精品解析：2026年福建省泉州第五中学九年级下学期适应性数学试卷

泉州五中2026届初三下学期适应性数学试卷（4.17） （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》正式引入负数，如果收入80元记作元，那么元表示（ ） A. 支出元 B. 支出75元 C. 收入75元 D. 收入25元 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游约135000000人次．135000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式正确的是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 如图，已知直线与与圆O分别相切于点A，B，若，，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 的相反数为___________． 12. 一元二次方程的根___________． 13. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 14. 如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 15. 如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是___________． 16. 如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 三．解答题（共6小题，满分86分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 21. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 0.8 初中部 8 8.5 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 22. 如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． （1）求山坡的长； （2）求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 23. 依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查 采购的总质量 50 100 200 400 500 完好柑橘的质量 柑橘完好的频率 调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x(元)与采购的总质量之间的关系满足． 任务一(分析) (1)可以估计柑橘完好的概率约为_______(精确到)． （2）由(1)知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为_______(结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)． 任务二(决策) (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/kg？ 24. 函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，． （1）求m，c的值； （2）当时， ①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由； ②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在四边形中，，且，过点、、作交于点，连接，，，设，交于点，且满足． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径； （3）若，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026届初三下学期适应性数学试卷（4.17） （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》正式引入负数，如果收入80元记作元，那么元表示（ ） A. 支出元 B. 支出75元 C. 收入75元 D. 收入25元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“+”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：∵收入80元记作元，即“+”代表收入， ∴“”代表与收入相反的支出， ∴元表示支出75元， 故选：B． 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图即可，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 故选：． 3. 2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游约135000000人次．135000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由对顶角可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：如图， ∵直线l与a，b分别交于点A，B，， ∴， ∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 下列各式正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式性质化简、零指数幂、合并同类项、有理数减法运算即可判断。 【详解】解：A. ，选项错误，不符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. ，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简、零指数幂、合并同类项，有理数的减法，掌握运算性质是解题的关键． 6. 如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ． 7. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 8. 研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的调和数定义，得到三个数倒数之间的等量关系，列出分式方程求解即可得到结果. 【详解】解：由题意，， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此x的值为20. 9. 如图，已知直线与与圆O分别相切于点A，B，若，，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，证明四边形为正方形，可得，，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵直线与与圆O分别相切于点，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴劣弧的长为． 10. 如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，可得，；根据垂线的性质，得当时，取最小值，结合题意得，根据勾股定理和三角函数性质，从而计算得及；再根据勾股定理性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，得，，即选项A正确； 如图，当时，取最小值， ∴， ∴， ∴，即选项C错误； ∵ ∴，即选项B正确； ∴， ∴，即选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线、三角形、勾股定理、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握垂线、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 的相反数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数为. 12. 一元二次方程的根___________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： 移项，得 ∴ 可得 或 解得 ，． 13. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 14. 如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为． 15. 如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是___________． 【答案】x＜0或1＜x＜4 【解析】 【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2． 故答案为：x＜0或1＜x＜4． 【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方． 16. 如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，． ∵矩形和正方形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 三．解答题（共6小题，满分86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用“”证明即可得到：． 【详解】解：证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，对括号内的分式通分，将除法转化为乘法，约分后得到最简分式，再代入x的值计算即可求解． 【详解】 解： 原式      将代入得，原式． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 21. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分）： 小学部：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10； 初中部：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 小学部 8 8 0.8 初中部 8 8.5 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高？请说明理由； （3）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”？请说明理由． 【答案】（1）9；8；9 （2）初中部的学生对“校园餐”的满意度更高，理由见解析 （3）该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据初中部平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数求解即可； （3）用小学部和初中部的学生数分别乘以样本中大于或等于8分的学生所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，即， ． 根据题意可得小学部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 根据题意可得初中部打分出现次数最多的是9，则众数， 【小问2详解】 解：初中部的学生对“校园餐”的满意度更高， 通过比较中位数可知，，通过比较众数可知，， 初中部的学生对“校园餐”的满意度高于小学部的学生对“校园餐”的满意度； 【小问3详解】 解：小学部和初中部满意度评分大于或等于8分的人数为：（人）， 该校学生总数占比为：（人）， ， 该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 22. 如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． （1）求山坡的长； （2）求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）山坡的长为米 （2）此时无人机离地面的高度的长米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； 【小问2详解】 解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 23. 依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查 采购的总质量 50 100 200 400 500 完好柑橘的质量 柑橘完好的频率 调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x(元)与采购的总质量之间的关系满足． 任务一(分析) (1)可以估计柑橘完好的概率约为_______(精确到)． （2）由(1)知，用900元采购的柑橘量，进入市场后，实际可以销售的质量约为_______(结果保留整数；损坏的柑橘不得销售)． 任务二(决策) (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/kg？ 【答案】 (1) (2) 90 (3) 应采购柑橘，售价定为20元. 【解析】 【分析】总结性分析：本题考查了利用频率估计概率、一元一次方程的实际应用与一元二次方程的利润问题，解题的关键是从调研数据中提取概率估计值，结合采购量、完好率与售价公式建立利润方程求解． （1）观察频率数据稳定在附近，估计柑橘完好的概率； （2）先计算元可采购的柑橘总质量，再乘以完好概率得到可销售质量； （3）设采购量为，根据售价公式表示出单价，结合完好率得到销售收入，再根据“利润销售收入总成本”列方程求解． 【详解】（1）解：频率稳定在附近， 估计柑橘完好的概率约为． 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：设应采购的柑橘， 由，得 ． 可销售质量为，总成本为元． 根据利润公式， ， ， ， ， ， ． 此时． 答：应采购的柑橘，售价应定为元． 24. 函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，． （1）求m，c的值； （2）当时， ①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由； ②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形，理由见解析；②存在实数，使得，，当时，始终有 【解析】 【分析】（1）将和代入函数解析式求出c、m的值即可； （2）①如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，证明，得出，，求出，将代入中，求出，与矛盾，得出不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形； ②根据，，且当时，始终有，得出，，设点N关于y轴的对称点为P，根据点N在抛物线上，得出点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，与抛物线交于点，得出时，函数在上随x的增大而增大，根据题意得出，求出即可． 【小问1详解】 解：将原点代入中， 解得， 将代入中，则有， 解得 ∴，. 【小问2详解】 解：①不可能；理由如下： 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，如图所示： ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将代入中，得， 解得． ∵，矛盾， ∴不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形． ②∵，，且当时，始终有， ∴，， 设点N关于y轴的对称点为P， ∴， ∵点N在抛物线上， ∴点P在抛物线上， 过点P作x轴垂线，与抛物线交于点． ∵函数在上随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，函数在上随x的增大而增大， ∵， ∴，又， ∴， ∵点在抛物线上，在抛物线上． ∴当时，抛物线在抛物线上方， 即在上，， 整理得，在成立， ∵， ∴，要使得， 只需当时，，即， 解得：， 综上所述存在实数，使得，，当时，始终有． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出相应的辅助线，数形结合． 25. 如图，在四边形中，，且，过点、、作交于点，连接，，，设，交于点，且满足． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径； （3）若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理得到，从而得出结论； （2）过点作，交于点，由（1）知，进而得到是等腰三角形，从而得到为的直径，根据，得到，进而得到，根据相似三角形的性质得到，据此求解即可； （3）过点作，交于点，连接，设、，则，易证明四边形是矩形，进而得到、，易证明，进而得到，求出，再证得，进而得到，求出，根据圆周角定理得到，在中，，在中，，进而求出，由（2）知，，则，据此求出长，再证明，进而得到，从而求出的值． 【小问1详解】 证明：、， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， 由（1）知， 是等腰三角形， ， ， 为的直径， 、， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点，连接， 设、， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由（2）知：， ， 、是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 、， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 解得， 、， ， ， ． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $