精品解析：重庆市渝西中学2025-2026学年数学学科高一下学期4月月考试题

高2028届数学学科高一下4月月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则边a的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】， 根据正弦定理，即. 2. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，，则，解得. 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】由，可得， . 故选：A. 4. 已知的三边满足，则（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】可设，，，再借助余弦定理计算出即可得解. 【详解】由的三边，，满足， 可设，，（）， 则， 所以角是钝角，故是钝角三角形． 故选：C． 5. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则，即， 又，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 7. 在中，，若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由向量线性运算法则可得=，即可得P为△ABC的重心，则有++=，由正弦定理分析sinB•+2sinA•+3sinC•=可得b•+2a•+3c•=，由向量减法法则可得b（﹣）+2a•+3c•=，即b•+（2a﹣b）+3c•=，由平面向量基本定理可得，解可得a=b=3c，由余弦定理计算可得答案． 【详解】：根据题意，如图，在△ABC中，设D为BC的中点， 有+=2， 又由=（+），则=， 则P为△ABC的重心，则有++=， 若sinB•+2sinA•+3sinC•=，则b•+2a•+3c•=， 而=﹣， 则b（﹣）+2a•+3c•=， b•+（2a﹣b）+3c•=， 又由++=， 则有，解可得a=b=3c， 则cosC==； 故选D． 【考点】向量、三角形重心性质、余弦定理． 【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，涉及平面向量基本定理，关键是明确a、b、c的具体关系． 8. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若点D是外一点，，，则四边形面积可能为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得， ，又因为， 所以，得，又因为， 所以，则，故， ，， 所以，面积取值范围为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. ，，则 B. 若向量与不共线，则与都是非零向量 C. 若向量与同向，且，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据向量模的三角不等式判断；B选项，根据共线向量和零向量的定义判断；C选项，根据向量定义判断；D选项，整理得到，然后判断. 【详解】A选项， ，则，故A正确； B选项，零向量与任意向量共线，若，中存在零向量，则二者一定共线；因此不共线的两个向量必然都是非零向量，B正确； C选项，向量有方向，不能直接比较大小，只有模长可以比较大小，C错误； D选项，由只能推出，即或或，则不一定成立，D错误. 10. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，P为边BC的中点等价于， 即，，故A错误； 对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点， 则， 即，，即，故B正确； 对于C，若，则，且， 如图2，设，即，则点在边上， 点为的中点，所以，即C错误； 对于D，若，所以，且， 如图3，设，即，则点在上， 又因为P在BC边的中线上，则即为中线，从而点P为的重心，故D正确. 故选：BD． 11. 已知的面积为，角的对边分别是，，，则（ ） A. B. C. D. 边的中线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件化简判断A；根据正弦定理及三角恒等变换判断B；根据正弦定理求判断C；根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为， 所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故. 因为，所以. 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知， ， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角的坐标公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 13. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 14. 已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题（本题共25小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为，在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东． 求： （1）A处与D处之间的距离； （2）灯塔C与D处之间的距离． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，通过已知的角和边直接求出的长度； （2）在中，利用余弦定理，根据已知的两边和夹角求出的长度. 【小问1详解】 在中，，，由正弦定理得． 即A处与D处之间的距离为． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 ， 解得． 即C处与D处的距离为． 16. 在平行四边形中，. （1）求点的坐标； （2）若为的中点，向量，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，根据题意设点，然后写出的坐标，根据求出即可； （2）根据题意分别写出的坐标，再利用向量共线建立方程求出即可. 【小问1详解】 如图所示： 因为，所以， 设，则， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 所以点D的坐标为. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 由， 且， 所以， 所以， 因为，所以， 解得. 17. 如图，在平行四边形中，E为的中点，，与，分别相交于M，N两点． （1）若，求的值； （2）若，，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何图形，以及向量的线性运算，即可求解； （2）根据向量的线性运算，以及，，共线，，，共线，利用待定系数法求，，并求得，再根据向量的数量积公式求，即可求解. 【小问1详解】 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以，，所以． 【小问2详解】 因为为中点，四边形为平行四边形， 所以． 因为，所以． 设，， 则， ， 因为，，共线，，，共线， 所以， 解得，， 所以， 因为，，， 所以， 所以． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求A； （2）若，求的周长最大值． （3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标公式得到一个等式，然后利用正弦定理和和差的正弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出. （2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数性质得到其值域即可. （3）首先利用正弦定理列出外接圆半径与的关系，然后根据圆心角、圆周角的关系列出的大小，然后根据三角形面积公式列出的表达式，最后根据角的范围求出其范围即可. 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 所以周长 因为，所以 当时，周长取得最大值，此时． 【小问3详解】 设外接圆半径为，则， 且由正弦定理，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，，令， 则， ∵， ∴． 19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，α为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）证明：； （2）已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据布洛卡点的定义和三角形内角和为即可证明； （2）在和中分别应用正弦定理后可得，然后再在中应用正弦定理得，两个式子相乘即可证明； （3）由向量的数量积运算结合余弦定理、（2）的结论和的周长即可求得，根据基本不等式和三角形边的关系求出的范围，再由的单调性即可求得值域. 【小问1详解】 在中，， 因为点为布洛卡点，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 由，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得①， 在中，由正弦定理得，， 即，解得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘：， 所以. 【小问3详解】 由题意有，， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减， ，， 所以的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届数学学科高一下4月月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则边a的长为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的三边满足，则（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 在中，，若，则 A. B. C. D. 8. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若点D是外一点，，，则四边形面积可能为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. ，，则 B. 若向量与不共线，则与都是非零向量 C. 若向量与同向，且，则 D. 若，则 10. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 11. 已知的面积为，角的对边分别是，，，则（ ） A. B. C. D. 边的中线长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则与的夹角为__________． 13. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 14. 已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 四、解答题（本题共25小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为，在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东． 求： （1）A处与D处之间的距离； （2）灯塔C与D处之间的距离． 16. 在平行四边形中，. （1）求点的坐标； （2）若为的中点，向量，且，求的值. 17. 如图，在平行四边形中，E为的中点，，与，分别相交于M，N两点． （1）若，求的值； （2）若，，求； 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求A； （2）若，求的周长最大值． （3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，α为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）证明：； （2）已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $