精品解析：江苏南京市七校联合体2025-2026学年高二下学期期中考前练习数学试题

2025—2026南京市七校联合体高二期中考前练习 数 学 一、单项选择题：满分40分 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 7. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 二、多项选择题：满分18分 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（ ） A. 从六位专家中选两位的不同选法共有20种 B. “呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种 C. “护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种 D. “护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 11. 在棱长为2的正方体中，是的中点，是线段上的动点，且，则（ ） A. 当时， B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 当四点共面时， 三、填空题：满分15分 12. 若，则_______．（用数字作答） 13. 已知、为随机事件，且，，若，则___________. 14. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 四、解答题：满分77分 15. 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答． （1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率； （2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望． 16. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 17. 现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望． 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率． 19. 已知函数，. （1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026南京市七校联合体高二期中考前练习 数 学 一、单项选择题：满分40分 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为， 故点关于原点对称的点的坐标为. 故选：B 2. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即． 4. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列的性质概率之和为1，再由，得到的两个方程，求解即得. 【详解】由分布列的性质，可得，即， 因为，所以，即， 解得，. 故选：C． 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 6. 已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答. 【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为， 则， 因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，， ， 所以. 故选：D 7. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 8. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 二、多项选择题：满分18分 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 10. 为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（ ） A. 从六位专家中选两位的不同选法共有20种 B. “呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种 C. “护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种 D. “护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 【答案】BC 【解析】 【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D. 【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误； 对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确； 对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确； 对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误； 故选：BC 11. 在棱长为2的正方体中，是的中点，是线段上的动点，且，则（ ） A. 当时， B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 当四点共面时， 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直、空间中两点间的距离公式以及二次函数性质和空间向量基本定理逐项分析即可. 【详解】由题意知，以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 因为在上，且，所以， 所以，即， 对于A，当时，，此时， 由，所以， 即，故A正确； 对于B，由, ， 当时，， 所以的最小值为，故B错误； 选项C，由， , 所以，所以， 由， 当时，， 所以的最小值为，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由， 若四点共面，则可以由线性表示， 即存在有序实数对，使得， 即， 所以有，故D错误. 三、填空题：满分15分 12. 若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 13. 已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 14. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解. 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为. 故答案为： 四、解答题：满分77分 15. 小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答． （1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率； （2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 30 40 50 60 P . 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率公式结合古典概率的概率公式求解； （2）求出的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列求得期望. 【小问1详解】 所求概率为. 【小问2详解】 的所有可能取值为， ，， ，． 所以的分布列为 X 30 40 50 60 P 的数学期望. 16. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 17. 现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合全概率公式求解即可； （2）求出的取值和相应的概率可得分布列及期望. 【小问1详解】 设“任取一个零件为次品”， “零件为第台车床加工”（）， 则，且两两互斥， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； 【小问2详解】 可取， ， ， ， 的分布列为 35 32 30 所以. 18. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 则第2次投篮的人是乙的概率为0.6. 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 则第i次投篮的人是甲的概率为. 19. 已知函数，. （1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） （3）当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在，上单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在单调递减. 【解析】 【分析】（1）将函数在区间上有单调递减区间转化为在上有解，进而再转化为函数最值问题可得； （2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题可得； （3）直接根据导数的根分四类讨论：，，，,再结合二次函数的性质可得. 【小问1详解】 因为函数，定义域为，， 因为在上存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解，也等价于在上有解， 令，，所以函数在上单调递减， 所以，即，因此. 所以实数m的取值范围为. 【小问2详解】 因为在上恒成立，所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即等价于在上恒成立. 由（1）知在上单调递减，所以，所以. 因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，函数的定义域为，， ①当时，，令，得， 所以当，所以在单调递增，在单调递减； ②当时，令，得或， 当时，，所以或时，；， 所以函数在，上单调递增，在单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以或时，；， 所以函数在，上单调递增，在单调递减； 综上所述，当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $