 10．36 【分析】小正方体的体积为1cm3，则小正方体的棱长为1cm，据此求出玻璃盒的长、宽、高，再根据长方体的体积＝长×宽×高求出玻璃盒的容积。 【详解】正方体的棱长为1cm，则玻璃盒的长为4cm，宽为3cm，高为3cm。 玻璃盒的容积： （cm3） 所以玻璃盒的容积是36cm3。 【点睛】本题考查正方体、长方体的体积，解答本题的关键是找到玻璃盒长、宽、高的长度。 11．× 【分析】假设正方体的棱长为大于0的任意一个具体的自然数（比如棱长为1），按照正方体的表面积公式和体积公式分别计算出扩大前和扩大后的表面积和体积，再依据“求一个数是另一个数的几倍”用除法计算，用扩大后的数值除以扩大前的数值就得到扩大的倍数。 【详解】假设原正方体的棱长为1，扩大2倍后棱长是2。 ＝24÷6＝4 ＝8÷1＝8 因此这个正方体的表面积扩大到4倍，体积扩大到8倍。 故答案为：× 12．× 【分析】棱长是1m的正方体的体积是1m3，体积单位m3通常用于较大的物体。指尖的体积大约为1cm3，粉笔盒的体积大约为1dm3。据此解答。 【详解】根据生活经验、数据大小及对体积单位的认识可知：一块橡皮的体积大约有8cm3，远小于0.8m3，原说法错误。 故答案为：× 13．× 【分析】用除法分别求出长方体纸盒箱的长、宽、高里面各包含多少个4厘米，然后再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出最多可以放棱长为4厘米的小正方体的个数。 【详解】31÷4＝7（个）……3（厘米） 12÷4＝3（个） 8÷4＝2（个） 7×3×2 ＝21×2 ＝42（个） 一个长方体纸箱，从里面量长为31厘米，宽为12厘米，高为8厘米，最多可以放42个棱长为4厘米的小正方体。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】分别求出长方体的长、宽、高最多能放几个小正方体，再利用长方体公式求出小正方体的总个数是解题的关键。 14．× 【分析】把1分米化成10厘米，10÷2＝5，大正方体的每条棱上都可截得5个棱长为2厘米的小正方体，所以一共可以截得5×5×5＝125个小正方体。据此判断。 【详解】根据分析可得： 1分米＝10厘米 10÷2＝5（个） 所以5×5×5＝125（个） 故答案为：× 【点睛】本题也可以利用大正方体的体积除以小正方体的体积求出切割出的小正方体的总个数。 15．× 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【详解】表面积：1×1×6＝6（平方厘米） 体积：1×1×1＝1（立方厘米） 因此，棱长为1厘米的正方体，表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 故答案为：×。 【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．C 【分析】根据题意可知铁丝长度就是长方体教具的棱长之和，因此，棱长之和÷4＝长＋宽＋高，棱长之和÷4－长－宽＝高，长×宽×高＝长方体教具的体积，据此解答。 【详解】52÷4－6－4 ＝13－6－4 ＝3（米） 6×4×3 ＝24×3 ＝72（立方米） 这个长方体教具的体积是72立方米。 17．A 【分析】（1）求几个相同加数的和可以用乘法简便计算，2个相加，即＋，可以表示为； （2）商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”，几折就表示十分之几，如：“九折”表示现价是原价的； （3）表示3个相乘，表示3个相加，所以二者表示的意义不相同； （4）如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，据此解答。 【详解】A．分析可知，＝，表示2个相加的和是多少，题目说法正确； B．由折扣的意义可知，“九折”是指现价是原价的，而不是原价是现价的，题目说法不正确； C．分析可知，，，则不是表示，题目说法不正确； D．由倒数的意义可知，积为1的两个数互为倒数，题目说法不正确。 故答案为：A 18．C 【分析】由题意可知，放入土豆后升高部分水的体积等于土豆的体积，土豆的体积不变，由“”可知“”，当体积相等时，底面积越小高越大，底面积越大高越小，据此解答。 【详解】5×4＝20（平方分米） 6×3＝18（平方分米） 4×4＝16（平方分米） 7×3＝21（平方分米） 因为16＜18＜20＜21，所以的高度＞的高度＞的高度＞的高度。 故答案为：C 19．C 【分析】正方体的棱长是2cm，只要长方体的两个面是正方形，且对应的边长是2cm，即可与这个正方体搭成一个新长方体。 【详解】A．这个长方体的6个面中没有边长是2cm的正方形，不能与它搭成一个新长方体； B．这个长方体的6个面中没有边长是2cm的正方形，不能与它搭成一个新长方体； C．这个长方体的6个面中有边长是2cm的正方形，一定能与它搭成一个新长方体； D．8＝2×2×2＝4×2×1，这个长方体的6个面中可能有边长是2cm的正方形，也可能是长4cm×2cm×1cm的长方体，就没有边长是2cm的正方形，不一定能与它搭成一个新长方体。 一定能与它搭成一个新长方体的是相邻两个面面积分别是：2cm×2cm和2cm×6cm的长方体。 故答案为：C 20．B 【分析】因为1L＝1dm3，所以60L＝60dm3。水的体积是60dm3，石块的体积是6dm3，则总体积为60＋6＝66dm3。此时水形成的是长方体，长方体的体积公式为：体积＝底面积×高，则高＝体积÷底面积，正方体容器的底面积为5×5＝25dm2。用66除以25计算后，再用5减去66除以25的结果。 【详解】1L＝1dm3 60L＝60dm3 60＋6＝66（dm3） 5×5＝25（dm2） 66÷25＝2.64（dm） 5－2.64＝2.36（dm） 所以水面距离容器口2.36dm。 故答案为：B 21．（1）22800m2；216000m3；（2）162m2；108m3 【分析】（1）长方体的表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），体积公式＝长×宽×高，代入计算即可。 （2）该组合体可看作两个长方体拼接而成，左边长方体的长、宽、高为3m、3m、6m（3＋3＝6），右边长方体的长、宽、高为6m（9－3＝6）、3m、3m。 总表面积为两个长方体的表面积之和，再减去重叠部分的面积。重叠部分为2个3×3的正方形面积；总体积为左右两个长方体的体积之和。 【详解】（1）表面积：2×（60×40＋60×90＋40×90） ＝2×（2400＋5400＋3600） ＝2×（7800＋3600） ＝2×11400 ＝22800（m2） 体积：60×40×90 ＝2400×90 ＝216000（m3） （2）3＋3＝6（m） 9－3＝6（m） S左：2×（3×3＋3×6＋3×6） ＝2×（9＋18＋18） ＝2×（27＋18） ＝2×45 ＝90（m2） S右：2×（6×3＋6×3＋3×3） ＝2×（18＋18＋9） ＝2×（36＋9） ＝2×45 ＝90（m2） S总：90＋90－2×3×3 ＝180－18 ＝162（m2） V左：3×3×6 ＝9×6 ＝54（m3） V右：6×3×3 ＝18×3 ＝54（m3） V总：54＋54＝108（m3） 22．480000元 【分析】先根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，求出一个太阳能板支架坑的体积。再根据“总价＝单价×数量”，求出一个坑的填沙费用，再乘其数量 2000 个，即可求出总费用。 【详解】4×2×0.6×50×2000 ＝8×0.6×50×2000 ＝4.8×（50×2000） ＝4.8×100000 ＝480000（元） 答：按这个方案制作 2000 个这样的太阳能板支架坑需要的总费用是480000元。 23．60立方分米 【分析】由题意可知，玻璃缸内空白部分的体积＝容器的底面积×空白部分的高度，在缸内放入一块假山石，完全浸没后，溢出12升的水，说明假山石的体积等于玻璃缸内空白部分的体积再加上溢出水的体积，据此解答。 【详解】10×8×（6－5.4） ＝10×8×0.6 ＝80×0.6 ＝48（立方分米） 12升＝12立方分米 48＋12＝60（立方分米） 答：假山石的体积是60立方分米。 24．0.8升；2升 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷两个容器底面积的和＝水面高度，再分别用两个容器的底面积×水面高度，即可求出两个容器中的水量，根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，统一单位即可。 【详解】（16×10×17.5）÷（16×10＋20×20） ＝2800÷（160＋400） ＝2800÷560 ＝5（厘米） 16×10×5＝800（立方厘米） 800立方厘米＝800毫升＝0.8升 20×20×5＝2000（立方厘米） 2000立方厘米＝2000毫升＝2升 答：这时容器A和容器B中各有0.8升、2升水。 25．2160立方厘米 【分析】根据1分米＝10厘米，统一单位，水面上升的体积就是铁块的体积，根据长方体体积公式，玻璃缸的长×宽×水面上升的高度＝铁块的体积，据此列式解答。 【详解】3分米＝30厘米 30×24×3＝2160（立方厘米） 答：铁块的体积是2160立方厘米。 26．60厘米，宽50厘米，高40厘米；体积120立方分米 【分析】一庹的长度大约是1米，一拃的长度大约是1分米，一个指头的宽度大约是1厘米，根据对长度单位的认识，以及生活经验确定电视机包装箱的长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出箱子的体积。 【详解】60×50×40，指的是电视机包装箱的长60厘米，宽50厘米，高40厘米。 60×50×40＝120000（立方厘米）＝120（立方分米） 答：电视机包装箱的长60厘米，宽50厘米，高40厘米，箱子的体积是120立方分米。 27．1.08立方米 【分析】这根长方体木料截成两段后，表面积比原来增加了2个长方形的面积。已知表面积比原来增加了45平方分米，用45除以2即可求出一个长方形的面积，即横截面的面积。长方体的体积＝横截面的面积×长，据此代入数据计算即可。 【详解】45÷2×48 ＝22.5×48 ＝1080（立方分米） 1080立方分米＝1.08立方米 答：原来这根木料的体积是1.08立方米。 28．1100平方厘米；3升 【分析】根据展开图可知：长方体的长是（40－2×5）厘米，宽是（30－2×5）厘米，高是5厘米；要求这个容器的表面积，可以用长方形的面积减去4个小正方形的面积；再根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据带入公式求出容器的容积。据此解答即可。 【详解】长：40－2×5 ＝40－10 ＝30（厘米） 宽：30－2×5 ＝30－10 ＝20（厘米） 表面积：40×30－5×5×4 ＝1200－100 ＝1100（平方厘米） 体积：30×20×5 ＝600×5 ＝3000（立方厘米） 3000立方厘米＝3000毫升 3000毫升＝3升 答：这个容器的表面积是1100平方厘米，容积是3升。 29．1252平方米；1200000升 【分析】已知游泳池贴砖的表面积只有底面、左面、右面、前面和后面的表面积，则游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出贴砖的面积；先把120厘米化为1.2米，然后根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据即可求出水的体积，然后把单位换算成升。 【详解】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2 ＝1000＋180＋72 ＝1252（平方米） 120厘米＝1.2米 50×20×1.2 ＝1000×1.2 ＝1200（立方米） 1200立方米＝1200000升 答：至少需要1252平方米的瓷砖；应注水1200000升。 30． 见详解 【分析】观察图形，求出正方体水面到水槽最上沿的距离，用正方体底面积乘水面到水槽最上沿的距离计算出距水槽注满还需要多少水，再根据计算结果选择合适的石头。 【详解】做法：把②号和③号石头放进水槽。 计算过程：20×20×（20－18） ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） 358＋454＝812（立方厘米） 812立方厘米＞800立方厘米 所以，把②号和③号石头放进水槽，可以帮助乌鸦喝到水。 学科网（北京）股份有限公司 $