精品解析：2025年浙江省杭州市余杭、临平区中考一模数学试卷

2025年中考模拟考试数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 实数，1，0，中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 在下列有关人工智能的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（ ） A. 20 B. 0.24 C. 0.18 D. 0.4 6. 如图，在中，，， 分别在边上，将沿着折叠，得到，与 交于 ．当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为 ，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，， 的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板 的长分别为a，b，，记 与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，点P在反比例函数（k为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为c．过点P作轴交 于点E，作轴交于点F，连接．记 的面积为S，以下说法正确的是（ ） A. S的值仅与a，b有关 B. S的值仅与c，k有关 C. S的值仅与k有关 D. S的值与a，b，c，k都有关 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 13. 已知等腰三角形的顶角为 ，则底角的度数为_________． 14. 为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动．已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率_____． 15. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则 的值为______． 16. 菱形绕点 旋转得到菱形，点在上，交 于点 ．若，则 的长为_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 以下是小明解分式方程的解答过程： 解：① ② ∴③ 经检验是方程的解 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 19. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接， 平分． （1）写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． （2）已知，求 的长． 20. 某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分）．其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分（组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计分）绘制成如下统计图和统计表．根据图表信息解决问题： 调查问卷 你最喜欢的在线教育 机构（单选） ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它 测评机构测评情况统计表 课程 师资 教学 体验 A平台 7 9 8 B平台 9 8 7 ______ （1）随机抽取了多少份网友调查问卷？ （2）若“课程”“师资”“教学”“体验” 的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？ 21. 已知：如图，平分， 于点D． （1）尺规作图：作直线，使 ，与相交于点E．（请保留作图痕迹） （2）在上题条件下已知 ，，求 的长． 22. 为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 根据上述信息解决以下问题： （1）求 的值． （2）当时，求关于的函数表达式． （3）小红家月份、 月份的用水量都为整数吨，且都超过了 吨，水费合计为元，其中月份用水量低于 月份用水量，求小红家月份的用水量． 23. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求 的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 24. 如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． （1）如图2，若为的直径，求的度数． （2）求证： ①； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 实数，1，0，中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 根据实数的大小比较方法，比较出这几个数的大小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：， 故选：A． 2. 在下列有关人工智能的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，中心对称点是关键． 根据轴对称图形，中心对称图形的定义，找出对称轴，中心对称点即可求解． 【详解】解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有一条对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 3. 2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将A、B、C、D分别因式分解，符合形式的即可用平方差公式进行因式分解．本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是明白平方差公式：． 【详解】解：A、，不符合平方差公式，故本选项错误； B、，符合平方差公式，故本选项正确； C、，不符合平方差公式，故本选项错误； D、不符合平方差公式，故本选项错误． 故选：B． 5. 某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（ ） A. 20 B. 0.24 C. 0.18 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出样本中这一分数段的频数，再根据频率频数 样本容量即可得出结果． 【详解】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为， 故样本中这一分数段的频率是． 6. 如图，在 中，，， 分别在边上，将沿着折叠，得到，与 交于 ．当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，三角形外角的性质是关键． 根据直角三角形两锐角互余得到，根据三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为 ， ，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，， 的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标表示位置，理解坐标表示方法是关键． 如图所示，延长 到点，则，点所在的角度为，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长 到点， ∴， ∴， ∴点所在的角度为， ∴， 故选：C ． 8. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 9. 图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板 的长分别为a，b，，记 与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是正确解答此题的关键． 过点作，交直线于 ，延长 ，交直线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交直线于 ，延长 ，交直线于， 在中，，，则， ， ， ， ， ， 手柄所在直线与地面之间的距离为：， 故答案为：A. 10. 如图，矩形的两边分别在坐标轴上，，点P在反比例函数（k为常数，）的图象上，且在矩形内部，其横坐标为c．过点P作轴交 于点E，作轴交于点F，连接．记 的面积为S，以下说法正确的是（ ） A. S的值仅与a，b有关 B. S的值仅与c，k有关 C. S的值仅与k有关 D. S的值与a，b，c，k都有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，根据题意，先确定各点的坐标，，，，再根据利用列式求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵点P在反比例函数（k为常数，）的图象上，且横坐标为c， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴ 的面积为S仅与k值有关． 故选：C． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 已知等腰三角形的顶角为 ，则底角的度数为_________． 【答案】40度## 【解析】 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为 ， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 14. 为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动．已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率，理解题意是正确解答此题的关键． 明确剩余可选活动的组合方式，并确定符合条件的情况数占总情况数的比例即可求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，再次选到B的有4种， 他再选择B活动的概率是， 故答案为：． 15. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长 交的延长线于点，作于点 ，得到 ，，设正六边形的边长为 ，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长 交的延长线于点，作于点 ， ，， 设正六边形的边长为 ，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16. 菱形绕点 旋转得到菱形，点在上，交 于点 ．若，则 的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，过点作，交于点 ，得到，继而得到，得出，求出，由旋转得到，，由得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：菱形绕点 旋转得到菱形， ，， ， ， 如图，过点作，交于点 ， 菱形中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转可知， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和负整数指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 以下是小明解分式方程的解答过程： 解：① ② ∴③ 经检验是方程的解 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不对，从第①步开始错，解答过程见详解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母再解整式方程，最后要检验． 根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【详解】解：不正确，从第①步开始错， 正确步骤如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：， 检验：当时，， 故是增根，原方程无解． 19. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接， 平分． （1）写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． （2）已知，求 的长． 【答案】（1） ， 证明： 平分， ， 而 ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是正确解答此题的关键． （1）由两角相等很容易得到 ； （2）根据相似比列方程，再解方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， ， 解得（负值舍去）， ． 20. 某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分）．其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分（组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计分）绘制成如下统计图和统计表．根据图表信息解决问题： 调查问卷 你最喜欢的在线教育 机构（单选） ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它 测评机构测评情况统计表 课程 师资 教学 体验 A平台 7 9 8 B平台 9 8 7 ______ （1）随机抽取了多少份网友调查问卷？ （2）若“课程”“师资”“教学”“体验” 的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？ 【答案】（1）200份 （2） 推荐A平台，理由如下： A平台的总得分为 分， B平台的总得分为 分， ∵ ， ∴推荐A平台． 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，扇形统计图与统计表，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用A平台的得分除以可以求出选择A平台的人数，再除以A平台的占比即可求出答案； （2）分别求出两个平台加权后的成绩即可得到结论． 【小问1详解】 解： 份， 答：随机抽取了200份网友调查问卷； 【小问2详解】 略 21. 已知：如图，平分， 于点D． （1）尺规作图：作直线，使 ，与相交于点E．（请保留作图痕迹） （2）在上题条件下已知 ，，求 的长． 【答案】（1） 如图，直线即为求作的； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）在的左侧作 ，交于点 即可； （2）过点 作 于点，解直角三角形求出， ，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：由作法可知： ， ； 【小问2详解】 解：过点 作 于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 根据上述信息解决以下问题： （1）求 的值． （2）当时，求关于的函数表达式． （3）小红家月份、 月份的用水量都为整数吨，且都超过了 吨，水费合计为元，其中月份用水量低于 月份用水量，求小红家月份的用水量． 【答案】（1） （2） （3）小红家6月份的用水量为吨 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析，自变量或函数值的计算方法是关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解析式即可； （3）根据函数关系，分类讨论：①当吨时；②当吨时，③当吨时，结合函数关系求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 【小问2详解】 解：当时，设关于的函数解析式为，把点，代入得，， 解得，， ∴； 当时，； 当时，关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：小红家月份、 月份的用水量都为整数吨，且都超过了 吨， 设小红家月份的用水量为吨、 月份的用水量为吨； ①当吨时， ∴月份水费为元，7月份的费用为元， ∴， 解得：， ∵，为整数， ∴为整数， ∴，不符合题意； ②当吨时， ∴月份水费为元，7月份的费用为元， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，是整数， ∴为至 之间能被整除的整数， ∴， ∴此时； ③当吨时， ∴月份水费为元，7月份的费用为元， ∴ ∴，不符合题意； ∴小红家月份的用水量为吨． 23. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求 的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若， 的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点 ，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． （1）如图2，若为的直径，求的度数． （2）求证： ①； ②． 【答案】（1） （2） ①如图所示，连接， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵∵点P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圆周角之间的关系，熟练掌握弧、弦和圆周角之间的关系是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）①连接，先证明，，则可证明，进而证明，，进一步证明，得到，则可证明；②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；证明，得到，即，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴； ∵点P是的中点， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $