2026年中考数学提升专题训练：三角形

2026年中考数学提升专题训练：三角形 一、单选题 1．如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 2．如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在网格中，点A，B，C均在格点上，，则的对称轴经过格点（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 6．如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在Rt中，，，三角形的面积为16.过点作，垂足为，沿，剪开，得到面积较小的，记为第1次操作，过点作，垂足为，沿剪开，得到面积较小的，记为第2次操作，如此下去，第次操作后较小三角形的面积是（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 12．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 13．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______． 14．如图，中，与交于点，则的长为_____． 15．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 16．如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 三、解答题 17．如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：． 18．如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的角平分线； (2)在图2中作出的内心点． 19．和中，在线段上移动（点在点的右侧），的位置随的位置变化而变化． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，与交于点，的延长线交于点，若，求的长； (3)在运动的过程中，与直线交于点，与线段交于点，若，请直接写出的长． 20．已知，点为等边的边延长线上一点，连接，点为线段上一点，，连接交于点，平分． (1)如图，，， ①求的度数； ②求的长． (2)如图，点是上一点，交于点，，求证：． 第4页，共6页 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 D B 0 B B D D 0 1.B 【分析】根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出DF，计算即可. 【详解】解：：D、E分别为AB,AC的中点，BC=8, i.DE=IBC=4, 2 :∠AFB=90°， :D为AB的中点，AB=5, DP=4B=25, :EF DE DF =1.5. 2.C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得∠EFD=60°，∠GDF-∠EDF=45”,利用矩形的 性质可得∠CFD=∠GDF=45°，再根据平角的定义解答即可求解. 【详解】解：：∠E=30°，∠EDF=90°，DA平分∠EDF, :∠EFD=60°，∠GDF=∠EDF=45°， 2 :矩形ABCD, :AD∥BC, .LCFD=∠GDF=45°， .∠BFG=180°-60°-45°=75°. 3.D 【分析】根据线段的垂直平分线性质解答即可. 【详解】解：设小正方形的边长为1，则AC=BC=V2+32=√0，AB=√32+32=3√2， .AC=BC≠AB, ABC是以CA、CB为腰的等腰三角形， :ABC的对称轴是边AB的垂直平分线，且经过点C, PA=PB=1+22=5, :点P在边AB的垂直平分线上， 第19页，共20页 ∴.PC是边AB的垂直平分线，即ABC的对称轴经过格点P, :BA=VP+12=√2，PB=V42+22=25, PA≠PB,点B不在AB的垂直平分线上， 同理可得，点，乃都不在AB的垂直平分线上 4.B 【分析】观察作图过程得出EF是线段BC的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， BD=AD=2即可作答. 【详解】解：观察作图过程，得出EF是线段BC的垂直平分线， D为BC的中点， .∠BAC=90°， .BC=2AD=4. 5.D 【分析】先由作图得AB=AD=CD=AE,结合AB=BC=5,可推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性 质得BD上AC,AF=CFAC=3,则EF=AE-4P=2,再由勾股定理分别求出DF、DE即 【详解】解：如图，连接BD交AC于点F, B D 由作图得AB=AD=CD=AE, 又：AB=BC=5, .AB=BC=AD=CD=AE=5, 四边形ABCD是菱形， BDL AC,AF=CF=-AC=3, ·DF=VAD2-AF2=V52-32=4, EF=AE-AF=2, 第20页，共20页 ·DE=VDF2+EF2=V42+22=25. 6.B 【分析】根据30°直角三角形的性质求出BC=2,AB=2V3,再利用等面积法求出BD=√5，利用弧长公式 进行计算即可. 【详解】解：：∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4, 1 BC=24C=2, :AB=VAC2-BC2=V42-22=2V5, ∠C=60°， :BD为AC边上的高线， Sc号4B-BC=4C-Bn, 2 即BD=√F, :BE BD BF =3, EF=m'=90xπxV3√5 180180 2. 7.B 【分析】根据三等分线定义可设∠ECB=∠ACB=∠ACD=x,得到∠E=90°-x,∠ABC=160°-x, ∠ABE=90°+2x,根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案， 【详解】解：：CA,CB为∠DCE的三等分线， .可设∠ECB=LACB=LACD=x, 则∠DCE=3x, :BE⊥CB交CE于点E, LCBE=90°， ∠E=180°-∠CBE-∠BCE=90°-x, :∠A=20°， .∠ABC=180°-∠A-∠ACB=160°-x, .∠ABE=∠E+∠DCE=90°-x+3x=90°+2x, .:∠ABE+∠ABC+∠CBE=360°， .90°+2x+160°-x+90°=360°， 第19页，共20页 解得x=20°， ∴.∠E=90°-x=70°. 8.D 【分析】连接OD，根据阴影部分的面积等于S。4o+S扇形EO,进行计算即可. 【详解】解：连接OD, 0 :∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2, .∠A=30°， .AB=2BC=4,AC=V3BC=2√5， :以边AB的中点O为圆心的半圆与AC相切， 0c=号48=04=2,0p14C .∠OAC=∠0CA=30°，∠AOD=90°-∠A=60°， :∠A0C=120°，0D=0A=1,AD=50D=5, 2 .LC0D=LA0C-∠A0D=60°， :S阴影=S.AOn+S舞形ODE 1x3x1+60r×1 360 26 9.D 【分析】根据三角形中位线定理可得DEIBC且DE=BC,结合F为BC中点可判断A;由DENBC及D 为AB中点，利用平行线分线段成比例推论可判断B;由DFIAC,EF‖AB利用平行线性质可判断C;根 据等腰三角形三线合一性质及已知AB≠AC可判断D. 【详解】解：：点D、E分别是边AB、AC的中点， DE是△ABC的中位线， :DE BC,DE=二BC, 第20页，共20页 :点F是边BC的中点， c时8c. DE=FC,故A正确； :DEBC,即DOIBF,点D是边AB的中点， :40=D=1,则40=0F,故B正确： OF BD :点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， :.DF是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线， .DF‖AC,EF‖AB, .∠BDF=∠BAC,∠FEC=∠BAC, .∠BDF=∠FEC,故C正确； :点F是边BC的中点， .AF是△ABC的中线， 若∠BAF=∠CAF,则AF也是∠BAC的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质，此时应有AB=AC,，但这与已知条件AB≠AC矛盾， ∠BAF≠∠CAF,故D不正确. 10.B 【分析】根据含30°角的直角三角形性质，求出每次操作后得到的三角形与原三角形的相似比，进而得出面 积比，归纳出第n次操作后的面积公式即可. 【详解】解：第n次操作后较小三角形的面积记作Sn, :在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°， ∠C=60°，BC=AC, 2 BC 1 第1次操作：：BD,⊥AC, ∠BD,C=90°， .∠BD,C=∠ABC=90°， ∠C=∠C, .△BD,C∽aABC, 第19页，共20页 S.BDC- S ABC :第1次操作后较小三角形的面积S=16×=4: 4 同理可得：第2次操作后较小三角形的面积S,=S×16x(日) =1 以此类推，每次操作后得到的三角形面积是前一次三角形面积的4， 第n次操作后较小三角形的面积5=16x日=4日×[目=日 11.3或√5 【分析】先在Rt△ABC中，由己知角度和边长求出∠B=30°及BD=3,再依据翻折性质得到 BQ=PQ,BD=PD=3,∠B=∠DPQ=30°，∠BQD=∠PQD等关键等量关系；随后分POBC、PQ‖AC两种 情况，利用平行线性质、等腰三角形判定及解直角三角形的知识，分别推导出两种情况下BQ的长度，最终 综合得BQ的长为3或√3 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6, .∠B=30°，BC=6, :D为BC的中点， :.BD-3BC-1x6-3 2 2 由翻折性质得：BQ=PQ,BD=PD=3,∠B=∠DPQ=30°，∠BQD=∠PQD 分两种情况讨论： 当PQ川BC时 B P :PQ‖BC,内错角相等得∠PQD=∠QDB, 结合翻折性质LBQD=LPQD, :.∠BQD=∠QDB,由等腰三角形等角对等边得BQ=BD=3, 第20页，共20页 当 PQ∥AC 时，延长PQ交 BC 于点M， B P M D A ∵PQ∥AC， $$\therefore \angle P M D = \angle C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 由翻折得 $$B Q = P Q ， B D = P D = 3 ， \angle B = \angle D P M = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ∴在 $$R t _ { \triangle } P D M$$ 中， $$D M = \sin \angle P P D = \frac { 1 } { 2 } \times 3 = \frac { 3 } { 2 } ，$$ ∵BD=3， $$\therefore B M = 3 - D M = 3 - \frac { 3 } { 2 } = \frac { 3 } { 2 } ，$$ 在 E $$R t _ { \triangle B Q M }$$ 中， $$\cos \angle B = \frac { B M } { B Q } ，$$ $$\therefore B Q = \frac { B M } { \cos 3 0 ^ { \circ } } = \frac { \frac { 3 } { \sqrt 3 } { 3 } } = \sqrt 3 ，$$ 综上，B 的长为3 3或 $$i _ { V }$$ $$\sqrt 3 .$$ 12.5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可 【详解】解：①当 AB=AC=5， 在 △ACD 中， 4-4<5<4+4， 在 ABC 中， 5-5<8<5+5， ∴此时 A 4C=5； ②当 AC=BC=8， ，在 △ACD 中， 4+4=8， ，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，AC的长为5. $$1 3 . \frac { 3 } { 2 }$$ 【分析】先求出 AC=4， ，然后分当 $$\angle A + 2 \angle A B D = 9 0 ^ { \circ }$$ 时，当 $$2 \angle A + \angle A B D = 9 0 ^ { \circ }$$ 时两种情况，通过相似三角 形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解. 【详解】解： $$\because \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， B C = 3 ， A B = 5 ，$$ 第19页，共20页 AC=VAB2-BC2=V52-32=4, 当∠A+2∠ABD=90°时， :∠A+∠ABD+∠DBC=90°， .LABD=∠DBC, 过点D作DE⊥AB于点E,如图， D E :∠C=90°， .CD=DE, 在Rt△BDE和RtABDC中， (BD=BD DE DC' :.RtBDE≌Rt△BDC(HL), .BE =BC=3, AE=AB-BE=5-3=2, 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=V52-32=4, 设CD=DE=x,则AD=4-x, 根据勾股定理得：AD2=DE2+AE2,即(4-x)2=x2+2, 解得：x=2’ 3 CD=3 当2∠A+∠ABD=90°时， :∠A+∠ABD+∠DBC=90°， .∠DBC=∠A, :∠BCD=∠ACB, △ABC∽△BDC, CD BC ·BCAC 第20页，共20页 即CD、3 34 解得：CD=9 3 综上所述，CD= 14.5 9 【分析】过点D作DF⊥AB于点F,由tan∠ABD=2√3和勾股定理求出BF=l,DF=2V3,求出 LACB=30,得AB=)BC=3,AC=√BC2-AB=35,AF=AB-BF=2,由△ACEAFDE,得 2 2子，求出F号耳利E-8即+F号 EF 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F,则∠BFD=90°， D B :tan∠ABD=2V3, DF =23, BE :DF =23BF, DF2+BF2=BD2,BD=13, :BF=1,DF=23, .∠A=90°，∠ABC=60°， .∠ACB=30°， :BC=6, AB-7BC-3, .AC=BC2-AB2 =33,AF AB-BF =2, ∴.AE=2-EF, :AC∥DF, ∴.△ACE∽△FDE, 第19页，共20页 AE AC 33 3 EF DF 232 :2-E-3 4 .EF= 5 ·BE=BF+EF=9 15.号08 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得CD=AD=BD=AB,进而得到∠CBE=∠CDE 2 ,根据三角形的面积公式求出AE,由勾股定理，在Rt△BCE中，求出CE,再根据锐角三角函数的定义求 解即可. 【详解】解：如图，连接BE, :CD是斜边AB上的中线，DE⊥AB, 0 .DE是AB的垂直平分线， ∴.SADE=SBDE=5，∠EBA=LA, Se=10=)4E8C, :BC=4, :AE =5=BE, 在Rt△BCE中，BC=4,BE=5, .CE=BE2-BC2 =3, ·CD=AD=BD=三AB, ∠A=∠EBA=∠ACD, 又：LBCA=90°=LBDE, ∠CBE=90°-∠BEC=90°-2∠A,∠CDE=90°-∠BDC=90°-2∠A, ∴.∠CBE=∠CDE, BC 4 ∴.cos∠CDE=cos∠CBE= BE5· 第20页，共20页 16.16 【分析】以AB为斜边作Rt△ABE,且使得∠BAE=∠CAP,延长BE到F,使得EF=BE,连接PE,QF, 可证明△PAE0△CAB,得到E-发：则PE=4:由三角形中位线定理可得OF=2PE=8:证明E 垂直平分BF,得到AF=AB=8;根据AQ≤AF+QF,得到当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，最大 值为8+8=16. 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作Rt△ABE,且使得∠BAE=LCAP,延长BE到F,使得EF=BE, 连接PE,QF, ◇ B Cos∠BAE=cos∠CAP=4 ACAB :∠BAE-∠CAE=∠CAP-∠CAE, .∠PAE=∠CAB, △PAEn△CAB, 限方 PEAE4 BC=5, ∴PE=4: EF=BE,PO=BP, ∴PE为△BQF的中位线， .OF =2PE=8; :EF=BE,∠AEB=90°，即AE⊥BF, AE垂直平分BF, .AF=AB=8; :AQ≤AF+QF, .当A、F、Q三点共线时，AQ有最大值，最大值为8+8=16. 第19页，共20页 17.见解析 【分析】证明RtABDF≌RtAADC(HL),即可证明AD=BD. 【详解】证明：：AD⊥BC, .∠ADC=∠ADB=90°， 在Rt△BDF和RtAADC中， ∫BF=AC DF DC' .RtABDF≌RtAADC(HL, .AD BD. 18.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)取格点？，作射线BQ,交AC于点D,则BD是∠ABC的平分线： (2)取格点G,连接AG,交BD于点P,则点P是ABC的内心. 【详解】(1)解：如图，BD即为所求； -K 理由：取格点M,N,连接QM,QN,则： QM=QN,QM⊥BC,QN⊥AB, ·.点Q在∠ABC的平分线上，即BD是∠ABC的平分线： (2)解：如图，点P是ABC的内心即为所求； 1-B 理由：取格点F,连接GF,AG,AG与BC交于点H,则GF∥AB, △HGFn△HAB, BH AB 3 FH-GF-T' 第20页，共20页 BF 4 HF-T CF 4 HF1 CH 5 DFI' BH 3 HC3' S.ABI=2 BH·AB BH 3 S。AHC c8 HC=5' AB=3,BC=4, .AC=VAB2+BC2=V32+42=5, 设ABC的边AC上的高为h,且AB⊥BH,则： S.Aa=2 BH·AB 1BH×33 SAHc 4C6 1 1 ∴.BH=h, .AH是ABC的角平分线， 点P是ABC的内心. 19.(1)见解析 、14 ②15 84或 【分析】(1)证明△ABC≌△DFE(SAS),得LC=LDEF,即得AC=AE; (2)建立平面直角坐标系：以B为原点，BC所在直线为x轴，设E(e,0),De+6,0),F的坐标为 e+6,求直线F的解析式为r青子，[是） 5,行直线AB解析式为y=x,当x=e+6时， 3 4 512-6,即985-片 28 第19页，共20页 3y设E=1,建立坐标系：B@01,CI00,4器)，，D+60,F-6到，由Q) 44 知，直线F解析式为，求出直线4C解祈式y=二了+3·联立求得M),20,,得 2’3 6 NC=4-+g-4-4-小由wC=44M,得4-小24-列，当0s1s时，当 <t≤4时， 分情况解答，NC的长为4或 【详解】(1)证明：∠BAC=∠EDF=90°，AB=DF=8,AC=ED=6, .△ABC≌△DFE(SAS, .ZC ZDEF :EF经过点A, .AC=AE; (2)解：如图，建立平面直角坐标系：以B为原点，BC所在直线为x轴， A G H BE ID 设E(e,0),则De+6,0, ∴F的坐标为e+6,8, 设直线EF的解析式为y=kc+b, ek+b=0 得 (e+6)k+b=8' 4 k= 解得 3 4 b=-3e 直线EF的解式为y,, 3e, 过点A作AI⊥BC于点I, 第20页，共20页 BC=AB2+AC2=10, 1 S.c=4B-AC-7BC.AI. :A1=24 :BI=VAB-AT=32 3224 .A 55 设直线AB解析式为y=ar, 则32。=24 -a= 5 3 a=4' 3 :直线AB解析式为y=4x, 当x=e+6时， 39 9 :.Ge+6,4 e*2 「3 y= 联立 4.4 V= 3 e 3 16 x= 解得 12 y= 1612 .He.e ce-69 7e+42-16e 21e+126-48e 7 28 42-9e2,(126-27e + 28 (42-9e)2942-9e2 49 784 第19页，共20页 16(42-9e)2+942-9e)2 784 25(42-9e2 784 542-9e 28 =6, 42-9e=±6×28+168 5 5 解得e=4或e= 42 15 5 (舍去)， c-普 (3)解：如图所示， 以 M M H D B DC 设8E=1,建立至标系：8Q01,C100,[是)0,0+60，F+6 44 类比(2)知，直线EF解析式为y=。x-二t, 3 3 设直线AC解析式为y=cx+d, 32 24 则5c+d 5， 10c+d=0 解得 3 40 d “直线4C解析式为y=- .40 3+3 第20页，共20页 4 3x-3 Y= 联立 4.40 y=- 3+3 x=+10 2 解得子 20-2t’ 3 M t+1020-2t 2,3 :AM= /t+1032 20-21247_5-14, 2-1 + 35 6 4.40 对AC:y=3+3 当x=t+6时， 4t+6+ y= 404-16 3 3 3 66) .NC=4AM, 即4-小=4x4刘， 6 .54-t=2l4-5, 当0≤1≤号时，4-120,14-51≥0： 54-=214-51, 化简20-51=28-10t, 5t=8, 解得1子 wc-4-号=4 当4 1≤4时，4-1≥0,14-51<0： 54-t=25t-14, 第19页，共20页 化简20-51=10t-28, .151=48, 解得1=16 5 _16-5×4-4 5353 综上，NC的长为4或 3 20.(0045°；②6 2 (2)详见解析 【分析】(1)①利用等边三角形的性质、三角形内角和定理，先求出∠BAD的度数，再结合角平分线的定 义与三角形内角和，推导∠ACE的度数.②通过作辅助线构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性 质和勾股定理求出线段长度，再结合等腰直角三角形的性质与等边三角形的边长关系，求出BC的长 (2)通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质、等边三角形的性质证明三角形全等，再结合已知线段 和差关系，再次证明三角形全等，从而推导出BH=GH. 【详解】(1)解：①：△ABC为等边三角形， AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°. :点D在CB延长线上， ∠ABD=180°-∠ABC=120°. 在△ABD中，∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-45°-120°=15°， .∠EAC=∠BAD+∠BAC=15°+60°=75°. :EC平分∠AEB,∠AEB=120°， LAEC=.∠AEB=60° .∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-75°-60°=45°. ②如图，过点A作AM⊥CE于M,则∠AME=∠AMC=90°. D B 在Rt△AEM中，∠AEM=60°， .∠EAM=30°. 第20页，共20页 AE=1, .EM =1 2 :AM=AE2-EM2 5 2 在Rt△AMC中，∠ACE=45°， △AMC为等腰直角三角形， .CM-AM= AC=VAM+CM= 2 :△ABC为等边三角形， .BC-Ac= 2 (2)解：如图，过点B作BN∥AC,交CE的延长线于点N. A 、、B F H D B :EC平分∠AEB,∠AEB=I20°， LAEF=60°. 又∠ABC=60°，即∠CBF=60°， :ZAEF ZCBF. ∠AFE=∠CFB, ∴.在△AFE与ACFB中，∠EAF=∠BCF,即∠BAD=∠BCN. BN∥AC, :∠CBN+∠ACB=180°， .∠CBN=180°-60°=120°，即∠ABD=∠CBN=120°. 在△ABD和△CBN中， ∠ABD=∠CBN AB=BC ∠BAD=∠BCN △ABD≌△CBN(ASA, 第19页，共20页 :BD BN AB=BD+AG,AB=AC=AG+G C, :AG+GC=BD+AG. .GC=BD. BN =GC. :BN∥AC, ,∴.∠BNH=∠GCH,∠NBH=∠CGH(两直线平行，内错角相等). 在△NBH和△GCH中， ∠BNH=∠GCH BN=GC ∠NBH=∠CGH ∴△NBH≌aCGH(ASA, :BH =GH. 第20页，共20页