精品解析：2026年福建省泉州第五中学九年级下学期阶段性检测数学试卷（三）

泉州五中2026届初三下学期阶段性检测数学试卷（三） （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果单项式与是同类项，那么的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( ) A. B. C. D. 8. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如果，则“☆”表示的数是______． 12. 分解因式：___________ 13. 如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________． 14. 已知关于的分式方程有增根，则______． 15. 已知有理数在数轴上的对应点如图所示，化简： ___________． 16. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝3 19. 如图，在△ABC中，∠C = 90°． （1）以AC边上一点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点C，且与AB边相切于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若AC = 3，BC = 4，求⊙O的半径． 20. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所取扇形的圆心角为72°．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙3人平时的表现优秀，现决定从这3人中任选2人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 21. 根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为． （1）写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为，飞机距离地面的高度为；小敏想，假如此刻飞机在距离地面的高空，请你求出飞机外的气温是多少度？ 22. 如图，是的直径，是的弦，过点O作交于点F，连接交于点D，若． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 23. 综合与实践 某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 例如，已知多项式有一个因式是，求m的值． 小安的求解过程如下： 解：由题意设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则， 解得：①________． （1）补全小安求解过程中①所缺的内容； （2）若，求的值； （3）若多项式有因式和，求m，n的值． 24. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 25. 张老师开展“角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． （1）如图1，在中，，，，D是的中点，则______． （2）如图2，正方形中，E，F分别在边，上，且，连接分别交，于点H，G，试猜想，，的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）基础上，点E为正方形的边上的点，点F在射线上，求的最大值，请直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026届初三下学期阶段性检测数学试卷（三） （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题的关键．根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1，1，2． 故选：A． 4. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 如果单项式与是同类项，那么的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：由题意, ∵单项式与是同类项， ∴a1=2，b+1=3， ∴a=3，b=2， ∴a+b=3+2=5． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 6. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 7. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：， 即： 故选：C 8. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 25 C. 26 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解． 【详解】解：将点代入得： ∴交点坐标为： 由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为 故选：B 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可． 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如果，则“☆”表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，观察多项式可知其符合平方差公式的结构特征，运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________． 【答案】2π 【解析】 【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：连接OA，OC， ∵∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°． ∴的长= 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键． 14. 已知关于的分式方程有增根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：． 15. 已知有理数在数轴上的对应点如图所示，化简： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数以及大小关系、绝对值，整式的加减，熟练掌握数轴上点表示的数以及大小关系、绝对值的定义是解决本题的关键．根据数轴上点表示的数以及大小关系、绝对值的定义解决此题． 【详解】解：由数轴可知：， ，，， 原式 ， 故答案为：． 16. 如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L． （1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______； （2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解． 【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴，，，，，，，， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴； （2）解：∵若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， 若曲线L过点时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， ∵越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【详解】解： 解得：， 经检验：当时，，分式无意义， ∴原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝3 【答案】5ab2＋5a2b﹣5，-35 【解析】 【分析】首先去括号，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值可得答案． 【详解】解：原式＝3ab2﹣1＋7a2b﹣2＋2ab2﹣2﹣2a2b ＝5ab2＋5a2b﹣5， 当a＝﹣2，b＝3时，原式＝5×（﹣2）×9＋5×4×3﹣5＝﹣90＋60﹣5＝﹣35. 【点睛】本题主要考查整式加减的化简求值，先化简再求值，去括号合并同类项应注意符号问题． 19. 如图，在△ABC中，∠C = 90°． （1）以AC边上一点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点C，且与AB边相切于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若AC = 3，BC = 4，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先作∠BCA的平分线交AC于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可； （2）连结，设的半径为r，由勾股定理求得AB=5，再证，可得，得到，求出r即可． 【小问1详解】 作图如图所示，为所求作的圆． 【小问2详解】 解：连结，设的半径为r， ∵， ∵． ∵与相切于点D， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴． ∴． 解得，即的半径为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了切线的性质． 20. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．乒乓球，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中D所取扇形的圆心角为72°．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙3人平时的表现优秀，现决定从这3人中任选2人参加机器人大赛，用画树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）200 （2）图形见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）图中D社团的人数除以D所占的百分比，即可求解； （2）先求出C社团的人数，即可求解； （3）先根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，然后由概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有（人）． 故答案为：200． 【小问2详解】 解：C社团的人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图，如下： 一共有6种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为． （1）写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为，飞机距离地面的高度为；小敏想，假如此刻飞机在距离地面的高空，请你求出飞机外的气温是多少度？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据从地面向上以内，每升高，气温降低，列出一次函数表达式； （2）根据飞机外气温为，飞机距离地面的高度为，求出的值，即可得到一次函数的表达式，求出当时的值为，因为在距离地面以上高空，气温几乎不变，可知在距离地面的高空，飞机外的气温是． 【小问1详解】 解：每升高，气温降低， ； 【小问2详解】 解：飞机外气温为，飞机距离地面的高度为， ， 解得：， ， 当时， 可得：， 在距离地面以上高空，气温几乎不变， 在距离地面的高空，飞机外的气温是． 22. 如图，是的直径，是的弦，过点O作交于点F，连接交于点D，若． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）与相切， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证明，，得出，根据，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，在中，根据列方程求出，可得，再在中利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， 又∵， ， ，即， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 设，则， ∵是的直径，， ∴ 在中，， ， 解得， ， ∴， 23. 综合与实践 某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 例如，已知多项式有一个因式是，求m的值． 小安的求解过程如下： 解：由题意设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则， 解得：①________． （1）补全小安求解过程中①所缺的内容； （2）若，求的值； （3）若多项式有因式和，求m，n的值． 【答案】（1）24 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，利用等式的性质，和特殊值法进行求解，是解题的关键． （1）解方程即可； （2）取，和，两个特殊值进行计算即可； （3）设，分别取和，得到的二元一次方程组，进行计算即可． 【小问1详解】 ∵ 解得：24； 故答案为：24； 【小问2详解】 在中， 取，得 ， ∴①， 取，得②， 联立①②得：． 【小问3详解】 由题意设， 分别取和，得 ， 解得：， ∴m，n的值为，． 24. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 【答案】（1）该函数的顶点坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解； （2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解； ②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 所以该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①把代入中， 得， 所以对称轴为直线， 把代入中，得， ∵函数的最小值为，且二次项系数， ∴， 解得， 又因为对称轴在之间， 即 则， 故， ∴二次函数解析式为； ②由①知， ∴对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C的纵坐标均为t， 设B的横坐标为，C的横坐标为， ∵B，C关于直线对称， ∴， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴，即， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴． 25. 张老师开展“角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． （1）如图1，在中，，，，D是的中点，则______． （2）如图2，正方形中，E，F分别在边，上，且，连接分别交，于点H，G，试猜想，，的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）基础上，点E为正方形的边上的点，点F在射线上，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】（1） （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证得是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求得，进而通过D是的中点求得的值，最后通过勾股定理即可得出结果； （2）延长至M，使，连接，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系再证明，从而得出，最后利用线段和差关系即可得证； （3）作正方形的外接圆，连接，取的中点O，此时O为圆心，利用相似三角形的判定证得，从而得出，再过点G作于点H，证得，随即推出，设，则的半径，当最大时，的值最大，当点G，H，O三点共线时，有最大值为，而时，的值最小，即可求得的最小值表达式，进而求得的最大值表达式，并最终推出结果． 【小问1详解】 解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理，， 得：，即， 解得：， ∵D是的中点， ∴， 在中, ， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：， 理由：延长至M，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵, ， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作正方形的外接圆，连接，取的中点O，此时O为圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则的半径， ∴当最大时，的值最大， ∵点G在上运动， ∴当点G，H，O三点共线时，有最大值为， 当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $