精品解析：江苏盐城市响水县双语实验学校2025-2026学年下学期九年级第一次学情调研数学练习

2026春九年级第一次学情调研数学练习 分值：150分 时间：120分钟 一．选择题（共8小题， 每小题3分，计24分） 1. 比大1的数是（ ） A. B. 2027 C. D. 2025 2. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. x+1 B. C. x-1 D. 4. 在中，，则长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 5. 若是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A B. C. 2026 D. 2025 6. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共8小题， 每小题3分，计24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 10. 分解因式：3a2﹣12=___． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 12. 如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 13. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 14. 若，则的最大值是______． 15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为__________． 16. 如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 三．解答题（共11小题） 17. 计算：； 18. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 19. 先化简，再求值：，其中满足． 20. 如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表： 组别 成绩分 频数（人数） 频率 第1组 第2组 第3组 第4组 请根据图表中所提供的信息回答下列问题： （1）统计表中　 　，　 　； （2）补全条形统计图； （3）本次调查结果的中位数在第　 　小组； （4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分人数． 22. 如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 23. 如图，5个座位排成一排，一个座位上坐1人，张老师先坐在最中间的位置． （1）甲等可能地坐在其他空座位上，则甲与张老师相邻而坐的概率等于______； （2）甲、乙2人等可能地坐到其他4个空座位中的2个座位上（如图，记其余4个空座位的标号分别为1，2，3，4），请用画“树状图”或列表格的方法，求甲与张老师不相邻，但和乙相邻的概率． 1 2 张老师 3 4 24. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若求的半径和的长． 25. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（参考数据：，，） （1）求图中到一楼地面高度． （2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到十分位） 26. 主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． （1）【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． （2）【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． （3）【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接 （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春九年级第一次学情调研数学练习 分值：150分 时间：120分钟 一．选择题（共8小题， 每小题3分，计24分） 1. 比大1的数是（ ） A. B. 2027 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】求比一个数大1的数，只需用这个数加1，再根据有理数加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 比大1的数是． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 3. 化简的结果是（ ） A. x+1 B. C. x-1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化成同分母分数，再相加减，然后对分子分母分别因式分解，最后约分即可． 【详解】原式= = = =． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减的运算法则为解题关键． 4. 在中，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 5. 若是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，将代入方程，通过计算即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入方程得：， 即， ∴， 故选：C． 6. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴． 故选：D． 7. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8. 如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 故，所以①不符合题意； 由图象知时，函数最大值是，故②符合题意； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∴当时，，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 由图象过点可得， ∵， ∴ ， ∴， ∴，故⑤不符合题意， 故正确的有②③④共3个． 二．填空题（共8小题， 每小题3分，计24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 10. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】利用根的判别式解答． 本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 14. 若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点分别在轴，轴上，且轴．已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，连接，设反比例函数的解析式为，先得到，再根据求出k的值解答即可． 【详解】解：连接，设反比例函数的解析式为， ∵轴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点P，取线段的中点K，连接，作，再根据菱形的性质可得 ，然后根据折叠的性质可得，接下来说明，可得，即可得当点H，F，K共线时，的值最小值为线段的长度，再结合正切的定义，由勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点D作于点P，取线段的中点K，连接，过点K作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点H，F，K共线时，的值最小，即为线段的长度． ∵， ∴设，则， 由勾股定理，得， 解得， ∴， 即的最小值为． 三．解答题（共11小题） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算负整数指数幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数值和乘方，然后再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把它的解集表示在数轴上，如下： 19. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 20. 如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 21. 某学校组织“中秋诗词大会”，全体学生参与初赛，为了更好的了解学生成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（满分100分），整理得到如下不完整的统计图表： 组别 成绩分 频数（人数） 频率 第1组 第2组 第3组 第4组 请根据图表中所提供的信息回答下列问题： （1）统计表中　 　，　 　； （2）补全条形统计图； （3）本次调查结果的中位数在第　 　小组； （4）根据调查结果，请估计该学校1500名学生中，成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）3 （4） 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图中，的频数和频率可以求得本次调查的学生数，从而可以得到和的值； （2）根据（1）中的结果可以将统计图补充完整； （3）根据中位数的定义即可求出中位数分布在哪一个分数段； （4）利用乘以成绩不低于分的频率即可求出答案． 【小问1详解】 解：本次调查的学生有：（人）， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 中位数在第位和位， ∴中位数在第组， 故答案为：； 【小问4详解】 （人）． 答：该学校名学生中，成绩不低于分的有人． 【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，在平行四边形中，分别平分、，分别交、于点E、F． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义推出，根据即可； （2）先证明，过点A作，利用三角函数关系求得，再证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 过点A作，垂足为M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形的判定和性质，证明四边形AECF是平行四边形是解第2问的关键． 23. 如图，5个座位排成一排，一个座位上坐1人，张老师先坐在最中间的位置． （1）甲等可能地坐在其他空座位上，则甲与张老师相邻而坐的概率等于______； （2）甲、乙2人等可能地坐到其他4个空座位中的2个座位上（如图，记其余4个空座位的标号分别为1，2，3，4），请用画“树状图”或列表格的方法，求甲与张老师不相邻，但和乙相邻的概率． 1 2 张老师 3 4 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式和用列表法与树状图法求概率．利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． （1）直接根据概率公式求解； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲与张老师不相邻，但和乙相邻的结果数，然后根据概率公式求解． 小问1详解】 解：甲与张老师相邻而坐的概率； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲与张老师不相邻，但和乙相邻的结果数为2， 所以甲与张老师不相邻，但和乙相邻的概率． 24. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若求的半径和的长． 【答案】（1）与相切 （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，先根据角平分线的定义得，进而得出，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据平行线的性质说明，则此题可证； （2）在中，根据勾股定理求出半径；再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据平行线分线段成比例得出，再代入数值得出答案． 【小问1详解】 解：直线是的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的半径是． ∵是的直径， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 25. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（参考数据：，，） （1）求图中到一楼地面的高度． （2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到十分位） 【答案】（1） （2）约为 【解析】 【分析】（1）过点作于，由坡度的定义和勾股定理求解即可； （2）过点作于交于，过点作于交于，则四边形、四边形是矩形，求出，再由三角函数定义求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作于，如图所示， ， 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 答：到一楼地面的高度为； 【小问2详解】 解：过点作于交于，过点作于交于， ， 则，四边形、四边形是矩形，， ， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26. 主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． （1）【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． （2）【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． （3）【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）【常规探究】延长至G，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）【变式思考】延长，交的延长线于W，作于V，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3）【拓展应用】可判断当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值，作，交于G，作于W，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆O，作于，交于，当G点在处时，最大，进一步得出结果 【小问1详解】 解：【常规探究】如图1，，理由如下： 延长至G，使，连接， ∵四边形正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：【变式思考】如图2， 延长，交的延长线于W，作于V， ∵四边形正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，G是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：【拓展应用】如图3， 当点E在延长线上，点F在上时，存在最大值， ， 作，交于G，作于W，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆O，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ∴，，， ∴， ∴， ∴最大值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接 （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再分两种情况：①当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可；②当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可； （3）分两种情况：①点绕点逆时针旋转得到点，②点绕点顺时针旋转得到点，求出点的坐标，代入计算即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与抛物线交于点， ∴，轴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为， 由题意，设点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴或， ①如图，当时，设直线与轴交于点，连接， ∴， ∴，， ∴的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； ②如图1和图2，当时，设直线与轴交于点，连接， ∵， ∴在图2中，的面积为，不符合题意，舍去， ∴如图1中，的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； 综上，存在这样的点，其坐标为或． 【小问3详解】 解：由题意，设点的坐标为， ①如图，当点绕点逆时针旋转得到点时， 设直线与轴交于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得：， 解得或， ∴此时点的坐标为或； ②如图，当点绕点顺时针旋转得到点时， 同理可得：， 将点代入得：， 解得或（均不符合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $