2026年浙江省杭州市余杭区、临平区中考一模数学试题卷

2026年中考模拟检测数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数中，比小的数是（） A. 1 B. 0 C. D. 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是小明5次射击成绩统计图，则这5次成绩的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（ ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A. B. C. D. 8. 图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 13. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_______． 14. 某洒水车水箱存水10吨，其水箱余水量（吨）随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．根据图中信息，在装满水的情况下，一次工作的最长时间为______分钟． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的度数是______． 16. 如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 化简求值：，其中． 18. 求不等式组的解集． 19. 在四边形中，，点在上，． （1）求证：． （2）已知，求的面积． 20. 某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． （1）求表中的值，的实际含义是什么？ （2）根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 21. 小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． （1）请用上述方法估算的值． （2）在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 22. 如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 24. 如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． （1）如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． （2）如图2，，点为中点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟检测数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数中，比小的数是（） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于，大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．求解即可． 【详解】解∶∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形绕着某个点旋转后能与原来的图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形绕中心旋转不能与原图形重合，故A不是中心对称图形； 选项B、该图形绕中心旋转不能与原图形重合，故B不是中心对称图形； 选项C、该图形绕中心旋转能与原图形重合，故C是中心对称图形； 选项D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转不能与原图形重合，故D不是中心对称图形． 3. 2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4. 如图是小明5次射击成绩统计图，则这5次成绩的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图读出5次射击的具体成绩，再根据众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由折线统计图可知，小明5次射击的成绩分别为：8，9，8，10，8， 在这组数据中，8出现了3次， 因此，这5次成绩的众数为8． 5. 将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质求得，再求得，根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 6. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 7. 某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（ ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 8. 图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点H，，利用锐角三角函数求出的长，再根据可知D到的距离为，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点H， 由已知， ， 在中，、， ， 、， 支撑架到的距离为． 9. 如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 10. 如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 13. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，所以从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= . 考点：频率. 14. 某洒水车水箱存水10吨，其水箱余水量（吨）随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．根据图中信息，在装满水的情况下，一次工作的最长时间为______分钟． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意计算出水的消耗速度，再用最大存水量10吨计算即可． 【详解】解：（分钟）， 即一次工作的最长时间为分钟． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转可得，，则，设，利用三角形内角和和等腰三角形的性质列方程即可解答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， 设， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 则的度数是． 16. 如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，易证明四边形是矩形，进而得到，由垂径定理得到、，根据勾股定理得到的长，在中，，在中，，进而得到关于的等式，利用、求解即可． 【详解】解：过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h， 、， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径的一部分， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， ， 、， ． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 化简求值：，其中． 【答案】5 【解析】 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 18. 求不等式组的解集． 【答案】－3＜x＜2 【解析】 【详解】本题先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分即是不等式组的解集． 解：由不等式3x－1＜5，得x＜2． 由不等式2x＋6＞0，得x＞－3． 解集x＜2和x＞－3在同一数轴上的表示如图所示． ∴原不等式组的解集为－3＜x＜2． 19. 在四边形中，，点在上，． （1）求证：． （2）已知，求的面积． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． （1）求表中的值，的实际含义是什么？ （2）根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 【答案】（1），，的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为 （2）优秀学生总人数约为人 【解析】 【分析】（1）先计算总人数，再用总人数乘以即可求得，用除以总人数，即可求得，再说明的实际意义即可； （2）利用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：总人数为人， ， ， 的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为； 【小问2详解】 解：（人）， 答：优秀学生总人数约为人． 21. 小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． （1）请用上述方法估算的值． （2）在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 【答案】（1） （2）①解：当，时， ； 当，时， ； 所以小金的发现正确； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，估算的近似值，此时，取，即，代入求值即可； （2）①或7，分别代入求值即可； ②根据题意或14，代入然后列方程即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得此时，取，即， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：当时， ； 当时， ； ∴ 解得， ． 22. 如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）5 （2）证明：由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ， 、， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 是的外角， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质设，则，由作弧可得，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）由作图可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，根据矩形的性质得到，结合等腰三角形的性质得到，设，则，，进而求出，根据三角形外角和定理得到，从而得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， 、、， 设，则， 以为圆心，长为半径作弧，交于点， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长为5； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、外角和定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ② 【解析】 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； 【小问2详解】 ①略 ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 24. 如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． （1）如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． （2）如图2，，点为中点，若，，求的长． 【答案】（1）①； ②证明：连接、、、、， ， ， 为的直径， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， 是等腰三角形， ， 由①知，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据圆周角定理得到、，进而得到，从而求出，利用圆周角定理得到，据此求解即可； ②连接、、、、，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到，证得是等边三角形，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，易证明，在中，，从而得出结论； （2）连接、、，易证四边形是平行四边形、四边形是菱形，进而得到、，根据，设、，证明，进而得到、及，利用勾股定理求出的值，根据证得，进而得到，利用求解即可． 【小问1详解】 ①解：连接、、， ，， 、， ， 即， ， ， ， ； ②略 【小问2详解】 解：连接、、、， 四边形是平行四边形， 、， 为的中点、为的中点， 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 、， 在中，， ， 解得， 、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形与菱形的判定与性质、垂径定理、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $