精品解析：黑龙江海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二下学期第一次考试数学试卷

2025-2026学年度 第二学期 高二年级数学学科第一次考试（人教版、选择性必修第五、六章） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 班级：______姓名：______ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 若函数，当时，平均变化率为3，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】解：由题得. 故选：B 2. 函数的导数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则即可求出． 【详解】 ，故选C． 【点睛】本题主要考查导数的运算法则的应用，记住常见基本初等函数函数的导数公式是解题的关键． 3. 若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 72 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】可以先分男女男女男女和女男女男女男两种情况，再根据排列数公式求解. 【详解】若男女间隔排列，则有两种情况，男女男女男女 或女男女男女男， 若男女男女男女的情况，先排男生有种方法，再排女生也有种方法，所以共有, 第二种女男女男女男的情况也有种方法， 综上可知，共有种方法. 4. 下列选项中与最接近的数为（ ） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 【答案】B 【解析】 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 5. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 6. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项展开式系数的性质，结合赋值法，逐项计算，即可求解. 【详解】由， 令，可得，所以A正确； 含的项为，故，所以B错误； 令，可得， 又因为，故，所以C正确； 令，可得， 又由，故，所以D正确. 故选：ACD. 10. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可. 【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误； 表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为， 故，B正确； ，有两种情况， 第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为， 第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为， 故，，C选项正确； ，D选项正确. 故选：BCD 11. 函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断函数在上的单调性，再根据函数的值域即可求出的范围，即可判断A；根据函数在上的单调性即可判断B；利用导数判断函数在上的单调性，令，求出函数在上的单调性，即可判断与的大小，从而可判断C；令，求出函数在上的单调性，再根据函数在上的单调性即可判断D. 【详解】解：当时，，则， 所以函数在上递增，， 当时，在上递减， 则，解得，故A正确； 则，所以，故B错误； 则，故， 令， 则，所以函数在上递增， 所以， 所以，即， 所以，故C正确； 令，则， 当时，，所以函数在上递增， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中的常数项为____________ 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，解得， 因此，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种． 【答案】72 【解析】 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 14. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的减区间 【详解】当时，，则其在上递减， 当时，，则， 当时，，所以在上递减， 综上，的单调递减区间为， 故答案为： 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. （1）求n的值与展开式中各项的系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）6,1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质求，赋值法求系数和； （2）根据组合数性质确定二项式最大项，结合通项公式可得. 【小问1详解】 由题知，，由组合数性质可知，； 令得展开式中各项的系数和为 【小问2详解】 因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 16. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【小问1详解】 由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. 【小问2详解】 由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 17. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【小问1详解】 由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． 【小问2详解】 由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 18. 现有甲、乙、丙、丁名公费师范生和三所重点中学 （1）甲、乙、丙、丁名公费师范生分配至三所重点中学任教，有多少种不同分法. （2）从甲、乙、丙、丁名公费师范生中选出人分配至三所重点中学任教，每所学校分配一人，甲必须当选，有多少种不同分法? （3）将所学校的位校长排入已经站好的名学生队伍中拍照留念，这名学生已经排好，不改变学生原有顺序将三位校长再排入(可以不相邻)，有多少种不同的排法?(结果用数字作答) 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接对4名师范生进行分配即可； （2）先从乙、丙、丁中选2人，然后全排列； （3）由名学生形成的空位依次排入校长，即可得到答案. 【小问1详解】 由于每名公费师范生都有所学校可选，因此有种分法. 【小问2详解】 由于甲必须当选，所以需要从乙、丙、丁中选2人，有种分法，再将选中的人全排列分配到所学校，有种分法， 故共有种分法. 【小问3详解】 名学生排好形成个空位（含两端），因此第一位校长有种选择； 第一位校长选择后，此时已经有个人，形成了个空位（含两端），因此，第二位校长有种选择； 同理，第三位校长有种选择； 综上所述，总的排法有种. 19. 已知函数. （1）判断函数的零点个数； （2）设，若，是函数的两个极值点，求实数的取值范围及判断，，之间的关系. 【答案】（1）有1个零点；（2）实数的取值范围为，. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）求出，可得，是方程在内的两个不同的实数解，令，根据二次函数的性质可得，解不等式可得实数的取值范围，然后再求出即可得出，，之间的关系. 【详解】（1）由题知函数的定义域为， 对任意恒成立， 当且仅当时，，所以在上单调递增. 又，所以函数有且仅有1个零点. （2）因为， 所以. 由题意知，是方程在内的两个不同的实数解. 令， 又，且函数图象的对称轴为， 所以只需 解得，即实数的取值范围为. 由，是方程的两根，得，， 故. 又，所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的极值，将条件，是函数的两个极值点进行等价转化是解决本题的关键，考查了数学运算、转化能力.综合性比较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度 第二学期 高二年级数学学科第一次考试（人教版、选择性必修第五、六章） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 班级：______姓名：______ 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 若函数，当时，平均变化率为3，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 1 2. 函数的导数为 A. B. C. D. 3. 若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 72 D. 36 4. 下列选项中与最接近的数为（ ） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 5. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中的常数项为____________ 13. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种． 14. 函数的单调递减区间为__________． 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. （1）求n的值与展开式中各项的系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 17. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 18. 现有甲、乙、丙、丁名公费师范生和三所重点中学 （1）甲、乙、丙、丁名公费师范生分配至三所重点中学任教，有多少种不同分法. （2）从甲、乙、丙、丁名公费师范生中选出人分配至三所重点中学任教，每所学校分配一人，甲必须当选，有多少种不同分法? （3）将所学校的位校长排入已经站好的名学生队伍中拍照留念，这名学生已经排好，不改变学生原有顺序将三位校长再排入(可以不相邻)，有多少种不同的排法?(结果用数字作答) 19. 已知函数. （1）判断函数的零点个数； （2）设，若，是函数的两个极值点，求实数的取值范围及判断，，之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $