2026年中考数学提升专题训练：一元二次方程

2026年中考数学提升专题训练：一元二次方程 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 4．下列数中既满足不等式组，又是方程的解的是（    ） A． B．1 C． D．3 5．已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 6．若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．对于任意两个实数，定义运算“”：．若，则的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．或2 8．2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从提升至，4月10日，这一税率进一步提高至．假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 9．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 10．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，则三角形点阵中前行的点数和可能是（  ） A．53 B．54 C．55 D．56 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 12．当__________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 13．一元二次方程的两根分别为，则_____ 14．已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 15．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 16．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 三、解答题 17．解下列方程 (1) (2) 18．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 19．某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 20．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C C D C C C 1．C 【分析】通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．A 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 3．D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 4．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，因式分解法解一元二次方程，先解不等式组得到x的取值范围，再解一元二次方程得到方程的根，筛选出同时满足两个条件的数即可得到答案． 【详解】解：解不等式组 解第一个不等式：得， 解第二个不等式：得； ∴ 不等式组的解集为 . ∵， ∴， 解得 ，. ∵ 不满足 ，满足 ∴ 符合条件的数是， 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，先将原方程整理为一般形式，计算两根的和与积，对所求分式通分变形，代入变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：整理原方程得 ， ∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， 则 6．C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 7．D 【分析】根据给定的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 8．C 【分析】根据题意可知：4月8日的关税为，4月10日的关税为，然后根据均增长率的规律列出方程即可． 【详解】解：设这两天关税日平均增长率为， 由题意得：． 9．C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 10．C 【详解】解：三角形点阵中前行的点数和为， 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是53； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是54； 当， 整理得：， ， ∴ 解得：，（舍去）， ∴前行的点数和可能是55； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是56． 11．且 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且． 12．2 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 13． 2 【分析】本题先利用一元二次方程根的定义，对所求代数式进行降次，再利用根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∴， ∵是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 将代入得， 原式． 14．2 【分析】用a代替一元二次方程中的x，可得，把展开，化成，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 15．0或 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 16．14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 18．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 19．(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 20．(1)3；2024 (2) (3)见解析 【分析】（1）用2023年的绿地面积减去2022年的绿地面积可得第一空的答案；求出2024年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案； （2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可； （3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可． 【详解】（1）解：公顷， ∴2023年比2022年增加了3公顷； ∵公顷，公顷，且， ∴在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2024年； （2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为； （3）解：公顷， 画图如下： 第2页，共9页 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $