重庆市渝西中学2025-2026学年数学学科高一下学期4月月考试题

高2028届数学学科高一下4月月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=45°，C=75°，b=V2,则边a的长为() A.5 B.5 C.6+2 D.1 2 2.已知向量a=(2,-1),i=(-3,t),a1,则t=() A.-6 B.2 C.1 D.0 3.如图，在△ABC中，设AB=a,AC=b,2BD=3DC,则AD=() c.2a+36 D. 5 5 4.已知△ABC的三边满足a:b:c=5:11:13,则△ABC() A.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是锐角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5.已知O,N,P在△ABC所在平面内，满足DA=|D=oC,NA+NB+NC=0,且 PA:PB=PBPC=PCPA,则点O,N,P依次是△ABC的() A,重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，内心 D.外心，重心，垂心 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+cc0SB=2ac0sB,△ABC 的面积为33 ，则a+c的最小值为() A.35 B.3 C.6 D.6V3 7.在aABC中，P-(aB+AC,若snB.+2si4.PA+3sinC-PC-0,则cosC= 17 B. c.g 1 A.18 D.18 8.如图，设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,√3(acosC+c cosA)=2 bsin B,且 第1页共4页 ∠CHB=号若点D是AMBC外一点，DC=1DA=2,则四边形ABCD百积可能为《) D B A. 5 B. C. D.5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.关于平面向量a,b,c,下列说法中正确的是() A.d=2,=V3,则2-3≤反+≤2+V3 B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 c.若向量a与i同向，且l>,则a>b D.若ab=ac,则b=c 10.己知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2mAB+nAC,m,n∈R,则下列说法正确的 是() 则点P是边BC的中点 1 A.若m=n= B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则m=n= 3 C.若点P在C边的中线上，且2m+n=,则点P是△ABC的重心 1 D.若2m+n= 则Sae=254e 1已知△c的面积为行，角48，C的对边分别是a,国8产14品C,。-=b 则() A.A=B+7 B.C=2B C.c=2 D.BC边的中线长为V6-3V巨 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a=(3,,5=13),则a与i的夹角为 第2页共4页 13.已知向量e是单位向量，向量a在e上的投影向量为22，向量b在e上的投影向量为3e, 则a-的最小值为 DA DC 14.己知梯形ABCD面积为6√3，AB=3DC, DADC ~2,E为DC上靠近点C的四等 分点，G为线段BB上一点，且满足AG=】AB+1AD(2∈R),则元= AG的 2 最小值为 四、解答题（本题共25小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126海里，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再 看灯塔B在南偏东60°. 北不 D 609 309 759 求： (1A处与D处之间的距离： (2)灯塔C与D处之间的距离. 16.(15分)在平行四边形ABCD中，A(-3,0),B(1,6),C(3,4). (1)求点D的坐标： (2)若H为CD的中点，向量a=AB,方=BC,c=A,且(a+ki)/E,求 k的值。 L 17.(15分)如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BF=2FC,BE与AC,AF 分别相交于M,N两点. 第3页共4页 (1)若BE=CB+CA,求元+L的值： @若A=2=2万，A4D-于求： 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为4，b,c,m=(a,b+C), =(3sinc+cosC,1),mi=2(b+c). (1)求A: (2)若a=√5，求△ABC的周长最大值 (3)若△ABC为锐角三角形，其外接圆圆心为O,b=2√3.记△OAC和△OBC的面积分别为S1, S,求S-S,的取值范围 19.(17分)如图，若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,则称P为△ABC的 布洛卡点，α为布洛卡角.某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结 论，比如∠APC=π-∠BAC,若下列问题中的点P为△ABC的布洛卡点，请你和他一起解 决如下问题： (1)证明：∠APC=兀-∠BAC: (2)已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且∠ABP=∠PBC=,求证：b2=ac; (3)在(2)的条件下，若△ABC的周长为6，试把BA.BC表示为b的函数∫(b),并求f(b) 的值域。 第4页共4页参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B A C A D C A B 8【详解】因为V3 acosC+ccos A)=2 bsin B, 所以由正弦定理，得√3(sinAcosC+sin Ccos A)=2sin2B, 所以V3sinA+C）=2sin2B, 又因为A+B+C=元，所以sin(A+C)=sinB, 所以sinB= 2 又因为∠CAB=交， 所以B=T,故C=π-A-B= 3 3 四边形4CD面积等于S.c+5m 1 AC2+AD,DC.sin∠ADC x(4D+Dc2-24D-DC-cos∠ADC)+号4D,DC-sin∠ADc =V ×4+1-4cos∠ADC)+。×2sin∠ADC 2 53 4 +2sm20c-引 又∠ADCe(0,π)，所以∠ADC-青E(-青，等)，所以面积取值范围为 (9,2+9] 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AB BC ABD l.因为tanB= cosC sin B 1+sinC cos B 所以cos Bcos C=sin Bsin C+sinB,即cosB+C)=sinB, 所以cosπ-A)=-cosA=sinB,由sinB>0可知cosA<0,即A为钝角， 又-cos=m4-引所以n4-引B, 又AB为锐角，所以A-子=B,故A正确： 因为c2-b2=ab,由正弦定理可得sin2C-sin2B=sin Asin B, 所以(sinC+sinB)(sinC-sinB)=sin Asin B, 由和差化积公式可得4sinC+BcosC,B cosC+Bsin C,B-sin AsinB, -c0s- 2 2 即sin(C+B)sin(C-B）=sin Asin B,即sin Asin(C-B)=sin A sin B, 由sinA>0可得sinC-B)=sinB,所以C-B=B或C-B+B=元（舍去）， 即C=2B,故B正确； 由8可，4+8+C=B+受+8+28=，所以B-号故C-4=交 8 因为S=absinC=, =2,所以ab=1 =√2. sinC 由正弦定里，(2Rsn4sn8=5,即(2Rsn8+引小smB=2Rsn28=R=5, 解得R=1,所以c=2 Rsin C=2x5-V2,故c错误 由c2-b2=ab可知b2=2-2, a=2Rsn4=2Rsn经+8=2cos8=2 1+cos 2B 1+cos 2 4=V2+2' 1V2 设BC边的中线长为m,则m'=b2+O】 +{-2号cosC=2-2+2+5-2x5_6-32 2 4 24 = V6-3v2 所以 2,故D正确 三、填空题 12.30° 13.1 14.2/3,3V2 13.【详解】令0A=2e,0B,=3e,过A作0A,的垂线，在4上任取一点A,则a=0A,过 B作0B的垂线人，在马上任取一点B,则万=OB,则ā-=DA-0B=BA≥B,A=1. 故答案为：1 14【详解】正=而+DE=+0c=而+号孤，则而=花-}丽， 咸c+2正-4-日8. 由6、G、9三点类线，可得分子+i1,架得入-号 A=sD=片则D 由aDd 3 咸sem专p-in-o=号到网=65 则0=8，改G-亚+-号而+西而 -得6+丽+622得0+6=s=35, 当且仅当丽-.即-26,0-36时，等号成立， 故AG的最小值为3√2 四、解答题 15.(1)24海里 (2)8V5海里 【详解】(1)在△ABD中，∠ADB=60°，B=45°，由正弦定理得 ABsin B 12v6x2 AD=- in∠ADB 5 =24. 即A处与D处之间的距离为24海里. 2 (2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·AC cos30°， 解得CD=85.即C处与D处的距离为g5海里。 16.(1)D(-1,-2)(2)k=2 【详解】(1)因为A(-3,0),B(1,6),所以AB=(4,6), 设D(x,y),则DC=(3-x,4-y), 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC, [3-x=4「x=-1 所以 4-y=6y=-2' 所以点D的坐标为-1，-2). (2)因为H为CD的中点，C(3,4,D(-1,-2),所以H(1,1, 由AB=(4,6),BC=(2,-2,AH=(4,1), 且a=AB,b=BC,c=AH, 所以ā=(4,6)，b=(2,-2),c=（4,1), 所以ā+kb=(4,6)+k(2,-2)=(4+2k,6-2k), 因为ā+k5)/1,所以(4+2k)×1=4×6-2k),解得k=2. 4)号2 3 【详解】(1)因为四边形ABCD是平行四边形， BE=BA+AE-BA+1AD-CA-CB-1CB=-3CB+CA=ACB+HCA, 所以入=一=L所以+= 2 (2)因为E为AD中点，四边形ABCD为平行四边形， 所以E=+正=m+}而=厨+C. 因为BF=2FC,所以BC=3BF. 设BM=1BE,BN=uBE, 则BM=元BE=元BA+入BC, 2 BN-uBE=uBA+3H BF, 4 因为A,M,C共线，A,N,F共线， 1 2+ 所以 2 4 3 解得入= 3=7 所以Mm=BN-BM=BE-4BE=2BE, 3 21 因为BE=BA+AE,AB=2AE=2万，∠BAD=2 3 所以正-+正+2厨正o-）-y 28+7+2×2V7×V7×=7, 2 所以网明1-号 18.aA=骨 (2) 3)S,-S,∈ 35 3V5 4’4 【详解】(1)mi=aV5sinC+cosC+b+c=2(b+c,即√3 a sin C+acosC=b+c, 由正弦定理得，√3 sin Asin C+sin AcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sinA+C)=sin AcosC+cos AsinC,所以√3 sin AsinC=cos AsinC+sinC, 又snC+0,所以5snA-eosA=1,即2sn4--1, 因为4e(0,,所以4-”，5元）》 6(6’6 ,所以4-天，即4=及 66 (2)因为a=V5,A=青所以2R=品=2 所以周长L=a+b+c=5+2sinB+2sinC=V5+2sinB+2sin(B+号) =3+2v3sin(B+) 因为BE(0,弯)所以B+晋∈(，) 当B+号=号时，周长取得最大值，此时L=a十b+c=V5+25==3V3 (3)设AABC外接圆半径为R,则OA=0B=OC=R, 且由正弦定理2R=b=25,即R=5, sin B sin B sin B 因为∠40C=2B,∠B0C=2A=2n, 31 所以5ac-R-sn∠40c=3 2 sin'B'sin28=3 tan B' 5Rma0c-g如是 2n 3v3 sin2B+cos2 B 33 1 1+ 3 4 sin2B 4 8-- s-5,44 19.(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)f(b)=-(b+3)2+27, 【详解】(1)在△APC中，∠APC=π-（∠PCA+∠CAP) 因为P点为布洛卡点，所以∠PCA=∠PAB=C 所以∠PCA+∠CAP=∠PAB+∠CAP=∠BAC 所以∠APC=π-∠BAC (2)由LABP=∠PBC=a,则∠PAB=a,∠APB=π-2a=π-LABC, 在aABP中，由正弦定理得P4。,AB=AB sina sin1Pgsm乙iC,解得化 sina "sinABC①， 在△APC中，LACP=∠PBC=LPAB=a, LAPC=π-LPAC-LPCA=π-LPAC-LPAB=π-∠BAC, b b 由正弦定理得， PAAC sina sin.∠APC sinπ-∠BAC)’得、A —②， sina sin∠BAC 联立①②得 sin∠ABC sin/BAC'即bsin∠ABC=csin∠B4C. b 在ABC中，由正弦定理有b a sin∠ABC sin∠BAC' sin∠ABC-sinZ BAC两边相乘得=ac; b a bsin/ABC=csin/BAC (3)由题意有b2=aC,a+b+c=6, co女- =5[a+e-2ac-b]-6-6-36]=--6+18=-b+3+27, 所以f(b)=-(b+3)2+27, 又因为a+c=6-b≥2Vac=2b,(当且仅当a=c时，等号成立)，解得b≤2， 又由三角形边的关系知-b<c-a<b,则(c-a)2<b2,即(c+a)2-4ac<b2, 6--46,66-90.6,5.年0 65-2时、单时定妆。 创<5-” 2 ,fb)m=f(2)=2, 所以f(b)的值域为 2