精品解析：江苏盐城市响水县2025～2026学年下学期九年级模拟考试数学试题

2025~2026学年九年级模拟考试数学试题 注意： 1．本次考试时间为120分钟，满分150分； 2．所有答题一律在答题卡相应题号的区域内完成，超出无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形 内接于圆， ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 与 取值有关 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 9. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为____． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 11. 因式分解：______． 12. 若，化简______． 13. 二次函数的图象与一次函数 的图象至少有一个交点，则实数 的取值范围是________． 14. 如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离 米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． 15. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 16. 如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴 于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为____． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 18. 解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形 的四个顶点都是格点，E点是格点，且在边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）画格点F，并连且，使，且； （2）在线段上画一点M，连接 ，使； （3）直接写出（2）中线段的长度为_______． 21. 如图，在 中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF 求证：四边形AFCD是平行四边形． 若，，，求AB的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若二次函数的图象的顶点在直线上，求； （3）设时，当 时，则的函数值的取值范围是_________； 23. 长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的 处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点， ，，， ，在同一平面内．（参考数据：，，， ．） （1）求塔架的长度； （2）求风叶的长度．（精确到米） 24. 如图，是上的四个点，连接交于点，过点作交的延长线于点，延长交直线于点 （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）求证:是的切线: （3）若求的长. 25. 【情境】 图①的正方形 通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形 沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： （1）求线段 的长； （2）求点到直线的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． （3）请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形 的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出 的长． 26. 平面直角坐标系 中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． （1）①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； （2）若点在直线 上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时 的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； （3）若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年九年级模拟考试数学试题 注意： 1．本次考试时间为120分钟，满分150分； 2．所有答题一律在答题卡相应题号的区域内完成，超出无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，1，2． 故选：A． 3. 我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，黑色算筹“”表示的数是． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、，正确； B、不是同类项，不能合并，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算错误. 5. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，四边形内接于圆， ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 与 取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再计算，开方后得到的值． 【详解】解：∵由完全平方公式可得 将，代入得 计算得 又∵ 代入， 得 ∴ ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 9. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由分式有意义的条件，分母，解得； 故答案为． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 12. 若，化简______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解． 【详解】∵ ∴ 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查实数的性质化简，解题的关键是熟知取绝对值的方法． 13. 二次函数的图象与一次函数 的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可. 【详解】解：联立两个函数的解析式得 ， 整理，得， ∵两个图象至少有一个交点， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得. 14. 如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离 米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． 【答案】 12 【解析】 【分析】根据光的反射定律可得入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合垂直定义可证得人与镜子构成的三角形和旗杆与镜子构成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， , 根据光的反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， ，， ． 15. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点， ，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作 于 ， 于，证明，四边形 为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作 于 ， 于， ， ∴， ∴四边形 为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴ ，，， ∴平分， ∴ ， ∴，四边形 为正方形， ∴，， ∴， ∴． 16. 如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴 于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为____． 【答案】12 【解析】 【详解】解：设点A的坐标为（a，），则点B的坐标为（，）， ∵AB∥x轴，AC=2CD， ∴∠BAC=∠ODC， ∵∠ACB=∠DCO， ∴△ACB∽△DCO， ∴， ∵OD=a，则AB=2a， ∴点B的横坐标是3a， ∴3a=， 解得：k=12. 故答案为12. 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 18. 解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ， 在数轴上表示解集如图： 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得 ； ∴不等式组的解集为 ； 在数轴上表示解集如图： 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当时，原式==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 20. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形的四个顶点都是格点，E点是格点，且在边上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）画格点F，并连且，使，且； （2）在线段上画一点M，连接 ，使； （3）直接写出（2）中线段的长度为_______． 【答案】（1）如图, 点即为所求； （2）如图, 点 即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）把线段绕点 顺时针旋转得到线段即可； （2）取格点, 连接交于点N ，连接 并延长交于点 ,则点M即为所作； （3）设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，点 即为所求； 由（1）作图可得，， ， 又∵是矩形， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 设则 ， 在中， ， 即， 解得：， 故答案为：． 21. 如图，在 中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF 求证：四边形AFCD是平行四边形． 若，，，求AB的长． 【答案】 是AC的中点， ， ， ， 在 和中， ， ≌， ， 又，即， 四边形AFCD是平行四边形； ． 【解析】 【分析】由E是AC的中点知，由知，据此根据“AAS”即可证 ≌，从而得，结合即可得证； 证∽得，据此求得，由及可得答案． 【详解】（1）略 ， ∽， ，即， 解得：， 四边形AFCD是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键. 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点 ． （1）求一次函数的表达式； （2）若二次函数的图象的顶点在直线上，求； （3）设时，当 时，则的函数值的取值范围是_________； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点 代入解析式，求出的关系式，进而表示出顶点坐标，代入一次函数解析式进行求解即可； （3）待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ，解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：把代入，得： ， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标在直线 上， ∴， 整理，得，解得， ∴或； 综上：或； 【小问3详解】 解：当时，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵ ， ∴当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为0， ∴． 23. 长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架 叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点 的仰角为，点 ，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，， ．） （1）求塔架 的长度； （2）求风叶的长度．（精确到米） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，含角的直角三角形性质，掌握方程思想是解题关键． （1）在中，利用和，计算出 ； （2）设 ，作辅助线构造矩形，利用 推出，用表示和 的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【小问1详解】 解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为米． 【小问2详解】 解：如图，过点 作于点 ，过点作于点， 设风叶的长度为， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得米． 答：风叶的长为米． 24. 如图，是上的四个点，连接交于点，过点作交的延长线于点，延长交直线于点 （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）求证:是的切线: （3）若求的长. 【答案】（1）四边形ABCO是菱形， 理由如下：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， 为等边三角形， 同理，为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答； （2）根据菱形的性质得到 ，得到为等边三角形，为等边三角形，得到，根据切线的判定定理证明； （3）证明四边形为矩形， ，，根据含的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3），，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的判定、矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 25. 【情境】 图①的正方形通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： （1）求线段 的长； （2）求点 到直线的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． （3）请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出 的长． 【答案】（1）5 （2） （3） 解：由题意，作图如下： 或 或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到 ，进而得到 ，得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可； （2）作 ，证明 ，进行求解即可； （3）取的中点，在或 上确定中点的位置，进行裁剪即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知： ， ， ∴ ， ， ∴ ， 设，则 ， 在 中，由勾股定理，得， ∴，即 ； 【小问2详解】 解：作 ， ∵正方形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 由（1）可知： ， ， ， ∴， ∴，即点 到直线的距离为； 【小问3详解】 或 由作图可知： 或． 26. 平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． （1）①若，，则点 ，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； （2）若点在直线 上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； （3）若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】（1）①，；②或 （2）①；②或 （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入 ，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【小问1详解】 解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为 ， ∴矩形的周长为，矩形的面积为 ； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得 ， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得 ， ∴ 或6． 【小问2详解】 解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入 ，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入 ，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点 ，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $